(1)Matteo Moda

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(1)Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Endomorfismi simmetrici. Endomorfismi simmetrici Endomorfismo simmetrico: Dato uno spazio vettoriale metrico V e un endomorfismo T appartenente a V. L’endomorfismo si definisce simmetrico se e solo se (T(v1),v2)=(v1,T(v2)) per ogni v1,v2 appartenente a V Data una base ortonormale B(e1,…,en) di V: Se x e y sono vettori righe delle coordinate di v e w rispetto a B allora: (v,w)=xTy T è un endomorfismo simmetrico se e solo se la matrice associata A=MB(T) è simmetrica Dimostrazione: 1.) Dati = ∑ = ∑

(2) :. ♣ , = ∑ , ∑

(3) = ∑,

(4) = ∑

(5) =. . .

(6)

(7) ℎ "ò 1 = %, 0 ≠ % ♣ (, = )

(8) = )

(9) , ( = )

(10) = )

(11) Una matrice si definisce simmetrica se è costituita da autovalori reali e autovettori ortogonali Teorema spettrale: Dato uno spazio vettoriale metrico V e T un endomorfismo simmetrico appartenente a V, allora: 1. Esiste una base ortonormale B di V costituita da autovettori di T 2. Ogni matrice reale simmetrica è simile a una matrice diagonale reale Matrice ortogonale: Una matrice si definisce ortogonale se, data una matrice quadrata *+, ℝ, ℎ * * = . L’inversa di una matrice quadrata è la sua trasposta. Ciò è dimostrato per il teorema di Binet: det* = det* = det. = 1, 2" det *3 = 1 → det * = ±1 Una matrice ortogonale di determinate 1 è detta matrice di rotazione. Questa matrice viene utilizzata perle rotazioni di un piano intorno all’origine e le rotazioni di uno spazio attorno a una retta passante per l’origine Esempio 7 1 1 Data la matrice reale simmetrica ) = 61 7 18 il suo polinomio caratteristico è: 1 1 7 7−: 1 1 9 : = det) − :.< = det 6 1 7−: 1 8 = ⋯ = −: − 63 : − 9 con auto valori 6 1 1 7−: (DOPPIO) e 9, e auto vettori: 1 1 1 1 1 1 @6 = A) − 6. < = A 61 1 18 = A 60 0 08 =< 1,0, −1, 0,1, −1 > 1 1 1 0 0 0 1,1,1 @9 =< > D − Eℎ @6: 1 1,0, −1 → 1 √2 1 1 1 0,1, −1 − 0,1, −11,0, −1 1,0, −1 = H− , 1, − I √6/2 2 2 2 E(6) ha base ortonormale HK. √3. 1. , 0, −. √3. L , K−. ,. 3. √M √M. ,−. √M. LI.

(12) Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Endomorfismi simmetrici. , , LI √N √N √N. E(9) ha base ortonormale HK. ℎ " @6 O " P " " ). R *: 1 1 1 U Y − √6 √3X T √2 2 1X T T 0 X √6 √3X T 1X T− 1 − 1 S √2 √6 √3W ,che ha come colonne le basi ortonormali elencate prima, è una matrice ortogonale. Forma quadratica: Data una matrice reale e simmetrica ) + , ℝ. La forma quadratica associata ad A è la funzione 2: ℝ → ℝ O 2 = ) = ∑, con x vettore colonna di componenti (x1,x2,….). Per ogni forma quadratica q vale 2: = :3 2 : Matrici congruenti: Due matrici A e B si dicono congruenti se: Z = * )* Matrici equivalenti: Due matrici A e B si dicono equivalenti () ≈ Z se valgono le seguenti proprietà: Riflessiva: ) ≈ ) → * = . Simmetrica: * \ Z = )* * \ Z* \ = ) *\ Z* \ = ) Transitiva: ) ≈ Z Z ≈ ] → ) ≈ ] Dati Z = * )* ] = ^ Z^. C è uguale a ] = ^ Z^ = ^ * )*^ = * ^ )*^ = *^ ) *^ = _ )_ _ = *^ Forma quadratica diagonalizzabile: Una forma quadratica q si dice diagonalizzabile se esiste un cambiamento di coordinate x=Py tale che q(x) si trasformi in una forma quadratica diagonale, cioè: 2 `

(13) =

(14) 3 + ⋯ +

(15) 3 R Ob c. * è " c. La forma quadratica q associata ad A è diagonalizzabile se e solo se A è congruente a una matrice diagonale Teorema: Ogni forma quadratica è diagonalizzabile mediante una trasformazione ortogonale di coordinate Indici di una forma quadratica: Sono i numeri di autovalori positivi, negativi, nulli della matrice simmetrica A, associata alla forma quadratica, cioè: e 2" c " ) → à 2 \ 2" c " c ) → cà 2 g 2" c " " ) → "à Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite: La forma quadratica q (e quindi la matrice A) si dicono: Definita positiva se 2 > 0 ≠ 0 Semidefinita positiva se 2 ≥ 0 Definita negativa se 2 < 0 ≠ 0 Semidefinita negativa se 2 ≤ 0 Se ∃ 1, 2 | 21 < 0 < 22 O 2" O. 2.

