FONDAMENTALI DERIVATE

Descrivere tutte le Unità di Misura del Sistema Internazionale che conoscete (fondamentali e derivate).

FONDAMENTALI DERIVATE

Lunghezza metri [m] Velocità m

s Tempo secondi [s] Accelerazione m ₂

s

Massa Kilogrammo [kg] Forza m ₂

N kg

= ⋅ s Temperatura Gradi Kelvin [°K] Lavoro J = ⋅ N m

Potenza

s

J N m

W s

= = ⋅

Esercizio n°2:

Un ascensore deve trasportare i passeggeri dal piano terra al quindicesimo piano di un palazzo.

La massa della cabina dell’ascensore con gli occupanti a pieno carico è di 1200 kg.

Il dislivello tra il piano terra e il quindicesimo piano è di 50 m.

Calcolare la potenza del motore considerando che il viaggio duri al massimo 30 sec.

Soluzione:

M = 1200 kg Distanza = 50m Tempo = 30 sec.

La forza peso è: 1200 9,81 m ₂ 11772

kg N

⋅ s =

La potenza del motore è: 11772 50

19620 19, 62 30

P N m W kW

s

⋅ ⋅

= = = =

SOLUZIONE Verifica scritta di MECCANICA, MACCHINE e IMPIANTI Esercizio n°3:

Un’automobile percorre una strada in salita (con inclinazione rispetto all’orizzontale di 10°).

La massa dell’automobile è di 2000 kg e la velocità di 160 km/h.

Trascurando gli attriti dell’aria e le dissipazioni meccaniche calcolare la potenza che deve avere il motore per riuscire a mantenere la velocità di 160 km/h.

Soluzione:

α=10°

M=2000 kg V=160 km/h

La forza che bisogna vincere per fare salire la macchina sulla strada in salita:

( ) 2000 9,81 (10) 3406, 97 F = M g sen ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ sen = N

Considerando che 160 km = 160000 m e che 1 ora = 3600 s La potenza del motore è:

3406, 97 160000

151420,88 151, 42 3600

P N m W kW

s

⋅ ⋅

= = = =

Una sfera è su un piano inclinato come riportato nella figura seguente.

α F

Q

Considerando che la massa Q della sfera è di 150 kg, che l’angolo α=20° calcolare la forza orizzontale necessaria per tenere la sfera ferma sul piano.

Soluzione:

Q=150 kg α=20°

α F

Q F1

α α

Calcolo la forza parallela al piano che mi serve per mantenere in equilibrio la sfera.

1 9,81 ( ) 150 9,81 (20 ) 503, 28 F = ⋅ Q ⋅ sen α = ⋅ ⋅ sen ° = N Considerando che: F 1 = F cos( ) α

Ricavo la forza F semplicemente girando la formula:

1 503, 28

535, 58 cos( ) cos(20 )

F F N

= α = =

°

SOLUZIONE Verifica scritta di MECCANICA, MACCHINE e IMPIANTI Esercizio n°5:

Risolvere la seguente struttura calcolando le reazioni vincolari nei punti A, B e C.

L= 4m ; F1 = 1500 N ; F2 = 3000 N ; F3 = 4000 N

F2 F1

F3

A B

C D

E

L/2 L/2

L/2 L/2

L/4

L/4

Soluzione

1° - Si sostituisce ai vincoli le reazioni vincolari:

F2 F1

F3

A B

C D

E

L/2 L/2

L/2 L/2

L/4

L/4

R

R

R

2° - Si scrivono le equazioni cardinali della statica e si calcolano le reazioni vincolari:

1) Equilibrio verticale: − R _AV + F ₃ − R _BV = 0 2) Equilibrio orizzontale: R _CO − F ₂ + F ₁ = 0 3) Rotazione (A): _{1 2 3} 3

2 ^CO 4 2 4 ^BV 0

L L L L

F ⋅ + R ⋅ + F ⋅ − ⋅ F + R ⋅ = L Dalla 2): R _CO = F ₂ − F 1 3000 1500 1500 = − = N

Dalla 3):

1 2 3

3

1500 2 1500 1 3000 2 4000 3

2 4 2 4 375

4

CO BV

L L L L

F R F F

R N

L

− ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅

= = =

Dalla 1): R _AV = F ₃ − R _BV = 4000 375 − = 3625 N

Esercizio n°6:

Risolvere la seguente struttura calcolando le reazioni vincolari nei punti A, B e C.

