Serie di Fourier

(1)

Serie di Fourier

motivazioni, costruzione

applicazioni

circa 4 ore lezione

Serie di Fourier – p. 1/53

(2)

Motivazioni

Problema: Scrivere una funzione come sviluppo in serie quando

f non è regolare (per fare lo sviluppo in serie di Taylor abbiamo bisogno che la funzione sia derivabile infinite volte).

(3)

Motivazioni

Problema: Scrivere una funzione come sviluppo in serie quando

f non è regolare (per fare lo sviluppo in serie di Taylor abbiamo bisogno che la funzione sia derivabile infinite volte).

f è periodica (ovvero esiste T > 0 tale che per ogni x ∈ R si abbia f (x + T ) = f (x))

(4)

Esempio

Vediamo con un disegno dell’approssimazione della funzione cos x = 1 − ^x₂² = ^x_4!⁴ + · · ·in serie di Taylor.

(5)

Esempio

cos x = 1

(6)

Esempio

cos x = 1

cosx=1−x^2+x^4

(7)

Osservazione: Le funzioni sin nx, cos nx sono 2π-periodiche (per ogni n ∈ N), pertanto per ogni a, b ∈ R la funzione

(8)

a cos nx + b sin nx

(9)

a cos nx + b sin nx

sarà 2π-periodica, quindi anche la funzione

s_N(x) = a0

2 +

N

X

n=1

(a_n cos nx + b_n sin nx)

(10)

a cos nx + b sin nx

sarà 2π-periodica, quindi anche la funzione

s_N(x) = a0

2 +

N

X

n=1

è 2π-periodica.

(11)

y = sen (x) y = sen (2 x)

y = sen (3 x) y = sen (4 x)

(12)

Il nostro scopo è dunque quello di cercare di scrivere una funzione generale f utilizzando le funzioni periodiche seno e coseno come elementi di una “base dello spazio di

funzioni" come abbiamo utilizzato i polinomi come elementi di “base" per scrivere una funzione generica C^ω attraverso la serie di Taylor.

(13)

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Dovete ricordare che

(14)

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Z _π

−π

cos mx cos nx dx =







0 se m 6= n π se m = n

(15)

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Z _π

−π

cos mx cos nx dx =







0 se m 6= n π se m = n e analogamente

Z _π

−π

sin mx sin nx dx =







0 se m 6= n π se m = n 6= 0

(16)

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Z _π

−π

cos mx cos nx dx =







0 se m 6= n π se m = n e analogamente

Z _π

−π

sin mx sin nx dx =







0 se m 6= n π se m = n 6= 0

(17)

Coefficienti di Fourier

Consideriamo dunque

s_N(x) = a0

2 +

N

X

n=1

(18)

Coefficienti di Fourier

Consideriamo dunque

s_N(x) = a0

2 +

N

X

n=1

Supponiamo che

s_N(x) → f (x)

(19)

Coefficienti di Fourier

Consideriamo dunque

s_N(x) = a0

2 +

N

X

n=1

Supponiamo che

s_N(x) → f (x)

ovvero che la somma della serie sia una funzione

f (x) = a0

2 +

+∞

X

n=1

(20)

Legame tra f e a _n , b _n

Moltiplicando la f per cos mx (con m = 0, 1, . . .) e

supponendo che si possa integrare termine a termine su di un periodo (per esempio quest’ è possibile se c’è

convergenza uniforme su un periodo) [0, 2π], otteniamo

(21)

Legame tra f e a _n , b _n

convergenza uniforme su un periodo) [0, 2π], otteniamo Z _π

−π

f (x) cos mx dx =

Z _π

−π

a0

2 cos mx dx

(22)

Legame tra f e a _n , b _n

−π

f (x) cos mx dx =

Z _π

−π

a0

2 cos mx dx

+

+∞

X

n=1

Z _π

−π

(a_n cos nx cos mx + b_n sin nx cos mx) dx

(23)

Legame tra f e a _n , b _n

−π

f (x) cos mx dx =

Z _π

−π

a0

2 cos mx dx

+

+∞

X

n=1

Z _π

−π

Tenendo conto delle relazioni precedentemente ricordate si ha che

(24)

Legame tra f e a _n , b _n

−π

f (x) cos mx dx =

Z _π

−π

a0

2 cos mx dx

+

+∞

X

n=1

Z _π

−π

Tenendo conto delle relazioni precedentemente ricordate si ha che

(25)

ed in modo analogo moltiplicando per sin mx

(26)

ed in modo analogo moltiplicando per sin mx Z _π

−π

f (x) sin mx dx =

Z _π

−π

a0

2 sin mx dx

(27)

