Serie di Fourier

(1)

Serie di Fourier

Riccarda Rossi

Universit`a di Brescia

Analisi II

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di Fourier Analisi II 1 / 62

(2)

Richiami di teoria

Data una funzione f : R → R, 2π-periodica, limitata e integrabile su [0, 2π].

Si associa a f la serie di Fourier a₀

2 +

+∞

X

n=1

ancos(nx ) + bnsin(nx ) con

an= 1 π

Z 2π 0

f (x ) cos(nx ) dx , n = 0, 1, 2, . . .

b_n= 1 π

Z 2π 0

f (x ) sin(nx ) dx , n = 1, 2, . . .

Osservazione. I coefficienti si possono ottenere integrando su un periodo (=intervallo di lunghezza 2π) qualsiasi di f , ad esempio su [−π, π].

(3)

Simmetrie.

f pari ⇒









 a_n= 1

π Z π

−π

f (x ) cos(nx ) dx

= 2 π

Z π 0

f (x ) cos(nx ) dx , ∀ n ≥ 0

b_n= 0 ∀ n ≥ 1,

f dispari ⇒











a_n= 0 ∀ n ≥ 0

b_n= 1 π

Z π

−π

f (x ) sin(nx ) dx

= 2 π

Z π 0

f (x ) sin(nx ) dx , ∀ n ≥ 1

(4)

Sia S_k la ridotta k-esima:

S_k(x ) = a₀ 2 +

k

X

n=1

a_ncos(nx ) + b_nsin(nx ) come converge Sk a f per k → ∞?

Convergenza in media quadratica. Si ha

k→+∞lim Z 2π

0

|S_k(x ) − f (x )|² dx = 0, da cui

k→+∞lim Z 2π

0

|S_k(x )|² dx = Z 2π

0

f²(x ) dx ,

k→+∞lim Z 2π

0

S_k(x ) dx = Z 2π

0

f (x ) dx . Uguaglianza di Parseval. Si ha

1 π

Z 2π 0

f²(x ) dx = a²₀ 2 +

+∞

X

n=1

(a²_n+ b²_n)

(5)

Convergenza puntuale. Se f : R → R (estensione 2π-periodica di una funzione su [0, 2π])

• `e continua a tratti in [0, 2π]

• in x₀ ∈ R verifica almeno una di queste propriet`a:

- f `e derivabile in x0

- f `e continua in x0 ed esistono (finite) la der. destra f₊⁰(x0) e la der.

sinis. f₋⁰(x0)

- f ha in x0 un punto di salto ed esistono finite la pseudoder. destra lim

x →x₀⁺

f (x ) − f (x₀⁺) x − x₀ e la pseudoder. sinistra lim

x →x₀⁻

f (x ) − f (x₀⁻) x − x₀ allora Sk converge in x0 a ^{f (x}

+ 0)+f (x₀⁻)

2 .

(oppure, Criterio di Dirichlet: f limitata e monotona a tratti).

(6)

Convergenza uniforme. Se f : [0, 2π] → R `e C¹ a tratti su [0, 2π],

• allora ∀ [a, b] ⊂ (0, 2π) su cui f `e continua

S_k → f uniformemente su [a, b]

• se inoltre f (0) = f (2π), allora

Sk → f uniformemente su [0, 2π]

(7)

Osservazione. Se f `e periodica con periodo T > 0, le formule diventano an= 2

T Z T

0

f (x ) cos 2π T nx

dx , n = 0, 1, 2, . . .

b_n= 2 T

Z T 0

f (x ) sin 2π T nx

dx , n = 1, 2, . . . e l’identit`a di Parseval `e

2 T

Z T 0

f²(x ) dx = a²₀ 2 +

+∞

X

n=1

(a²_n+ b²_n)

e i risultati di convergenza valgono con ovvie modifiche.

(8)

Es. 1.

Determinare i coefficienti di Fourier della funzione f (x ) =

(A x ∈ [0, π)

−A x ∈ [π, 2π)

(con A > 0), prolungata a una funzione 2π-periodica su R.

(9)

(10)

(11)

Quindi la serie di Fourier associata a f `e

∞

X

n=0

4A π

sin((2n + 1)x ) 2n + 1

(12)

Es. 2.

