Insegnamento di
SEGNALI E SISTEMI
(a.a. 2002-2003) Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. PinzoniSeconda prova di accertamento – 2 dicembre 2002 Testo e Soluzione
Esercizio 1–[punti 6]
(a) Calcolare la trasformata di Fourier del segnale
x1(t) = e−2 |t|, t ∈ R.
Svolgimento. Calcoliamo X1(jω) =R−∞+∞x1(t)e−jωtdt direttamente X1(jω) =
Z 0
−∞e(2−jω)tdt +
Z +∞
0
e−(2+jω)tdt = e(2−jω)t 2 − jω
0
−∞
+ e−(2+jω)t
−(2 + jω)
+∞
0
= 4
4 + ω2 Alternativamente si osservi che x1(t) = x0(t) + x0(−t) con x0(t) = e−2tu(t). Per la propriet`a di inversione temporale X1(jω) = X0(jω) + X0(−jω) mentre dalla tabella si desume (terza riga dal basso) X0(jω) = 2+jω1 . Si conclude sommando.
(b) Calcolare la trasformata di Fourier del segnale
x2(t) = t e−2 |t|, t ∈ R,
utilizzando il risultato precedente e le propriet`a della trasformata.
Svolgimento. Utilizzando la regola di differenziazione in frequenza X2(jω) = jdωd X1(jω) e quindi
X2(jω) = j d dω
4
4 + ω2
= −j 8ω
(4 + ω2)2. Esercizio 2–[punti 6] Calcolare l’energia del segnale
x(t) = sen 5t
2πt , t ∈ R.
Svolgimento. Il teorema di Parseval fornisce Ex =
Z +∞
−∞
|x(t)|2dt = 1 2π
Z +∞
−∞
|X(jω)|2dt
La trasformata di Fourier X(jω) si ottiene dalla tavola 4.2 (settima riga dal basso) come X(jω) =
( 1
2, se |ω| < 5 0, altrimenti e, sostituendo nella formula precedente,
Ex =
Z +∞
−∞
|x(t)|2dt = 1 2π
Z 5
−5
1 2
2
dt = 5 4π.
Esercizio 3–[punti 6] Sia x(t) un segnale a tempo continuo con trasformata di Fourier X(jω) e si consideri il segnale modulato
y(t) = sen(ω0t) x(t), t ∈ R.
(a) Si esprima la trasformata di Fourier Y (jω) in funzione di X(jω).
Svolgimento. Si pu`o risolvere in vari modi, come tutti gli esercizi basati sulle propriet`a della trasformata. Una possibile procedura `e utilizzare la formula di Eulero per esprimere la funzione sin(ω0t) e poi impiegare la regola di traslazione in frequenza. Si ha
y(t) = sen(ω0t) x(t) = ejω0t− e−jω0t
2j x(t)
e quindi
Y (jω) = 1
2j X(j(ω − ω0)) − 1
2j X(j(ω + ω0)).
(b) Se ω0 = 5 ed X(jω) = 0 per |ω| > 2, si determini un periodo di campionamento T che permetta la ricostruzione esatta di y(t) a partire dai campioni {y(kT ), k ∈ Z}, mediante un filtro passa-basso ideale.
Svolgimento. Per il risultato precedente Y (jω) `e nulla fuori degli intervalli [−7, −3] e [3, 7] e dunque ωM = 7. Un periodo di campionamento T che permette la ricostruzione esatta `e un qualunque T < 2ω2π
M = π7.
Esercizio 4–[punti 6] Si consideri l’equazione differenziale y00(t) + 6y0(t) = x(t).
(a) Si determini la soluzione y(t), t > 0, corrispondente ad x(t) = u(t) ed alle condizioni iniziali y(0−) = 1, y0(0−) = −6.
Svolgimento. Poich´e cerchiamo la soluzione dell’equazione differenziale per t > 0 applichiamo la trasformata unilatera di Laplace ai due membri ottenendo
s2Y (s) − sy(0−) − y0(0−) + 6sY (s) − 6y(0−) = 1 s ovvero, sostituendo le condizioni iniziali assegnate,
(s2+ 6s)Y (s) = (s · 1 − 6 + 6) +1 s che si riduce a
Y (s) = 1
s + 6 + 1 s2(s + 6).
