ESERCIZI PROPOSTI
IL PIANO CARTESIANO
LE COORDINATE DI UN PUNTO NEL PIANO CARTESIANO
1 A
Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura?
1 B
Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura?
Rappresenta nel piano cartesiano l’insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni:
2 A
1 3
3 4
x y
− < ≤
< <
2 B
2 2
2 5
x y
− < ≤
< <
LUNGHEZZA E PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO - IL BARICENTRO DI UN TRIANGOLO
RETTE NEL PIANO CARTESIANO
7 Area 2
=
3 B
Dopo aver verificato che il triangolo di vertici A(–2; –1), B(5; 0) e C(1; 3) è un triangolo isoscele, calcolane l’area ed il perimetro.
25 Area 2
=
4 A
Sia M(1; 6) il punto medio del segmento AB, con A(–3; 5). Determina le coordinate di B.
( 5; 7 )
B
4 B
Sia M(2; 5) il punto medio del segmento AB, con A(–2; 4). Determina le coordinate di B.
( 6; 6 )
B
5A
Dopo aver verificato che il triangolo di vertici A(3; 2), B(9; –2) e C(7; 8) è isoscele, calcolane l’area, il perimetro ed il baricentro.
4 13 2 26; 26; 19 8 ; 3 3
+
5 B
Dopo aver verificato che il triangolo di vertici A(2; 1), B(8; –3) e C(6; 7) è isoscele, calcolane l’area, il perimetro ed il baricentro.
4 13 2 26; 26; 16 5 ; 3 3
+
6 A
Dati i punti A(2; 1), B(6; 3), C(1; 3) , determina il triangolo A′B′C′ simmetrico di ABC rispetto al punto P(1; –2).
[ A ′ ( 0 ; − 5 ), B ′ ( − 4 ; − 7 ), C ′ ( 1 ; − 7 ) ]
6 B
Dati i punti A(–1; –4), B(–6; –5), C(–2; –2), determina il triangolo A′B′C′ simmetrico di ABC rispetto al punto P(1; –1).
[ A ′ (3;2), B ′ ( 8 ;3), C ′ ( 4 ;0) ]
L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
Scrivi l’equazione della retta passante per A e B.
(
equazione della retta passante per due punti)
7 A
A(2; 4), B(–1; –5) . [ y = 3 x − 2 ]
7 B
A(1; 6), B(–1; 0). [ y = 3 x + 3 ]
Stabilisci se i punti A e B appartengono alla retta r indicata.
8 A
r: 2 x − 3 y − = 5 0 , A ( − − , 2; 3 ) 1 4 ; B 2 3
. [ A appartiene B , non appartiene ]
8 B
r: 3 x − 2 y + = 5 0 , A ( 3; 2 − , ) 4 1 ; B − 3 2
. [ A non appartiene B , appartiene ]
Disegna nel piano cartesiano le rette rappresentate dalle seguenti equazioni.
9 A
2 x + = y 0 ; x − 3 y + = 1 0 .
9 B
x + 2 y = 0 ; x − 2 y + = 3 0 .
Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni. Trasforma poi tali equazioni in forma implicita.
10 A
y = 2 x − 5 ; 3 y = − 5 .
10 B
y = 3 x − 4 ; 2 y = − 5 .
Determina, quando possibile, il coefficiente angolare delle rette AB, AC e BD e poi disegnale nel piano cartesiano.
(
coefficiente angolare della retta passante per due punti)
11 A
A ( 3; 4 − , ) B ( ) 0; 2 , C ( − − , 2; 4 ) D ( 0; 1 − . ) [ − 2; 0; non esiste ]
11 B
A ( 2; 5 − , ) B ( − 3; 0 ) , C ( ) 2;1 , D ( ) 2; 0 . [ − 1; non esiste; 0 ]
Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine avente il coefficiente angolare m indicato e poi disegnala nel piano cartesiano. (
retta passante per l’origine degli assi)
12A
1
m = 3 ; m = − . 4
12 B
1
m = 4 ; m = − . 3
13 A
Scrivi l’equazione della retta che passa per il punto P(2; –3) e ha coefficiente angolare uguale a quello della retta di equazione 3 x − 2 y − = 4 0 (
retta passante per un punto avente coefficiente angolare m).3 6
y 2 x
= −
uguale a quello della retta di equazione x − 4 y + = 3 0 .
1 1 y 4 x
= −
Rappresenta graficamente le seguenti funzioni.
14 A
y = 3 x − ; 1
3 2 se 0
2 se 0 3
1 se 3
x x
y x
x x
+ ≤
= < <
− ≥
.
14 B
1
2 5
y = x − ;
≥
<
<
−
≤
−
=
4 se 3
4 1
se 5 2
1 se 3
x x x
x x
y .
Rappresenta nel piano cartesiano l’insieme delle soluzioni del seguente sistema di disequazioni.
15 A
2 1 0
3 4 0
x y
y x
+ − ≥
− + ≤
15 B
3 2 0
2 5 0
x y
y x
+ + ≥
− − ≤
Date le seguenti rette, determina le equazioni delle loro simmetriche rispetto alla retta indicata.
