Ø Asse di un segmento AB

2° Lavoro sperimentale (di Claudia Sortino)

Durante la fase del tirocinio diretto e di quello indiretto, lavorando all’interno di una prima e seconda classe del liceo scientifico statale

‘Cannizzaro’, sotto la supervisione della mia tutor prof. Marilina Aiello, ho avuto la possibilità di svolgere diverse attività sia dal punto di vista teorico che pratico:

Ø attività di recupero Ø lavori di gruppo

Ø preparazione e creazione del test di ingresso Ø attività di laboratorio

In particolare ho avuto la possibilità di far lavorare i ragazzi in laboratorio di informatica e con l’uso del programma Cabrì Géomètre, proporre e fare osservare le particolarità che stanno dietro alcune costruzioni elementari con riga e compasso.

E’ stato molto interessante far capire ai ragazzi l’importanza di legare insieme i vari passi per ottenere la costruzione richiesta dall’insegnante, facendo bene attenzione ai vari significati e alle definizioni dei vari oggetti geometrici utilizzati nelle costruzioni.

Proposte di lavoro…

Ø Asse di un segmento AB

Ø Bisettrice di un angolo AOB

Ø Perpendicolare ad una retta r condotta da un punto

P ad essa esterno.

Ø Circonferenza passante per tre punti non allineati.

Ø Segmento aureo di un segmento AB.

Ø Triangolo aureo ABD.

Ø Decagono regolare ottenuto dalla costruzione del pentagono regolare (1° metodo).

Ø Decagono regolare ottenuto mediante l’uso del segmento aureo (2° metodo).

Ø Pentagono regolare inscritto in una circonferenza (1°metodo).

Ø DESCRIZIONE DELLA COSTRUZIONE DEL

PENTAGONO A PARTIRE DAL SEGMENTO AUREO.

Come esercitazione ho proposto una costruzione del pentagono regolare mediante l’uso della riga e del compasso. Essa presuppone la conoscenza delle seguenti costruzioni:

1. Costruzione della parte aurea di un segmento.

2. Costruzione del triangolo aureo.

3. Costruzione della circonferenza passante per tre punti.

Per ciascuna di esse è stata realizzata un apposita macro che viene opportunamente richiamata durante la costruzione del pentagono.

Dato il segmento AB si costruisce il triangolo aureo facendo uso della macro (2). Utilizzando la macro (3) si costruisce la circonferenza passante per i vertici di tale triangolo. Con apertura di compasso BC, centrando in B e in C si determinano i punti D ed E. Unendo i cinque punti otteniamo il pentagono regolare.

I ragazzi si sono dimostrati molto interessati a tale esercitazione e nello scoprire la particolarità che lega il lato del pentagono con la definizione di segmento aureo.

Spesso, infatti, i ragazzi vengono abituati ad apprendere senza chiedersi il perché delle cose e la geometria si è dimostrato un ottima mezzo per metterli in crisi anche nelle “definizioni” semplici e banali, date sempre per scontato.

Questa attività, in particolare si è dimostrata molto interessante poiché mi ha condotto verso alcune

problematiche aperte di ricerca..

Il problema della dimostrazione:

argomentare, congetturare, dimostrare

In un lavoro sull’ Introduzione alla dimostrazione all’inizio della scuola secondaria, condotto da M.A. Mariotti, è stato affrontato il problema della dimostrazione e le difficoltà che i ragazzi incontrano di fronte ai primi problemi e alla richiesta di fornire una dimostrazione, nel comprendere il senso di quanto viene loro richiesto.

I punti nodali, secondo M.A. Mariotti sembrano essere da un lato la difficoltà di motivare gli allievi al ‘dimostrare’ e dall’altro la difficoltà di distinguere tra un argomentazione generalmente intesa e una dimostrazione matematica.

Le due motivazioni fondamentali che possono essere legate alla dimostrazione possono essere sintetizzate nelle seguenti domande:

Ø Un certo fatto, è vero?

Ø Perché un certo fatto è vero?