L= 4m ; F1 = 1500 N ; F2 = 3000 N

F1

F2

A B

C D

L/2

L/2 L/2

L/4

Soluzione

1° - Si sostituisce ai vincoli le reazioni vincolari:

F1

F2

A B

C D

L/2

L/2 L/2

L/4

R

R

R

2° - Si scrivono le equazioni cardinali della statica e si calcolano le reazioni vincolari:

1) Equilibrio verticale: − R _AV + F ₂ − R _BV = 0 2) Equilibrio orizzontale: − R _CO + F ₁ = 0

3) Rotazione (A): _{1 2} 0

2 ^CO 4 2 ^BV

L L L

F ⋅ − R ⋅ − F ⋅ + R ⋅ = L Dalla 2): R _CO = F ₁ = 1500 N

Dalla 3):

1 2 4 2 2 1500 2 1500 1 3000 2 1125 4

CO BV

L L L

F R F

R N

L

− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

= = =

Dalla 1): R _AV = F ₂ − R _BV = 3000 1125 1875 − = N

SOLUZIONE Verifica scritta di MECCANICA, MACCHINE e IMPIANTI Esercizio n°7:

Risolvere la seguente struttura calcolando le reazioni vincolari nei punti A, B.

L= 4m ; F1 = 1500 N ; F2 = 3000 N ; F3 = 2500 N ; F4 = 6000 N

q

L/2

A B

L/2 L/2

F1

F2

F3

L/4 L/4 F4

Soluzione

1° - Si sostituisce ai vincoli le reazioni vincolari:

L/2 A

B

C

L/2 L/2

L/4 F1

F2

F4

F3 R ^AV

R ^A0

R ^BV

2° - Si scrivono le equazioni cardinali della statica e si calcolano le reazioni vincolari:

1) Equilibrio verticale: − R _AV + F ₂ + R _BV − F 1 = 0 2) Equilibrio orizzontale: R _AO − F ₄ + F ₃ = 0

3) Rotazione (A): _{2 1} 3 _{4 3}

4 4 ^BV 4 2 0

L L L L

F F R L F F

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

Dalla 2): R _AO = F ₄ − F ₃ = 6000 2500 − = 3500 N

Dalla 3):

2 1 4 3

3

3000 1 1500 3 6000 1 2500 2

4 4 4 2 625

BV 4

L L L L

F F F F

R N

L

− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

= = =

Dalla 1): R _AV = + + F ₂ R _BV − F 1 3000 625 1500 = + − = 2125 N

Esercizio n°8:

Una fune di acciaio lunga 3m deve sostenere un carico di 2000 kg.

Considerando che l’acciaio ha σel = 300 N/mmq, E=210000 N/mmq e che si vuole ottenere un Coefficiente di sicurezza = 2, determinare il diametro della fune e l’allungamento che subisce la fune con il carico applicato.

Soluzione:

Determino la σamm:

. . ^el

amm

C S σ

= σ Æ 300 ₂

. . 2 150

el amm

N

C S mm

σ = σ = =

Determino l’area resistente della fune:

amm

F

σ = A Æ 2000 9,81 ²

130,8

amm 150

A F mm

σ

= = ⋅ =

Calcolo il Diametro della fune:

2

4

A = D ⋅ Æ π A ^{4 130,8 4} 12, 95

D mm

π π

⋅ ⋅

= = =

Calcolo l’allungamento della fune:

amm E

σ = ⋅ Æ ξ ^amm L

E L

ξ = σ = ^Δ Æ 150

3000 2,14 210000

L amm L mm

E

Δ = σ ⋅ = ⋅ =

SOLUZIONE Verifica scritta di MECCANICA, MACCHINE e IMPIANTI Esercizio n°9:

5 Tiranti di sezione quadrata di alluminio devono sostenere un peso 6000 kg,

Considerando che l’alluminio ha σel =110 N/mmq, E=70000 N/mmq e che si vuole ottenere un Coefficiente di sicurezza = 3, determinare le dimensioni dei tiranti.

Soluzione:

Determino la σamm:

. . ^el

amm

C S σ

= σ Æ 110 ₂

36, 66 . . 3

el amm

N

C S mm

σ = σ = =

La forza che ogni tirante deve sopportare è:

6000 9,81 11772

5 ⋅ = N

Determino l’area resistente della fune:

amm

F

σ = A Æ 11772 ²

321,11 36, 66

amm

A F mm

= σ = =

Calcolo le dimensioni del tirante:

A = L 2 Æ L = A = 321,11 17, 91 = mm

Esercizio n°10:

Si vuole sostenere un carico di 10000 kg con una barra in acciaio di sezione rettangolare (80mm x 40mm) Lunga 3 m. Considerando che l’acciaio ha σel =310 N/mmq, E=210000 N/mmq, determinare il coefficiente di sicurezza e l’allungamento massimo della trave.

Soluzione:

Determino la σamm:

2

10000 9,81

30, 65 80 40

amm

F N

A mm

σ = = ^⋅ =

⋅

Determino il coefficiente di sicurezza:

. . 310 10,11

30, 65

el

amm

C S σ

= σ = =

Determino l’allungamento della trave:

amm E

σ = ⋅ Æ ξ ^amm L

E L

ξ = σ = ^Δ Æ 30, 65

3000 0, 44 210000

L amm L mm

E

Δ = σ ⋅ = ⋅ =