−π

f (x) sin mx dx =

Z _π

−π

a0

2 sin mx dx

+

+∞

X

n=1

Z _π

−π

(a_n cos nx sin mx + b_n sin nx sin mx) dx e quindi

(28)

−π

f (x) sin mx dx =

Z _π

−π

a0

2 sin mx dx

+

+∞

X

n=1

Z _π

−π

(a_n cos nx sin mx + b_n sin nx sin mx) dx e quindi

b_n = 1 π

Z _π

−π

f (x) sin nx dx, per n = 1, 2, . . .

(29)

Abbiamo che, data una f ∈ R((−π, π)) e 2π-periodica,

(30)

Abbiamo che, data una f ∈ R((−π, π)) e 2π-periodica, i

coefficienti a_n e b_n definiti prima, si chiamano coefficienti di Fourier associati a f e l’espressione

(31)

a0

2 +

+∞

X

n=1

(32)

a0

2 +

+∞

X

n=1

si chiama serie di Fourier associata ad f.

(33)

N.B.

1. Per poter scrivere i coefficienti a_n con la stessa formula

∀ n ∈ N (e quindi anche nel caso in cui n = 0) definiamo

(34)

N.B.

∀ n ∈ N (e quindi anche nel caso in cui n = 0) definiamo a0 = 1

π

Z _π

−π

f (x) dx

(35)

N.B.

π

Z _π

−π

f (x) dx

Invece si avrebbe (caso n = m = 0) Z _π

−π

f (x) dx = 2πa0

(36)

N.B.

π

Z _π

−π

f (x) dx

Invece si avrebbe (caso n = m = 0) Z _π

−π

f (x) dx = 2πa0

e quindi facciamo iniziare la serie di Fourier con il termine a0

.

(37)

2. Ricordiamo che una funzione è detta pari se e solo se f (x) = f (−x); mentre è detta dispari se e solo se

f (x) = −f (−x).

(38)

f (x) = −f (−x).

3. Ogni funzione f (x) può essere scritta come somma di una funzione pari e di una funzione dispari secondo la formula

(39)

f (x) = −f (−x).

f (x) = f_e(x) + f_o(x) = f (x) + f (−x)

2 + f (x) − f (−x) 2

(40)

f (x) = −f (−x).

f (x) = f_e(x) + f_o(x) = f (x) + f (−x)

2 + f (x) − f (−x) 2

Esempio: e^x = cosh x + sinh x = e^x + e⁻^x

2 + e^x − e⁻^x 2

(41)

4. In due casi il calcolo dei coefficienti di Fourier si semplifica:

se f (x) è una funzione pari, allora nel suo svilippo in serie di Fourier devono comparire solo termini pari e quindi b_n = 0, ∀n ≥ 1.

(42)

4. In due casi il calcolo dei coefficienti di Fourier si semplifica:

se f (x) è una funzione pari, allora nel suo svilippo in serie di Fourier devono comparire solo termini pari e quindi b_n = 0, ∀n ≥ 1.

se f (x) è una funzione dispari, allora nel suo svilippo in serie di Fourier devono comparire solo termini dispari e quindi a_n = 0, ∀n ≥ 0.

(43)

5. la serie di Fourier associata ad una funzione f (x) si può esprimere usando una notazione complessa come:

+∞

X

n=−∞

γ_ne^inx, γ_n =

Z _π

−π

e⁻^inxf (x) dx

(44)

+∞

X

n=−∞

γ_ne^inx, γ_n =

Z _π

−π

e⁻^inxf (x) dx

dove si passa dalla forma reale a quella complessa ponendo γ0 = a0/2 e

(45)

+∞

X

n=−∞

γ_ne^inx, γ_n =

Z _π

−π

e⁻^inxf (x) dx

γ_n = 1

2(a_n − ib_n) e γ⁻_n = 1

2(a_n + ib_n)

(46)

+∞

X

n=−∞

γ_ne^inx, γ_n =

Z _π

−π

e⁻^inxf (x) dx

γ_n = 1

2(a_n − ib_n) e γ⁻_n = 1

2(a_n + ib_n)

(47)

e ricordando la formula di Eulero

e^iy = cos y + i sin y si ottiene la formula finale

+∞

X

n=−∞

γ_ne^inx, γ_n =

Z _π

−π

e⁻^inxf (x) dx

(48)

Definizione

Il termine generale della serie

a_n cos nt + b_n sin nt

si chiama la n-esima armonica .

