SEGNALI E SISTEMI

SEGNALI E SISTEMI

Testo e Soluzione

Esercizio 1 – [punti 6]

Determinare il periodo fondamentale T0 del segnale a tempo continuo x(t) = 2 sen(−^9π₇ t) − cos(^6π₇ t + ^π₄) e trovarne i coefficienti di Fourier rispetto alla famiglia

φk(t) = e^jk2πT0t, k ∈ Z



.

Svolgimento. La componente sinusoidale x1(t) = 2 sen(−^9π₇ t) ha pulsazione ω1 =−^9π₇ e periodo T1 = _|ω^2π

1| = ¹⁴₉, menntre la componente x2(t) = − cos(^6π₇ t + ^π₄) ha pulsazione ω2 = ^6π₇ e periodo T2 = _|ω^2π

2| = ⁷₃. Poich´e il rapporto ^T_T¹

2 = ²₃ `e razionale, cos`ı come, naturalmente, il reciproco ^|ω_|ω^1|

2| = ³₂, anche il segnale x(t) = x1(t) + x2(t) risulta periodico, di pulsazione ω = MCD(|ω1|, |ω₂|) = ^|ω₃^1| = ^|ω₂^2| = ^3π₇ e periodo T = ^2π_ω = mcm(T1, T2) = 3T1 = 2T2 = ¹⁴₃. Questo `e il periodo fondamentale, come appare chiaro utilizzando le relazioni di Eulero per scrivere il segnale x(t) nella forma di una serie finita di Fourier:

x(t) = e^{−j 9π7} t − e^j9π7 t

j − e^j(6π7 t + ^π₄) + e^{−j( 6π7} t + ^π₄)

2 =

= −e^jπ4

2 e^j6π7 t − e^−jπ4

2 e^{−j 6π7} t + je^j9π7 t − je^{−j 9π7} t = ^∞

k=−∞

ake^jkω0t.

Si riconosce infatti la pulsazione fondamentale ω0 = ^3π₇ , corrispondente al periodo T0 = ^2π

ω0 = ¹⁴₃, e la presenza delle sole componenti di seconda e terza armonica, con coefficienti di Fourier:

ak =

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

−^{e±j π}₂⁴ =−₂^1±j√₂, k = ±2,

±j, k = ±3,

0, |k| = 2, 3.

Notare la simmetria Hermitiana dei coefficienti, cio`e la propriet`a ak = a−k, k ∈ Z, equivalente all’avere il segnale nel tempo ampiezze reali.

Esercizio 2 – [punti 5] Per questo esercizio NON `e necessario giustificare le risposte.

Per il sistema a tempo discreto

y(n) = n²x(n) − nx(−n), n ∈ Z,

verificare se valgono: a. causalit`a, b. linearit`a, c. tempo invarianza, d. BIBO-stabilit`a.

Svolgimento. a. Il sistema non `e causale, dato che l’uscita y(n) dipende esplicitamente dal campione x(−n) e questo, per n < 0, appartiene al futuro del segnale d’ingresso.

b. Il sistema `e invece lineare. Infatti, se yi(n) denota l’uscita corrispondente all’ingresso xi(n), i = 1, 2, alla generica combinazione lineare x(n) = αx1(n) + βx2(n), con α, β ∈ C, corrisponde l’uscita y(n) = n<sup>2</sup>x(n) − nx(−n) = n<sup>2</sup>[αx1(n) + βx2(n)] − n[αx1(−n) + βx2(−n)] = α[n<sup>2</sup>x1(n) − nx1(−n)] + β[n<sup>2</sup>x2(n) − nx2(−n)], cio`e y(n) = αy1(n) + βy2(n).

c. Il sistema non `e tempo invariante. Per verificarlo, basta considerare l’ingresso costante x(n) ≡ 1, coincidente con qualunque sua versione traslata x(n − N), N ∈ Z, mentre la cor- rispondente uscita y(n) = n<sup>2</sup>− n `e generalmente diversa da y(n − N) = (n − N)²− (n − N).

d. Il sistema non `e nemmeno BIBO-stabile. Infatti, l’ingresso costante x(n) ≡ 1, gi`a considerato al punto precedente, `e un segnale limitato, mentre non lo `e la corrispondente uscita y(n) = n² − n che, in particolare, diverge per n → ∞.

Esercizio 3 – [punti 5]

Calcolare la convoluzione a tempo discreto y = h ∗ x, dove h(n) = δ(n + 3) − δ(n) + δ(n − 3) e x(n) = cos(^2π₃ n).

Svolgimento. Ricordando che per ogni segnale a tempo discreto x(n) e traslazione n0 ∈ Z si ha δ(n − n0)∗ x(n) = ^∞

k=−∞

δ(k − n0)x(n − k) = x(n − n0), otteniamo

y(n) = x(n + 3) − x(n) + x(n − 3) = x(n) = cos(^2π₃ n), essendo il segnale x(n) = cos(^2π₃ n) periodico di periodo N = 3.

