Esercizio n°1:
Descrivere tutte le Unità di Misura del Sistema Internazionale che conoscete (fondamentali e derivate).
FONDAMENTALI DERIVATE
Lunghezza metri [m] Velocità m
s Tempo secondi [s] Accelerazione m2
s
Massa Kilogrammo [kg] Forza m2
N kg
= ⋅s Temperatura Gradi Kelvin [°K] Lavoro J = ⋅N m
Potenza
s
J N m
W s
= = ⋅
Esercizio n°2:
Un ascensore è installato in un condominio.
La massa della cabina dell’ascensore con gli occupanti a pieno carico è di 1500 kg.
La potenza del motore impiegato per la movimentazione verticale è di 18 kW.
Calcolare quanti metri percorre l’ascensore in 12 sec.
Soluzione:
M = 1500 kg
Potenza motore = 18 kW=18000W Tempo = 12 sec.
Calcolo la Forza:
9,81 1500 9,81 14715 F =M⋅ = ⋅ = N La formula per il calcolo della potenza è:
s P N m⋅
=
Invertendo la formula calcolo la distanza percorsa:
18000 12
14, 67 14715
m P s m
N
⋅ ⋅
= = =
La massa del ciclista è di 80 kg e quella della bicicletta è di 12 kg.
Trascurando gli attriti dell’aria e le dissipazioni meccaniche calcolare il lavoro che il ciclista deve compiere per vincere il dislivello.
Soluzione:
M = 80+12 = 92 kg Dislivello = 1500 m
Trascurando le dissipazioni meccaniche e gli attriti dell’aria, il lavoro dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale, quindi:
92 9,81 902, 52
F = ⋅ = N
Il lavoro necessario per compiere il percorso è:
902, 52 1500 1353780 1, 354 L= ⋅F Dislivello= ⋅ = J = MJ
Esercizio n°4:
Si vuole lanciare un razzo in direzione verticale con accelerazione di 5 m2 s .
La massa del razzo è di 12500 kg e il lancio viene fatto nel campo gravitazionale terrestre.
Trascurando gli attriti e le dissipazioni meccaniche calcolare la forza di propulsione necessaria affinché sia garantita l’accelerazione richiesta.
Soluzione:
M = 12500 kg ; Accelerazione verticale = 5 m2 s
Essendo nel campo gravitazionale terrestre per mantenere sospeso nell’aria il razzo occorre applicare la seguente forza:
1 9,81 12500 9,81 122625
F =M⋅ = ⋅ = N
Inoltre per far accelerare il razzo con accelerazione di 5 m2
s occorre applicare la seguente forza:
2 5 12500 5 62500 F =M⋅ = ⋅ = N
Quindi la forza totale necessaria per far accelerare verticalmente i razzo è:
Esercizio n°5:
Calcolare la forza F necessaria a mantenere in equilibrio la seguente struttura.
L1= 1m ; L2=3,5m; Q=1250 kg.
Q
F
L1 L2
Soluzione:
Q = 1250 kg L1 = 1 m L2 = 3,5 m
1250 9,81 12262, 5
FQ= ⋅ = N
Per mantenere in equilibrio la struttura deve essere verificata la seguente equazione:
1 2
FQ⋅ = ⋅ L F L
Di conseguenza: 1
2
12262, 5 1
3503, 57 3,5
FQ L
F N
L
⋅ ⋅
= = =
L= 4m ; F1=1500 N ; F2=3000 N ; F3=4000 N.
F2 F1
F3
A B
L/2 L/2
L/2 L/2
L/4
Soluzione
1° - Si sostituisce ai vincoli le reazioni vincolari:
F2 F1
F3
A B
L/2 L/2
L/2 L/2
L/4
RAV RBV
RBO
2° - Si scrivono le equazioni cardinali della statica e si calcolano le reazioni vincolari:
1) Equilibrio verticale: −RAV +F3−RBV = 0 2) Equilibrio orizzontale: F1+RBO−F2 = 0 3) Rotazione (A): 1 3 3 2
2 4 BV 2 0
L L L
F ⋅ − ⋅F +R ⋅ +L F ⋅ = Dalla 2): RBO =F2−F1 =3000 1500 1500− = N
Dalla 3):
1 3 2
3
1500 2 4000 3 3000 2
2 4 2 750
BV 4
L L L
F F F
R N
L
− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
= = =
Esercizio n°7:
Risolvere la seguente struttura calcolando le reazioni vincolari nei punti A, B e C.
