SEGNALI E SISTEMI

Insegnamento di

SEGNALI E SISTEMI

Prima prova di accertamento – 9 novembre 2002 Esercizio 1–[punti 6]

Si determini il periodo fondamentale T₀ e i coefficienti di Fourier del segnale a tempo continuo x(t) = 3 − sen 2t + 4 cos 2t + 2 cos(6t − π

4).

Svolgimento. Il segnale

x(t) = 3 − sen 2t + 4 cos 2t + 2 cos(6t − π 4).

`

e somma di segnali periodici, di periodi rispettivamente: qualunque, π, π e π/3. Poich`e i periodi degli addendi sono in rapporto razionale il segnale `e periodico. Il periodo fondamentale

`

e T = π, minimo comune multiplo dei periodi degli addendi. La base per lo sviluppo in serie di Fourier `e φ_k(t) := e^j2kt, k ∈_Z. Riscrivendo il segnale x(·) facendo uso delle formule di Eulero,

x(t) = 3 − e^j2t− e^−j2t

2j + 4e^j2t+ e^−j2t

2 + 2e^{j(2·3t−π4)}+ e^{−j(2·3t−π4)}

2 ,

i coefficienti a_k si determinano per ispezione a₀ = 3, a₁ = a−1 = 2 + 1

2j, a₃ = a−3 = e^−jπ4 =

√2 2 − j

√2

2 , a_k= 0 per ogni altro k.

Esercizio 2–[punti 6]

Per il sistema a tempo discreto descritto dalla relazione y(n) =

n+10

X

k=n−10

x(k), si verifichi se il sistema `e o non `e a. causale, b. BIBO-stabile.

Svolgimento.a. y(n) dipende dai valori di x(·) sia passati che futuri rispetto ad n. Il sistema non `e causale.

b. Se x(·) `e un segnale limitato, diciamo |x(n)| ≤ B < ∞, ∀ n, allora |y(n)| = |^Pn+10_k=n−10x(k)| ≤

Pn+10

k=n−10|x(k)| ≤ (n + 10 − (n − 10) + 1)B = 21B < ∞. Il sistema `e BIBO stabile.

Esercizio 3–[punti 6]

Si calcoli la convoluzione a tempo continuo y = h ∗ x, dove h(t) = x(t) =

( 1, se 0 ≤ t < 1 0, altrimenti

Svolgimento. y(t) = ^R_−∞^+∞h(t − τ )x(τ )dτ dove h(t − τ ) ed x(τ ) sono rettangoli di altezza unitaria di supporto (l’insieme dove una funzione `e diversa da zero) rispettivamente [t − 1, t] e [0, 1] sull’asse delle τ . Si trova quindi:

y(t) =











0, se t ≤ 0

Rt

01 · dτ = t, se 0 ≤ t ≤ 1

R1

t−11 · dτ = 2 − t, se 1 ≤ t ≤ 2

0, se t ≥ 2

Esercizio 4–[punti 6]

Per un sistema LTI con risposta impulsiva

h(t) = δ(t − 2) − δ(t + 2), si calcoli l’uscita y(t) corrispondente all’ingresso

x(t) =

( 1 − t², se |t| ≤ 1 0, altrimenti

Svolgimento. y(t) = h(t) ∗ x(t) = (δ(t − 2) − δ(t + 2)) ∗ x(t) = x(t − 2) − x(t + 2).

Poich`e il supporto di x(·) `e di lunghezza 2, non c’`e intersezione tra i supporti di x(t − 2) ed x(t + 2). Risulta

y(t) =







(t + 2)²− 1, se −3 ≤ t ≤ −1 1 − (t − 2)², se 1 ≤ t ≤ 3

0, altrimenti

Esercizio 5–[punti 6]

Un segnale a tempo continuo x(t) ha periodo 2. Si calcolino i coefficienti di Fourier di x, sapendo che

x(t) =

( 0, se 0 ≤ t < 1 2, se 1 ≤ t < 2

Svolgimento. Poich`e il periodo `e T = 2 le funzioni base sono φk(t) := e^jπkt, k ∈Z. I coefficienti sono

a₀ = 1 2

Z 2 0

x(t)dt = 1 2

Z 2 1

2dt = 1 e, per k 6= 0,

a_k = 1 2

Z 2 0

x(t)e^−jπktdt = 1 2

Z 2 1

2 e^−jπktdt = e^−jπk2− e^−jπk

−jπk Osservando che e^−jπk2 = 1 e che e^−jπk = (−1)^k possiamo scrivere:

a_k = e^−jπk2− e^−jπk

−jπk = j 1 − (−1)^k πk ovvero

a_k =

( j_πk² , se k = ±1, ±3, . . . 0, se k = ±2, ±4, . . .

I coefficienti a_k, k 6= 0 sono immaginari puri, come ci si doveva aspettare, visto che x(t) − 1 `e dispari.

Esercizio–6 [punti 2] [facoltativo, da svolgere per ultimo!]

Si consideri un sistema a tempo continuo LTI, la cui risposta impulsiva `e data da h(t) = 3 e^−|t|, t ∈ _R.

Sia l’ingresso x(t) un segnale periodico di periodo fondamentale T₀ e potenza media P_x <

∞. Applicando il teorema di Parseval, si trovi un limite superiore per la potenza media P_y dell’uscita.

Svolgimento. Il segnale di ingresso x(t) `e periodico ed ha potenza media finita: ammette quindi lo sviluppo in serie di Fourier

x(t) =

+∞

X

k=−∞

a_ke^j2πkt

dove l’uguaglianza va intesa nel senso della convergenza in media quadratica. La risposta impulsiva h(t) `e assolutamente integrabile infatti

Z +∞

−∞

|h(t)|dt =

Z +∞

−∞

5e^−|t|dt = 5 · 2

Z +∞

0

e^−tdt = 10 < ∞

quindi il sistema `e BIBO stabile. La risposta y(t) `e allora ben definita dalla convoluzione y(t) = h(t)∗x(t) =

Z +∞

−∞

h(τ )x(t−τ )dτ =

Z +∞

−∞

h(τ )

+∞

X

k=−∞

a_ke^{j2πk(t−τ )}dτ =

+∞

X

k=−∞

H(j2πk)a_ke^j2πkt

dove H(jω) `e la risposta in frequenza del sistema. L’ultima uguaglianza fornisce lo sviluppo in serie di Fourier di y(t). Poich`e

|H(jω)| = |

Z +∞

−∞

h(t)e^−jωtdt| ≤

Z +∞

−∞

|h(t)|dt = 10, applicando il teorema di Parseval otteniamo il limite superiore richiesto

P_y = 1 1

Z 1 0

|y(t)|²dt =

+∞

X

k=−∞

|H(j2πk)a_k|² ≤ 100

+∞

X

k=−∞

|a_k|² = 100P_x = 200