(49)

Definizione

Il termine generale della serie

a_n cos nt + b_n sin nt

si chiama la n-esima armonica . La sua frequenza è ⁿ

2π e si dice che la serie di Fourier è lo sviluppo di f (t) in serie di armoniche elementari.

(50)

Problema

Data una f ∈ R((−π, π)) e 2π-periodica,

quando

^è

che la serie di Fourier associata ad f (ovvero costruita tramite i coefficienti di Fourier di f)

converge e

converge proprio ad f ?

(51)

Convergenza della serie di Fourier

Condizione sufficiente affinchè una serie di Fourier

a0

2 +

+∞

X

n=1

(52)

Convergenza della serie di Fourier

a0

2 +

+∞

X

n=1

converga è che siano convergenti le serie numeriche

+∞

X

n=1

|a_n|

+∞

X

n=1

|b_n|

(53)

Convergenza della serie di Fourier

a0

2 +

+∞

X

n=1

converga è che siano convergenti le serie numeriche

+∞

X

n=1

|a_n|

+∞

X

n=1

|b_n|

Infatti abbiamo

|a_n cos nx + b_n sin nx| ≤ |a_n| + |b_n|

(54)

e quindi se convergono assolutamente le due serie

numeriche dei coefficienti, la serie di Fourier converge assolutamente per il criterio di confronto.

(55)

Notazione.

Indichiamo

il limite destro nel punto x0 con f (x⁺₀ ) = lim

x→x⁺₀

f (x)

(56)

Notazione.

Indichiamo

il limite destro nel punto x0 con f (x⁺₀ ) = lim

x→x⁺₀

f (x)

il limite di sinistra nel punto x0 con f (x⁻₀ ) = lim

x→x⁻₀ f (x)

(57)

f(x +) f(x −)

₀

0

x

₀

(58)

Definizione: f è detta regolare a tratti su [a, b]

(59)

⇔

(60)

⇔

∃ un numero finito di punti x0, . . . , x_N con

(61)

⇔

a = x0 < x1 < x2 < . . . < x_N = b

(62)

⇔

a = x0 < x1 < x2 < . . . < x_N = b tali che f ∈ C¹([x_i−1, x_i]).

(63)

⇔

a = x0 < x1 < x2 < . . . < x_N = b tali che f ∈ C¹([x_i−1, x_i]).

f si dice che è regolare a tratti su ^R se lo è su ogni compatto in ^R.

(64)

x x x

a= x

0 1 2 n

= b

(65)

N.B. f ∈ C¹([x_i−1, x_i]) vuol dire f ∈ C¹((x_i−1, x_i))

(66)

esistono e sono finiti f (x⁺_i−1), f (x⁻_i )

(67)

esistono e sono finiti f (x⁺_i−1), f (x⁻_i ) esistono e sono finiti

f₊^′∗(x_i−1) = lim

x→xⁱ₋₁

f (x) − f (x⁺_i−1) x − x_i−1 ,

f−^′∗(x_i) = lim

x→xⁱ

f (x) − f (x⁻_i ) x − x_i

(68)

f(x +) f(x −)

₀

0

x

₀

0

f’*(x −)

f’*(x +)

(69)

Teoremi di convergenza

Teorema: (convergenza puntuale delle serie di Fourier) Sia f una funzione

2π-periodica,

(70)

Teoremi di convergenza

2π-periodica,

regolare a tratti in ^R (C¹).

(71)

Teoremi di convergenza

2π-periodica,

Allora per ogni x ∈ R la serie di Fourier converge a 1

2[f (x⁺) + f (x⁻)].

(72)

Teoremi di convergenza

2π-periodica,

Allora per ogni x ∈ R la serie di Fourier converge a 1

2[f (x⁺) + f (x⁻)].

In particolare la serie converge a f (x) in ogni punto in cui f è continua.

(73)

N.B.

NON basta la continuità della f per avere la convergenza della serie di Fourier (1876 du Bois-Raymond)

(74)

N.B.

NON basta la continuità della f per avere la convergenza della serie di Fourier (1876 du Bois-Raymond) Siccome i coefficienti sono definiti tramite un integrale, tali coefficienti non cambiano cambiando la f in punti isolati, ovvero il comportamento della serie dipende dal comportamento locale della f e non da quello puntuale.