Nel primo caso la verità di un fatto si presenta incerta e si genera cosi una spinta a risolvere un incertezza, creando una motivazione ad un

argomentazione a sostegno della verità del fatto. Il bisogno di argomentare nasce con una certa spontaneità.

Nel caso della seconda domanda, la verità di un fatto non è in discussione, ma si tratta di fondere tale verità (processo di validazione).

La motivazione ad argomentare non risulta affatto spontanea.

Il termine

argomentare

viene di solito usato per indicare un discorso su un certo fatto e ha come obiettivo di modificare la natura o il grado di convinzione di un interlocutore, in modo da ottenere che accetti o rifiuti tale fatto (Duval, 1995, p.232). Un’argomentazione ha dunque come scopo principale il convincere, il rendere evidente a qualcuno la verità di un fatto.

Il termine

dimostrare

viene usato per riferirsi al contesto matematico e quindi ad un discorso teorico il cui obiettivo è fornire una prova di validità di un fatto (=enunciato) all’interno di una determinata logica, ovvero di un sistema di regole e di principi generalmente accettato dalla comunità scientifica. In questo caso ad essere in gioco è la dipendenza logica di tale enunciato rispetto agli assiomi e ai teoremi disponibili nella teoria.

Una dimostrazione, però, pur fornendo una prova della sua validità può non cambiare la convinzione riguardo alla sua verità (Fischbein,1982).

“Lo vedo ma non ci credo!” scriveva Georg Cantor, il 20 giugno 1877, al suo amico Dedekind, inviandogli un nuovo risultato e con la preghiera di mettere alla prova la dimostrazione.

Le mie ipotesi

L’idea centrale del mio secondo lavoro sperimentale è stata quella di trasformare il senso ‘empirico’ dato da un problema di costruzione in un senso teorico e l’utilizzo del software Cabrì Géomètre si è rilevato molto utile.

La possibilità di manipolare le sue figure ed il fatto che la logica intrinseca ad una figura di Cabrì è la logica della sua costruzione, e quindi gli elementi sono legati tra loro secondo proprietà geometriche stabilite dal processo di costruzione che le ha prodotte.

La dinamica della manipolazione (mediante al funzione di trascinamento) delle figure di Cabrì corrisponde ad uno specifico criterio di validazione interno al sistema di tali proprietà.

Il mio obiettivo è stato quello di far evolvere l’idea di costruzione in ambito Cabrì, nell’idea di costruzione teoricamente fondata, ovvero di teorema di geometria proponendo agli allievi delle attività volte a :

a) fornire una procedura per ottenere un disegno/figura

b) fornire una giustificazione per la correttezza di tale costruzione.

Tutto ciò mi ha fatto nascere la curiosità e l’interesse di analizzare il processo

“argomentare e congetturare”

Mi propongo di studiare e analizzare

Ø

Il significato dei segni matematici

analizzabile a due livelli:

§ Quello riguardante la definizione dei concetti

§ Quello riguardante le relazioni tra queste.

Ø

L’importanza della verbalizzazione

e delle attività discorsive come funzioni essenziali per la costruzione cosciente, dell’alunno, dei significati matematici. (in tal modo, credo che l’attività discorsiva diventa argomentazione matematica e successivamente dimostrazione)

Ø

Le modalità

principali a cui si rifanno le attività argomentative in cui si producono ipotesi o si generano condizionalità e che risultano

caratterizzate dal diverso modo con cui il soggetto si rapporta al mondo esterno rispetto al suo mondo interno:

§ Produzione di

congetture previsionali

(ipotesi su una situazione futura).

§ Produzione di

congetture interpretative

(di ciò che si percepisce al fine di riorganizzarlo)

Ø

L’attività argomentativa

come un discorso:

§ Che permette al soggetto di tornare su ciò che si è fatto, visto producendo interpretazioni, spiegazioni.

§ Che permette al soggetto di anticipare fatti, situazioni producendo previsioni, discorsi ipotetici su eventi possibili.