Esercizio 4 – [punti 5]

Si consideri un sistema LTI a tempo continuo, caratterizzato dalla risposta in frequenza H(jω) = sen 3ω

ω , ω ∈ R.

Calcolare l’uscita y(t) corrispondente all’ingresso x(t) = e^jπ6t+ e^{j2π3 t}.

Svolgimento. Per un sistema LTI a tempo continuo, la risposta all’ingresso x(t) =^_kAke^jωkt

`e y(t) =<sup></sup><sub>k</sub>H(jωk) Ake<sup>jωkt</sup>. Perci`o, nel nostro caso,

y(t) = H(j^π₆)e^jπ6t+ H(j^2π₃ )e^j2π3t = _π⁶e^jπ6t, dato che H(j^π₆) = _π⁶ e H(j^2π₃ ) = 0.

Esercizio 5 – [punti 7]

Si consideri il segnale x(t), t ∈ R, periodico di periodo T = 2, cos`ı definito per t ∈ [0, 2):

x(t) =

−2t, 0 ≤ t < 1, 0, 1≤ t < 2.

a. Tracciare il grafico di x(t).

b. Calcolare la derivata generalizzata y(t) = _dt^dx(t), t ∈ R.

c. Determinare i coefficienti di Fourier del segnale y(t).

Svolgimento. a.

- 6

AA AA

AA AAA

AA AA

AA AAA

AA AA

AA AAA

AA AA

AA AAA

AA AA

AA AAA

t

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x(t)

−2

b. Anche la derivata (generalizzata) y(t) = _dt^dx(t), t ∈ R, `e un segnale periodico di periodo T = 2, espresso per t ∈ [0, 2) come

y(t) = 2 δ(t − 1) +

−2, 0 < t < 1, 0, 1 < t < 2.

Notare, in particolare, l’impulso delta di area 2 traslato in t = 1, corrispondente alla disconti- nuit`a di ampiezza ∆x = 2 del segnale x(t) in t = 1.

c. I coefficienti {ak, k ∈ Z} del segnale y(t), di pulsazione ω0 = ^2π

T = π, rispetto alla famiglia di esponenziali {φ_k(t) = e^jkπt, k ∈ Z}, si possono calcolare direttamente tramite le formule integrali. Infatti, si trova la componente continua

a0 = ¹₂

₂

0 x(t) dt

= ¹₂

₁

0 (−2) dt + ¹₂ ²

0 2δ(t − 1) dt = −1 + 1 = 0, mentre, per k = 0,

ak = ¹₂

₂

0 x(t)e^−jkπtdt

= ¹₂

₁

0 (−2)e^−jkπtdt + ¹₂

₂

0 2δ(t − 1)e^−jkπtdt

= −1− e^−jkπ

jkπ + e^−jkπ = (−1)^k− 1

jkπ + (−1)^k. In definitiva,

ak =

⎧⎪

⎨

⎪⎩

0, k = 0,

1, k pari, k = 0,

−1 − _jkπ² , k dispari.

Esercizio 6 – [punti 2] [ difficile, da svolgere per ultimo! ]

Si consideri un sistema LTI a tempo continuo, caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) = 4e^−4tu(t). Per quali segnali d’ingresso periodici x(t) la potenza media della corrispondente uscita y(t) soddisfa la condizione P (y) = P (x)?

Svolgimento. Ricordiamo che, per il Teorema di Parseval, la potenza (finita) di un segnale periodico x(t) si pu`o esprimere tramite i suoi coefficienti di Fourier, come P (x) = <sup></sup><sub>k</sub>|a<sub>k</sub>|<sup>2</sup>. D’altra parte, per un sistema LTI con risposta in frequenza H(jω), in regime periodico di periodo T e pulsazione ω0 = <sup>2π</sup><sub>T</sub> , vale la relazione bk = H(jkω0)ak, k ∈ Z, tra i coefficienti dell’ingresso x(t) e quelli dell’uscita y(t). Perci`o, la potenza dell’uscita si pu`o scrivere come P (y) =^_k|bk|² =^_k|H(jkω0)|²|ak|².

Nel nostro caso, si calcola H(jω) =

_∞

−∞h(t)e^−jωtdt

=

_∞

0 4e^−4te^−jωtdt = 4

4 + jω, ω ∈ R,

e si verifica che |H(jω)| ≤ 1, per ogni ω ∈ R, con |H(jω)| = 1 solo se ω = 0. Di conseguenza, abbiamo P (y) =^_k|H(jkω₀)|²|a_k|² ≤^_k|a_k|² = P (x) e anzi

P (y) = a²₀+^

k=0

|H(jkω₀)|²|a_k|² < a²₀+^

k=0

|a_k|² = P (x), salvo che ak = 0, per ogni k = 0, nel qual caso P (y) = P (x).

Concludiamo che, tra gli ingressi periodici al sistema LTI in esame, i segnali costanti sono gli unici per cui la potenza si mantiene invariata all’uscita.