(75)

Condizione (D)

Ogni tanto si sente citare per ipotesi sulla convergenza delle serie di Fourier di una condizione (D) in un punto x0

che dice semplicemente

f è derivabile in x0 oppure

(76)

Condizione (D)

f è continua in x0 ed esistono f₊^′ (x0) e f−^′ (x0) oppure

(77)

Condizione (D)

f è continua in x0 ed esistono f₊^′ (x0) e f−^′ (x0) oppure f è discontinua in x0 ed esistono f₊^′∗(x0) e f−^′∗(x0)

(78)

Esempio

Sviluppare in serie di Fourier la funzione 2π-periodica definita su [−π, π] come

f (x) = |x|

(79)

Esempio

Sviluppare in serie di Fourier la funzione 2π-periodica definita su [−π, π] come

f (x) = |x|

−π π

(80)

Siccome f (x) = f (−x) (f pari) abbiamo b_n = 0, ∀n ∈ N

(81)

Siccome f (x) = f (−x) (f pari) abbiamo b_n = 0, ∀n ∈ N Se fosse f (x) = −f (−x) (f dispari) avremmo a_n = 0,

∀n ∈ N

(82)

a_n = 1 π

Z _π

−π

|x| cos nx dx =

(83)

a_n = 1 π

Z _π

−π

|x| cos nx dx =

= 1 π

Z ⁰

−π

−x cos nx dx +

Z _π

0

x cos nx dx

=

(84)

(85)

= 1 π

−

Z 0 π

u cos nu du +

Z _π

0

x cos nx dx

=

(86)

= 1 π

−

Z 0 π

u cos nu du +

Z _π

0

x cos nx dx

=

= 2 π

Z _π

0

x cos nx dx =

(87)

= 1 π

−

Z 0 π

u cos nu du +

Z _π

0

x cos nx dx

=

= 2 π

Z _π

0

x cos nx dx =

= 2 π

x

n sin nx

π

0 − 1 n

Z _π

0

sin nx dx

=

(88)

= 1 π

−

Z 0 π

u cos nu du +

Z _π

0

x cos nx dx

=

= 2 π

Z _π

0

x cos nx dx =

= 2 π

x

n sin nx

π

0 − 1 n

Z _π

0

sin nx dx

=

= 2 π

1

n² − cos nx|^π₀ = 2

n²π [(−1)ⁿ − 1]

(89)

Pertanto

f (x) = π

2 − 4 π

+∞

X

n=0

cos(2n + 1)x (2n + 1)²

(90)

Pertanto

f (x) = π

2 − 4 π

+∞

X

n=0

cos(2n + 1)x (2n + 1)²

La serie converge puntualmente ∀x ∈ R, siccome converge anche totalmente per il Teorema di Weierstrass converge uniformemente.

(91)

Pertanto

f (x) = π

2 − 4 π

+∞

X

n=0

cos(2n + 1)x (2n + 1)²

Per x = 0 abbiamo

0 = π

2 − 4 π

+∞

X

n=0

1

(2n + 1)²

(92)

Pertanto

f (x) = π

2 − 4 π

+∞

X

n=0

cos(2n + 1)x (2n + 1)²

Per x = 0 abbiamo

0 = π

2 − 4 π

+∞

X

n=0

1

(2n + 1)² ovvero

(93)

π π

π

−π π

y =

y = y =

y =

/2 − 4/ cos(x)

−4/ cos(3x)/9

−4/ cos(3x)/9 f(x)

(94)

Teorema di convergenza uniforme

Sia f una funzione

regolare a tratti su ^R e

(95)

Teorema di convergenza uniforme

Sia f una funzione

regolare a tratti su ^R e 2π-periodica e

(96)

Teorema di convergenza uniforme

Sia f una funzione

continua su ^R.

Allora la serie di Fourier converge uniformemente ad f su R.

(97)

Teorema di convergenza uniforme

Sia f una funzione

continua su ^R.

Allora la serie di Fourier converge uniformemente ad f su R.

Più in generale la convergenza è uniforme in ogni intervallo di continuità della f.

(98)

Esempio

Data la funzione 2π-periodica definita da f (t) := n 0 se −π ≤ t ≤ 0

4 se 0 < t < π

determinare la serie di Fourier associata a f e discuterne la convergenza puntuale ed uniforme.