Ø Di studiare e riscontrare nei vari processi mentali forniti dagli alunni le varie

tipologie di argomentazione

:

o Classificare o Generalizzare o Gerarchizzare o Progettare

o Correlare, trovare connessioni

o Confutare: sulla base del principio di autorità, su una base empirica o su una base argomentativa.

o Definire o utilizzare principi, convinzioni, assiomi non dimostrabili

o Verificare ipotesi: può trattarsi di una verifica sperimentale o argomentativi

Una curiosità…

Consideriamo un triangolo isoscele rettangolo e supponiamo di voler tracciare iterativamente, le altezze relative alle varie basi dei triangoli isosceli rettangoli ottenuti a partire da un triangolo rettangolo isoscele di lato

AD =

2

2 e AC = 1.

Osserviamo che di volta in volta possiamo ottenere una particolare spezzata congiungendo “alcuni” “piedi” delle varie altezze tracciate:

Ci si può chiedere se iterando tale procedimento all’infinito, tale spezzata si andrà a sovrapporre al segmento base AC.

Intuitivamente si potrebbe pensare che ciò accada ma ….

…. si otterrebbe un paradosso…. si avrebbe che al limite

“ 1 =

²

”……!!!

A questo punto è importante osservare che la soluzione del seguente paradosso è da ricercare nello studio dell’insieme dei punti di contatto tra la spezzata ed il segmento base (di estremi 0 e 1) :

la nostra dimostrazione del fatto che tale insieme non comprende alcun numero irrazionale ( perciò ha misura nulla! ) scioglie tale paradosso!

Il ”segmento impossibile”

Consideriamo il seguente gioco:

“Il segmento AB di lunghezza l è diviso in n segmenti uguali e su ciascuno di essi, preso come base, si è costruito un triangolo rettangolo isoscele, ottenendo una linea spezzata con il perimetro lungo p. Cosa accade quando n→∞? p tende ad l o no ?

Obiettivi:

1. produrre diverse argomentazioni con la possibilità di utilizzare diversi registri linguistici.

2. individuare delle rappresentazioni mentali che entrano in crisi quando si passa dal discreto al continuo e causano l’insorgere del paradosso .

SOLUZIONE al GIOCO

( caso n=2)

Costruiamo il segmento AB di lunghezza l e il triangolo rettangolo isoscele avente AB come base. Suddividiamo inizialmente il segmento AB in due parti congruenti e analogamente procediamo con i lati del suddetto triangolo. Unendo i punti medi otteniamo una prima spezzata di lunghezza p₁:

Premettiamo che:

• con (k) indichiamo i successivi passi di suddivisione del segmento AB.

• con (2^k) indichiamo il numero di segmenti che otteniamo sui lati, procedendo di volta in volta nella suddivisione.

• con (2*2^k) indichiamo il numero di tratti delle varie spezzate ottenute passo passo.

Quindi,

per k=1 otteniamo 2^k = 2 segmenti tali che, se indichiamo con A’, B’, C’ i vari punti medi della base e dei due lati, otteniamo A’C’=A’B’ essendo altezze dei triangoli rettangoli isosceli congruenti AA’C e CA’B ed inoltre AC’=C’C. Allora, p₁=(2*2^k)AC’ = 2² AC’ = 4 AC’

ma AC’ =

2 2

l perché cateto di un triangolo rettangolo isoscele

⇒ p₁ = (2*2^k)*AC’ = 4*

2 2

l =

2 2l .

per k=2 otteniamo 2^k=2² segmenti tali che, se indichiamo con A’’,D’’,B’’,E’’,C’’,F’’,G’’,H’’ i vari punti medi delle basi AA’

e A’B e dei lati BB’,B’C,CC’,C’A,A’B’,A’C’.

Si ha: AA’’= A’’A’= A’D’’= D’’B= l /4 (per costruzione).

Allora AF’’=F’’A’’=…=G’’D’’=D’’B’’=B’’B=

2 4

l

⇒ p₂ = (2*2^k)*AF’’ = 8*

2 4

l =

2 2l .