Sviluppare in serie di Fourier

f (x ) = 2 + sin x + 3 cos(2x ).

(13)

(14)

Es. 3.

f (x ) = (cos x )⁺, x ∈ [−π, π), prolungata a una funzione 2π-periodica su R.

(15)

Calcolo a parte a₀

a₁

(16)

(17)

(18)

Quindi la serie di Fourier associata a f `e 1

π +1

2cos(x ) + 2 π

∞

X

m=1

(−1)^m

1 − 4m² cos(2mx )

(19)

Es. 4.

f (x ) = x², x ∈ [−1, 1), prolungata a una funzione 2-periodica su R.

(20)

(21)

(22)

La serie di Fourier associata a f `e 1

3 +

∞

X

n=1

4(−1)ⁿ

π²n² cos(nπx )

(23)

Es. 5.

f (x ) = |x | − π, x ∈ [−π, π), estesa per periodicit`a a R.

(24)

(25)

(26)

(27)

Quindi la serie di F. associata a f `e

−π 2 −

∞

X

k=0

4

π(2k + 1)²cos((2k + 1)x ) che converge

(28)

(29)

Es. 6.

f (x ) = e^x, x ∈ [−π, π), estesa per periodicit`a a R.

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

La serie di F. associata a f `e sinh(π)

π +2sinh(π) π

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n²+ 1cos(nx )

−2sinh(π) π

∞

X

n=1

(−1)ⁿn

n²+ 1 sin(nx )

(36)

Es. 7.

Sviluppare in serie di F. la prolungata 2π-periodica di f (x ) = x sin(x ), x ∈ [0, 2π]

(37)

a₀=

a₁=

(38)

(39)

a_n=

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

La serie di F. associata a f `e

−1 − 1

2cos(x ) + 2

∞

X

n=1

1

n²− 1cos(nx ) + π sin(x )

(47)

Es. 8.

Data

f (x ) =

(cos x se |x | < ^π₂ 1 se ^π₂ ≤ |x| ≤ π

si consideri la sua estensione 2π-periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

(1) La sua serie di F. converge puntualmente a f (x ) su [−π, π].

Falso.

(48)

(49)

(2) La sua serie di F. converge uniformemente su R.

Falso.

(50)

(3) La sua serie di Fourier converge uniformemente a f su [³⁹₄ π,⁴¹₄π].

Vero.

(51)

(4) Si ha b3= 2 Falso.

(5) Si ha a1 = ^π−4_2π Vero.

(52)

(53)

(6) Si ha

n→+∞lim Z ³

4π

π 4

f_n²(x ) dx = Z ³

4π

π 4

f²(x ) dx Vero

(54)

(55)

Es. 9.

Data

f (x ) =

(−xπ −π ≤ x ≤ 0 x² 0 < x < π

si consideri la sua estensione 2π-periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

(1)

la sua serie di F. converge uniformemente a f su R Vero

(56)

(2) la sua serie di Fourier converge a 0 per x = 31π

(57)

(3) il coefficiente a₀ vale ⁵₆π². Vero

(58)

Es. 10.

Sia f la funzione 2π-periodica definita da

f (x ) = sin(5x²), x ∈ [−π, π].

dire se le seguenti affermazioni sono vere o false

(1) la sua serie di Fourier converge in media quadratica in [−π, π].

Vero

(59)

(2) la sua serie di Fourier converge uniformemente in R.

Vero

(3) i coefficienti bn sono tutti nulli.

Vero

(60)

(61)

Es. 11.

Sviluppare in serie di Fourier f (x ) =

(3 se x ∈ [0, π]

1 se x ∈ (π, 2π)

ed estesa periodicamente a R.

(62)

la serie di F. associata `e

f ∼ 2 + 4 π

+∞

X

k=0

sin((2k + 1)x ) 2k + 1 .

(63)

Discutere convergenza puntuale e uniforme sugli intervalli [0, 2π] e [π/4, π/3].

(64)

(65)

Per x = ^π₂, la serie converge a f (π/2) = 3:

dunque si ha

4 π

+∞

X

k=0

sin((2k + 1)^π₂) 2k + 1 = 1.

(66)

Quindi

+∞

X

k=0

(−1)^k 2k + 1 = π

4 cio`e

1 −1 3+ 1

5−1

7 + · · · = π 4.