(99)

Esempio

4 se 0 < t < π

Si ha

a0 = 1 π

Z _π

−π

f (t) dt = 1 π

Z _π

0

4 dt = 4,

(100)

Esempio

4 se 0 < t < π

Si ha

a0 = 1 π

Z _π

−π

f (t) dt = 1 π

Z _π

0

4 dt = 4, e, per n ≥ 1

(101)

(102)

= 4 π

1

n sin nt

π 0

= 0

(103)

= 4 π

1

n sin nt

π 0

= 0

b_n = 1 π

Z _π

−π

f (t) sin nt dt = 1 π

Z _π

0

4 sin nt dt =

= 4 π

−1

n cos nt

π 0

= 4

πn(1 − (−1)ⁿ).

(104)

Notando che b_n è nullo per n pari ed utilizzando la sostituzione k = 2n + 1 si ha

(105)

b_n = 8

π(2k + 1),

(106)

b_n = 8

π(2k + 1),

e quindi la serie di Fourier associata ad f si scrive come

2 + 4 π

+∞

X

n=1

(1 − (−1)ⁿ)

n sin nt = 2 + 8 X^+∞ 1

sin(2k + 1)t.

(107)

y =

2+8/ sen(t)

8/ * 1/3 * sen(3t)

2 + 8/ sen(t) + 8/ * 1/3 * sen(3t) π

π π

π y = f(t)

(108)

Utilizzando i noti teoremi, la serie converge puntualmente ad f per t 6= hπ, con h intero, e converge uniformemente ad f su qualunque sottoinsieme chiuso di ^R che non contenga alcun punto del tipo hπ.

(109)

Osservazione

Se avessimo una funzione periodica di periodo T allora si può fare lo sviluppo in serie di Fourier utilizzando le funzioni

(110)

Osservazione

sin 2πn T y

, e cos 2πn T y

(111)

Osservazione

sin 2πn T y

, e cos 2πn T y

che sono funzioni T -periodiche. In questo caso i coefficienti di Fourier saranno

(112)

Osservazione

sin 2πn T y

, e cos 2πn T y

che sono funzioni T -periodiche. In questo caso i coefficienti di Fourier saranno

a_n = 2 T

Z _{T /2}

−T /2

f (y) cos 2πn T y

dy, per n = 0, 1, 2, . . .

(113)

e

(114)

e

b_n = 2 T

Z _{T /2}

−T /2

f (y) sin 2πn T y

dy, per n = 1, 2, . . .

(115)

e

b_n = 2 T

Z _{T /2}

−T /2

f (y) sin 2πn T y

dy, per n = 1, 2, . . .

si passa dalle vecchie formule alle nuove ponendo

x = 2π T y

(116)

Lemma

Sia f una funzione regolare a tratti su ^R e 2π-periodica.

Allora tra tutti i polinomi trigonometrici

(117)

Lemma

σ_N(x) = α0

2 +

N

X

n=1

(α_n cos nx + β_n sin nx)

(118)

Lemma

σ_N(x) = α0

2 +

N

X

n=1

(α_n cos nx + β_n sin nx) i polinomi di Fourier (cioè con i coefficienti eguali ai

coefficienti di Fourier) sono quelli che minimizzano lo scarto quadratico medio.

(119)

Lemma

σ_N(x) = α0

2 +

N

X

n=1

(α_n cos nx + β_n sin nx) i polinomi di Fourier (cioè con i coefficienti eguali ai

coefficienti di Fourier) sono quelli che minimizzano lo scarto quadratico medio.

Ovvero

1 2π

Z _π

−π

|f (x) − σ_N(x)|² dx è minimo se σ_N = s_N.

(120)

È possibile costruire uno spazio di funzioni per cui in tale spazio si può dimostrare che la serie di Fourier converge in media quadratica alla funzione f.

Un enunciato che "approssima" il risultato reale è

(121)

Teorema scarto quadratico

Sia f una funzione 2π periodica tale che f² sia integrabile in [−π, π].

(122)

Teorema scarto quadratico

Allora s_n converge in media quadratica a f in [−π, π], ovvero Z _π

−π

|f (t) − s_N(t)|² dt → 0 per N → +∞

(123)

Teorema scarto quadratico

Allora s_n converge in media quadratica a f in [−π, π], ovvero Z _π

−π

|f (t) − s_N(t)|² dt → 0 per N → +∞

Inoltre vale la formula (Eguaglianza di Parseval) 1

π

Z _π

−π

|f (t)|² dt = a²₀ 2 +

∞

X

n=1

a²_n + b²_n

(124)

Esempio

Sviluppare in serie di Fourier la funzione su [−π, π] come f (x) = x ed estesa in modo periodico su ^R.