Iterando il procedimento

per k otteniamo 2^k segmenti per ogni lato del triangolo isoscele rettangolo di base AB, inizialmente considerato, e un lato della spezzata misurerà

2 2^k

l . Allora, poiché la spezzata risulterà avere (2*2^k) lati, abbiamo che

⇒ p_k = (2*2^k)*

2 2^k

l =

2 2l .

In conclusione,

come si può facilmente notare, il perimetro delle varie spezzate ottenute congiungendo i punti delle suddivisioni successive di ordine 2, del segmento AB e dei lati del triangolo isoscele rettangolo, avente tale segmento come base, è costantemente uguale a

p = 2

2l e quindi non convergerà mai alla lunghezza l del

segmento AB.

Prendendo spunto da questo risultato abbiamo formalizzato e dimostrato alcune nostre intuizioni con il seguente teorema:

TEOREMA (Rend-Sort)

Sull’ordinario piano cartesiano si consideri un triangolo rettangolo isoscele i cui vertici di base, A e B, abbiano la stessa ordinata (y_A= y_B) ed entrambi ascissa intera (xA , xB º N). Si indichi con R l’insieme dei punti della retta di base del triangolo dato, e con S_k l’insieme dei vertici della spezzata, di passo k (vedi “SOLUZIONE al GIOCO”).

Si dimostra che nessun punto dell’insieme Ók=Sk R ha ascissa irrazionale.

DIM:

Sia x_A =n e x_B =m con n,m∈Ν. Osserviamo che la spezzata di passo k corrisponde ad una suddivisione del segmento di estremi A e B in 2^k segmenti ciascuno di ampiezza ^m _k ⁿ

2

− con k∈Ν.

Quindi il j-esimo punto di suddivisione avrà ascissa pari a n + ( j – 1)·^m _k ⁿ

2

− ( j = 1, 2, …, 2^k + 1) ma n + ( j – 1)·^m _k ⁿ

2

− ∉ Ι ( I = R\Q).

ESEMPIO:

Sia x_A = 0 e x_B = 2.

Osserviamo che con la spezzata di passo k otteniamo 2^k segmenti ciascuno di ampiezza _k

2

2 con k∈Ν. Il j-esimo punto avrà, quindi, ascissa

( j – 1)* _k

2

2 ( j=1, 2, …, 2^k + 1) che non sarà mai un irrazionale.

OSSERVAZIONE 1:

Se, più in generale, x_A e x_B sono entrambi razionali, il teorema continua a valere.

DIM:

Sia x_A = n e x_B = m, con n, m∈Q, n < m. Supponiamo per assurdo che il ( j+1)-esimo “vertice di base” della spezzata di passo k ( j=0, 1, 2, …, 2^k) abbia ascissa irrazionale i (esclusi xA e xB, che sappiamo essere razionali, restano da assegnare a j i valori 1, …, 2^k –1 ).

Allora si avrebbe che i – [n + ( j – 1)·^m _k ⁿ

2

− ] = ^m _k ⁿ

2

− cioè i = [n + ( j – 1)·^m _k ⁿ

2

− ] + ^m _k ⁿ

2

− da cui l’assurdo essendo razionale il secondo membro di quest’ultima uguaglianza.

OSSERVAZIONE 2:

Ancora, il teorema vale se le suddivisioni, più generalmente, sono di ordine di t con t∈N \ {0,1},

infatti il j-esimo “vertice di base” della spezzata di passo k avrà ascissa n + (j –1)· _k

t n

m− ∈Q (n, m ∈Q).

COROLLARIO 1:

L’insieme Ó = ∪Ó_k (dove l’unione è estesa a tutti gli infiniti passi k) è numerabile.

DIM:

Infatti, per ogni k naturale, l’insieme á(Ó), delle ascisse dei punti di Ó, è contenuto in Q che è numerabile (si continuano, qui, a supporre x_A e xB razionali).

COROLLARIO 2:

Se xA∈Q e xB∈I , allora á(Ó) sarà contenuto nell’ampliamento semplice Q(xB) qualunque sia l’ordine t∈N\{0,1} di suddivisione del segmento base (se x_B non è trascendente su Q, l’ampliamento è algebrico).