16 A
y = − − x 2 , rispetto alla retta y − = 1 0 ; 3 1 0
x − y + = , rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
[ x − + = y 4 0; 3 x − − = y 1 0 ]
16 B
y = − x 3 , rispetto alla retta y − = 2 0 ; 2 3 0
x − y − = , rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
[ x + − = y 7 0; 2 x − + = y 3 0 ]
RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI
Considera le seguenti rette, determina il loro coefficiente angolare e stabilisci, senza disegnarle, quali sono parallele e quali perpendicolari.
17 A
2 x + 3 y − = 2 0 , 3 x − + = y 6 0 , − + 6 x 2 y = 0 , 3 x − 2 y − = 8 0 .
17 B
2 x + 5 y − = 3 0 , 4 x + 10 y + = 7 0 , − + x 2 y = 0 , 2 x + − = y 8 0 .
Scrivi l’equazione della retta parallela e della retta perpendicolare alla retta data, entrambe passanti
per A, poi disegna le tre rette.
18 A
2 5 1
y = − x − , A ( ) 0; 4 . 2 4; 5 4
5 2
y x y x
= − + = +
18 B
3
4 1
y = x − ; A ( 0; 2 − . ) 3 2; 4 2
4 3
y x y x
= − = − −
19 A
Fra le rette perpendicolari alla retta di equazione 2 x − 8 y + = 1 0 determina l’equazione della retta che interseca:
a) l’asse x nel punto A(–3; 0);
b) l’asse y nel punto B(0; 2).
[ y = − − 4 x 12; y = − + 4 x 2 ]
19 B
Fra le rette perpendicolari alla retta di equazione 3 x − 6 y + = 2 0 determina l’equazione della retta che interseca:
a) l’asse x nel punto A(–2; 0);
b) l’asse y nel punto B(0; 3).
[ y = − − 2 x 4; y = − + 2 x 3 ]
Determina l’equazione dell’asse del segmento avente come estremi i punti A e B, utilizzando due metodi diversi.
20 A
A ( − 3;1 ) , B ( − 5; 2 ) . [ 4 x − 2 y + 19 = 0 ]
20 B
A ( ) 2; 4 , B ( 1; 1 . − ) [ x + 5 y − = 6 0 ]
Stabilisci la posizione reciproca delle seguenti rette.
21 A
r y : = 5 x − 1 , s : 3 x − + = y 7 0 , t :10 x − 2 y + = 6 0 .
21 B
r y : = 3 x + 3 , s : 6 x + 2 y − = 1 0 , t : 3 x + = y 0 .
22 A
I lati del quadrilatero ABCD appartengono alle rette di equazione:
2
y = + x ; 1 7
4 2
y = x + ; y = − x 1 ; 1 2 y = 4 x + .
Determina le coordinate dei vertici e verifica che il quadrilatero è un parallelogramma.
( ) ( ) ( ) ( ) 0; 2 ; 2; 4 ; 6;5 ; 4;3
A B C D
22 B
I lati del quadrilatero ABCD appartengono alle rette di equazione:
3
y = + x ; 1 3
y = 4 x + ; y = x ; 1 3
4 2
y = x + .
Determina le coordinate dei vertici e verifica che il quadrilatero è un parallelogramma.
( 2;1 ; ) ( ) ( ) ( ) 0;3 ; 4; 4 ; 2; 2
A − B C D
LA DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
Determina la distanza del punto P dalla retta r.
23 A
r y : = 2 x − 5 , P ( − 1;3 ) . 10
5
23 B
r y : = 2 x − 3 , P ( − 3;1 ) . 10
5
24 A
Dato il triangolo di vertici A(2; 0), B(3; –3) e C(7; 1), determina l’altezza relativa al lato AB e l’area del triangolo.
16 ; 8 10
24 B
Dato il triangolo di vertici A(1; 0), B(2; –3) e C(6; –1), determina l’altezza relativa al lato AB e l’area del triangolo.
14 ; 7 10
I FASCI DI RETTE
25 A
Scrivi l’equazione del fascio improprio di rette contenente la retta di equazione
6 x + 2 y − = 1 0 e disegna tre rette del fascio. Determina l’equazione della retta che passa per il punto A(2; 0).
[ 3 x + − = y 6 0 ]
25 B
Scrivi l’equazione del fascio improprio di rette contenente la retta di equazione
9 x − 3 y + = 5 0 e disegna tre rette del fascio. Determina l’equazione della retta che passa per il punto A(3; 0).
[ 3 x − − = y 9 0 ]
26 A
Scrivi l’equazione del fascio di rette passanti per il punto A(3; –1) e disegna le rette aventi coefficiente angolare 1
m = − 3 , m = , 3 m = − . 1
[ y = mx − 3 m − ∨ = 1 x 3, m ∈ R ]
26 B
Scrivi l’equazione del fascio di rette passanti per il punto A(–2; 1) e disegna le rette aventi coefficiente angolare 1
m = − 2 , m = , 2 m = . 1
[ y = mx + 2 m + ∨ = − 1 x 2, m ∈ R ]
27 A
Tra le rette del fascio di equazione ( k + 1 ) ( x − − k 2 ) y + − = , k ∈ R , determina quella k 3 0 che:
a) è parallela all’asse delle ascisse;
b) è parallela all’asse delle ordinate;
c) passa per l’origine del sistema di riferimento;
d) passa per il punto A(–2; 1);
e) è parallela alla retta di equazione 2 x + 3 y − = 1 0 .
4 1
a) ; b) ; c) 4 0; d) 7 9 0; e) 6 9 14 0
3 3
y x x y x y x y
= = − = − + = + − =
27 B