Facendo i conti e sfruttando il fatto che f sia dispari, si ottiene

x = 2

+∞

X

n=1

(−1)ⁿsin nx n in ogni punto x 6= (2k + 2)π con k ∈ Z.

Utilizzando la eguaglianza di Parseval si ottiene π²

6 =

+∞

X

n=1

1 n²

(125)

Teorema

Sia f una funzione 2π-periodica. Inoltre [−π, π] possa

essere suddiviso in un numero finito di intervalli su cui sia monotona.

Allora la sua serie di Fourier converge in ogni punto con somma data dalla

1

2[f (x⁺) + f (x⁻)].

(126)

Esempio

Sviluppare in serie di Fourier la funzione definita da

f (x) = x⁴ su [−π, π) ed estesa su ^R in modo periodico.

(127)

Esempio

Facendo i conti, tenendo conto che f e’ pari, si ottengono b_n = 0, ∀n ≥ 1

a0 = 2 π

Z _π

0

x⁴ dx = 2π⁴ 5 a_n = 8π²(−1)ⁿ

n² − 48(−1)ⁿ

n⁴ , ∀n ≥ 1

(128)

Esempio

Facendo i conti, tenendo conto che f e’ pari, si ottengono b_n = 0, ∀n ≥ 1

a0 = 2 π

Z _π

0

x⁴ dx = 2π⁴ 5 a_n = 8π²(−1)ⁿ

n² − 48(−1)ⁿ

n⁴ , ∀n ≥ 1 ovvero

(129)

dove la serie converge uniformemente su tutto^R dato che la funzione e’ continua e monotona a tratti.

(130)

si ha sostituendo x = π π⁴ = 2π⁴

5 + 8π²

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ(−1)ⁿ

n² − 48

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ(−1)ⁿ n⁴

(131)

si ha sostituendo x = π π⁴ = 2π⁴

5 + 8π²

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ(−1)ⁿ

n² − 48

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ(−1)ⁿ n⁴

e siccome abbiamo visto che

+∞

X

n=1

1

n² = π² 6 si ottiene

+∞

X

n=1

1

n⁴ = π⁴ 90

(132)

Esempio

Sviluppare in serie di Fourier la funzione 2π-periodica definita da

f (x) =







0 se − π < x ≤ 0 x se 0 < x ≤ π

(133)

(134)

Esempio

Data la funzione f : R → R, con f (x) = f (x + 2π), definita da

f (x) = 1 se |x| ≤ π/2

0 se π/2 < |x| < π

Scrivere i coefficienti di Fourier di f. A quale funzione la serie di Fourier associata ad f converge puntualmente?

(135)

Serie di Fourier

Serie di Fourier

motivazioni, costruzione

Motivazioni

Motivazioni

Esempio

Esempio

Esempio

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Ricordo-Premessa serie di Fourier

Coefficienti di Fourier

Coefficienti di Fourier

Coefficienti di Fourier

Legame tra f e a n , b n

Legame tra f e a n , b n

Legame tra f e a n , b n

Legame tra f e a n , b n

Legame tra f e a n , b n

N.B.

N.B.

N.B.

N.B.

Definizione

Definizione

Problema

quando

converge e

converge proprio ad f ?

Convergenza della serie di Fourier

Convergenza della serie di Fourier

Convergenza della serie di Fourier

Notazione.

Notazione.

f(x +) f(x −)

x

x x x

a= x

= b

f(x +) f(x −)

x

f’*(x −)

f’*(x +)

Teoremi di convergenza

Teoremi di convergenza

Teoremi di convergenza

Teoremi di convergenza

Condizione (D)

Condizione (D)

Condizione (D)

Esempio

Esempio

Teorema di convergenza uniforme

Teorema di convergenza uniforme

Teorema di convergenza uniforme

Teorema di convergenza uniforme

Esempio

Esempio

Esempio

Osservazione

Osservazione

Osservazione

Osservazione

Lemma

Lemma

Lemma

Lemma

Teorema scarto quadratico

Teorema scarto quadratico

Teorema scarto quadratico

Esempio

Teorema

Esempio

Esempio

Esempio

Esempio

Esempio

Legame tra f e a _n , b _n

Legame tra f e a _n , b _n

Legame tra f e a _n , b _n

Legame tra f e a _n , b _n

Legame tra f e a _n , b _n