L= 4m ; F1 = 1500 N ; F2 = 3000 N
F1
F2
A B
C D
L/2
L/2 L/2
L/4
Soluzione
1° - Si sostituisce ai vincoli le reazioni vincolari:
F1
F2
A B
C D
L/2
L/2 L/2
L/4
RAV RBV
RCO
2° - Si scrivono le equazioni cardinali della statica e si calcolano le reazioni vincolari:
1) Equilibrio verticale: −RAV +F2−RBV = 0 2) Equilibrio orizzontale: F1−RCO = 0
3) Rotazione (A): 1 2 0
2 CO 4 BV 2
L L L
F ⋅ −R ⋅ +R ⋅ −L F ⋅ = Dalla 2): RCO =F1=1500N
Dalla 3):
1 2 4 2 2 1500 2 1500 1 3000 2 1125 4
CO BV
L L L
F R F
R N
L
− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
= = =
Dalla 1): RAV =F2−RBV =3000 1125 1875− = N
Risolvere la seguente struttura calcolando le reazioni vincolari nei punti A, B.
L= 4m ; F1 = 1500 N ; F2 = 3000 N ;
F1
L/2
A B
L/2 L/2
F2
Soluzione
1° - Si sostituisce ai vincoli le reazioni vincolari:
F1
L/2
A B
L/2 L/2
L/4 F2
RAV RBV
RAO
2° - Si scrivono le equazioni cardinali della statica e si calcolano le reazioni vincolari:
1) Equilibrio verticale: RAV +RBV −F2 = 0 2) Equilibrio orizzontale: −RA0+F1 = 0
3) Rotazione (A): 2 1 0
2 BV 2
L L
F ⋅ −R ⋅ −L F ⋅ = Dalla 2): RA0 =F1 =1500N
Dalla 3):
2 1
3000 2 1500 2
2 2 750
BV 4
L L
F F
R N
L
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
= = =
Esercizio n°9:
Una barra di sezione quadrata in alluminio lunga 3m deve sostenere un carico di 1500 kg.
Considerando che l’alluminio ha σel = 120 N/mmq, E=70000 N/mmq e che si vuole ottenere un Coefficiente di sicurezza = 3, determinare le dimensioni della barra e l’allungamento massimo provocato dal carco applicato.
Soluzione:
Determino la σamm:
. . el
amm
C S σ
=σ Æ 120 2
. . 3 40
el amm
N
C S mm
σ = σ = =
La forza che deve sostenere la barra è:
1500 9,81 14715N⋅ =
Determino l’area resistente della fune:
amm
F
σ = A Æ 14715 2
367,87
amm 40
A F mm
=σ = =
Calcolo le dimensioni della barra:
A=L2 Æ L= A= 367,87=19,18mm
Calcolo l’allungamento della barra considerando che L = 3m = 3000 mm:
amm E
σ = ⋅ Æ ξ amm L
E L
ξ =σ =Δ Æ 40
3000 1, 71 70000
L amm L mm
E
Δ =σ ⋅ = ⋅ =
4 viti in acciaio devono sostenere un lampadario di 250 kg.
Considerando che l’acciaio ha σel =500 N/mmq, E=210000 N/mmq e che si vuole ottenere un Coefficiente di sicurezza = 5, determinare il diametro resistente delle viti.
Soluzione:
Determino la σamm:
. . el
amm
C S σ
=σ Æ 500 2
. . 5 100
el amm
N
C S mm
σ = σ = =
La forza che deve sostenere ogni vite è:
250 9,81 613,125
4 ⋅ = N
Determino l’area resistente della vite:
amm
F
σ = A Æ 613,125 2
100 6,13
amm
A F mm
=σ = =
Calcolo le dimensioni della barra:
2
4
A= D ⋅ Æ π A 4 6,13 4 2, 79
D mm
π π
⋅ ⋅
= = =
Esercizio n°11:
Una fune di diametro 20 mm deve sostenere n carico di 1000 kg.
Considerando che la fune ha σel =50 N/mmq, verificare la resistenza della fune calcolando il coefficiente di sicurezza.
Soluzione:
Determino la σamm:
2 2 2
9,81 1000 9,81
31, 24 20
4 4
amm
F M N
D
A mm
σ
π π
⋅ ⋅
= = = =
⋅ ⋅
Determino il coefficiente di sicurezza:
. . 50 1, 6
31, 24
el
amm
C S σ
=σ = =
Esercizio n°12:
Il seggiolino di un’altalena è sorretto da due funi di diametro 10 mm.
Considerando che le funi hanno σel =50 N/mmq, calcolare la massa che provoca la rottura delle funi di sostegno del seggiolino.
Soluzione:
Determino l’area resistente delle funi:
2 2
10 2
2 2 157
4 4
A= D ⋅ ⋅π funi= ⋅ ⋅ =π mm
Per ottenere la rottura delle funi occorre creare nelle funi una tensione pari a 50 N2
mm quindi:
el F
σ = A Æ F =σel⋅ =A 50 157⋅ =7850N
Infine calcolo la massa che provoca la rottura delle due funi:
7850 800, 2 9,81 9,81
M = F = = kg
