Serie di Fourier

(1)

Serie di Fourier

Riccarda Rossi

Universit`a di Brescia

Analisi II

(2)

Es. 11.

Sviluppare in serie di Fourier f (x) =

(3 se x 2 [0, ⇡]

1 se x 2 (⇡, 2⇡)

ed estesa periodicamente aR.

(3)

La serie di F. associata `e f ⇠ 2 + 4

⇡

+1

X

k=0

sin((2k + 1)x) 2k + 1 . VERIFICARLO

Discutere convergenza puntuale e uniforme sugli intervalli [0, 2⇡] e [⇡/4, ⇡/3].

Su [ ⁰_, ^at ] ^si

applied

^Rteouma ^di

convergence pumtuale ⁽ f

^e- ^di ^chasse

C ¹ ^a tnalti ^e in

oguipunh

^esishmo

le pseudo ^dewvate ^desire ^esrmistre ) ^.

Qwmdi

th

[ ^° ,

2t]

^Si ^he ^ehe

bag Sked qcx

⁼ ⁾ ^on

(4)

gat ^f±Htfft

²

⇒

got {

³¹ ^×^X ^←Ê Îs^]T ^, â^2T

^[

Z X = 0_, I

, ZE

Seeome

g

^non ^e- ^continue ^, ^he

convergence

non

pud

^essere

uniformed

. Su

Cutting ] f

^en ^continue ^. ^S

^applied

ie teoreme ^delle

wnvogeuse uwfowue

_,

e

pwmdi Sk

^→

f uniform

^. ^su

CTEIBD

(5)

Per x = ^⇡₂, la serie converge a f (⇡/2) = 3:

dunque si ha

4

⇡ X+1 k=0

sin((2k + 1)^⇡₂) 2k + 1 = 1.

&

motareelu

gay )=faez ⁾

=D pucker

f

^e-

3 ⁼

2ty±§own(aktDuz)

- ^continue ⁱⁿ

2kt I up2

Srccome _srn ( ⁽ ^2km ⁾

uz )

⁼ ^C- ^c)

k(

_VERIFKARTJ

coneluolranwche

£

wo

^GI

Ikti ⁼ ^it4^,

(6)

Serie di Fourier

Serie di Fourier

Es. 11.

applied

convergence pumtuale ( f

oguipunh

th

2t]

bag Sked qcx

gat f±Htfft

got {

[

Seeome

g

convergence

pud

uniformed

Cutting ] f

applied

wnvogeuse uwfowue

pwmdi Sk

f uniform

CTEIBD

&

gay )=faez )

f

2ty±§own(aktDuz)

uz )

k(

£

GI

convergence pumtuale ⁽ f

gat ^f±Htfft

^[

^applied

gay )=faez ⁾

^GI