Abbiamo mantenuto la separazione tra la parte che dipende dalle sole condizioni iniziali (che per antirasformazione fornisce la risposta libera) e quella che dipende dal solo ingresso (che fornisce la risposta forzata). La risposta libera `e
yl(t) = e−6tu(t).
Per antitrasformare il secondo addendo procediamo alla decomposizione in frazioni parziali 1
s2(s + 6) = A s2 +B
s + C s + 6 I coefficienti sono dati da
A = 1
s + 6
s=0
= 1
6, B = d ds
1
s + 6
s=0
= − 1
36, C = 1 s2
s=−6
= 1 36.
la risposta forzata `e
yf(t) = 1
6tu(t) − 1
36u(t) + 1
36e−6tu(t).
La soluzione richiesta `e
y(t) = yl(t) + yf(t) = 1
6tu(t) − 1
36u(t) + 37
36e−6tu(t).
(b) Si discuta la stabilit`a BIBO del sistema LTI causale associato all’equazione differenziale.
Svolgimento. Il sistema LTI associato all’equazione differenziale (ovvero la mappa x(t) 7→ yf(t)) ha funzione di trasferimento H(s) che si desume immediatamente dall’equazione ponendo x(t) = δ(t) ed y(0−) = y0(0−) = 0. Poich´e
H(s) = 1
s2+ 6s = 1 s(s + 6)
si conclude che il sistema non `e BIBO stabile per la presenza di un polo nell’origine. Il polo di H(s) nell’origine produce, per antitrasformazione, un addendo a gradino in h(t) che non `e dunque assolutamente integrabile. (Nel gergo dell’automatica si dir`a che il sistema contiene un integratore).
Esercizio 5–[punti 6] Un sistema LTI causale risponde al segnale d’ingresso x(t) = t2e−2tu(t) con l’uscita y(t) = 2 t3e−2tu(t).
(a) Si determini la risposta impulsiva del sistema.
Svolgimento. Per un sistema LTI causale y(t) = h(t) ∗ x(t) che si trasforma secondo Laplace in Y (s) = H(s)X(s). In questo caso sono noti x(t) ed y(t) e quindi X(s) ed Y (s). Si ottiene dunque
H(s) = Y (s) X(s) =
12 (s+2)4
2 (s+2)3
= 6
s + 2 e per antitrasformazione la risposta impulsiva `e
h(t) = 6e−2tu(t).
(b) La coppia di segnali x1(t) = 3 sen t u(t), y1(t) = t sen 2t u(t) `e una possibile coppia ingresso-uscita per il sistema?
Svolgimento. Per rispondere a questa domanda `e sufficiente verificare se la h(t) appena calcolata
`
e anche la risposta impulsiva del sistema LTI che genera la coppia ingresso-uscita x1(t), y1(t).
Ci`o `e impossibile: basta osservare che h(t) `e assolutamente integrabile e quindi risposta im- pulsiva di un sistema LTI BIBO stabile che, se sollecitato dall’ingresso limitato x1(t), non pu`o produrre l’uscita illimitata y1(t). Sarebbe stato possibile rispondere anche ricalcolando, per la coppia x1(t), y1(t), una risposta impulsiva h1(t) da confrontarsi con h(t).
Esercizio 6–[punti 2] [facoltativo, da svolgere per ultimo! ] L’equazione integrale y(t) =
Z t 0
y(τ ) cos [3(t − τ )] dτ + x(t), t > 0,
rappresenta la relazione ingresso-uscita di un sistema LTI causale, dove x(t) = 0 per t < 0.
(a) Si determini la funzione di trasferimento del sistema.
Svolgimento. L’integrale a secondo membro `e la convoluzione tra y(t) e cos 3t, l’equazione integrale si pu`o dunque riscrivere come
y(t) = y(t) ∗ cos 3t + x(t) e, trasformando secondo Laplace,
Y (s) = Y (s) s
s2+ 9 + X(s) da cui si ricava
(1 − s
s2+ 9)Y (s) = X(s) ovvero
H(s) = s2+ 9 s2− s + 9.
(b) A quale equazione differenziale `e associabile questo sistema?
Svolgimento. Per ispezione della H(s) si ottiene
y00(t) − y0(t) + 9y(t) = x00(t) + 9x(t).