(16) Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Endomorfismi simmetrici. Riassumiamo il tutto nella seguente tabella Q. i+ (q). i-(q). i0(q). Def. Positiva Semidef. Positiva Def. Negativa Semidef. Negativa Indef.. n. 0. 0. n-m. m. 0. 0. 0. n. 0. m. n-m. P1>0. n-P1-P2. P2>0. Introduciamo ora le coordinate omogenee. Questo argomento non è presente sul libro e non è stato spiegato bene in classe. Ho pensato, quindi, di scaricare i seguenti appunti di un professore del Poli, sperando che siano comprensibili.. SISTEMI DI RIFERIMENTO E COORDINATE OMOGENEE 2. 1. Le coordinate omogenee Riferiamo lo spazio ad una terna di assi cartesiani ortogonali e indichiamo con il vettore: Vettore coordinate cartesiane.. X  Y    Z  p=   le coordinate cartesiane di un generico punto P.. Chiamiamo coordinate omogenee di P, una quaterna di numeri x,y,z,w tali che: X =. x ; w. Y=. y ; w. Z=. z w. Abbiamo quindi un vettore di coordinate omogenee Vettore coordinate omogenee.. x  y p=  z    w. Per le coordinate omogenee si hanno le seguenti proprietà:. 3.

(17) Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Endomorfismi simmetrici. 1) Le coordinate omogenee di un punto sono definite a meno di un fattore di proporzionalità. In altre parole, due punti le cui coordinate omogenee differiscono tra loro per una costante di proporzionalità k, corrispondono allo stesso punto in coordinate cartesiane. Infatti, dati P1=(x,y,z,w) e Q1=(kx,ky,kz,kw), ricaviamo da ciascuno di essi il corrispondente in coordinate cartesiane: y x z P1 ⇒ P = ( = X ; = Y; = Z) w w w ky kx kz Q1 ⇒ Q=( = X; = Y; = Z) kw kw kw otteniamo quindi che P=Q, come volevasi dimostrare. 2) I punti in coordinate omogenee con coordinata w nulla sono detti punti impropri. Detti punti non hanno apparentemente un significato geometrico nello spazio cartesiano. Un punto improprio rappresenta una direzione OP, con P=(X,Y,Z) generico, mediante le coordinate omogenee (x,y,z,0). X Y Z x = ; y = ;z = 0 0 0 .Anche per i punti impropri vale la proprietà (1). Essendo Nel punto seguente si mostra perché questi punti rappresentano delle direzioni. 2.1.1. Rappresentazione geometrica delle coordinate omogenee Per poter rappresentare graficamente le coodinate omogenee consideriamo uno spazio cartesiano Vettore coordinate bidimensionale. Abbiamo quindi i vettori: cartesiane e coordinate x X    omogenee. Y  →  y    w Supponiamo per semplicità che sia w=1: in tal modo le coordinate cartesiane (fisiche) e quelle omogenee coincidono: X=x/1; Y=y/1.. Il punto P’(X,Y) è ricavato dal punto P(x,y,1), intersecando la retta OP1 col piano w=1. x P =  y  w. w w=1. P’. O. ! Facendo diminuire w fino a farlo tendere a 0 i vari punti XY che si trovano intesecando la retta OP con il piano a w costante identificano una direzione muovendosi verso l’infinito. Per questo per w=0 si ha un punto all’infinito che rappresenta una direzione.. y Direzione identificata dal punto [x,y,0]. x Figura 2.1.1 1. Geometricamente il parametro u rappresenta un fattore di scala e sarà sempre posto ad 1 oppure a 0, salvo diversa indicazione.. 4.

(18) Matteo Moda. Geometria e algebra lineare. Endomorfismi simmetrici. Il concetto delle coordinate omogenee può essere esteso al caso in tre dimensioni con quattro variabili di coordinate omogenee. w≠ ≠0 da un punto al finito (proprio). x X    Y  →  y    z  Z   w  . w=0 si ha un punto all’infinito che rappresenta una direzione. 2.1.2 Alcune direzioni particolari In coordinate omogenee ci sono 4 punti particolari:. 1  0   =i 0    0 . 0  1   = j 0    0 . 0  0   =k 1    0 . 0  0   =O 0    1 . Versore (direzione) dell’asse X. Versore (direzione) dell’asse Y. Versore (direzione) dell’asse Z. Origine degli assi degli assi. 5.

(19) Matteo Moda Z. O. Geometria e algebra lineare → k. Y → j. Questi quattro punti caratterizzano il sistema di riferimento.. X → i. Figura 2.1.2 1. 6. Endomorfismi simmetrici.

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