Teoria dei giochi
Teoria che analizza in modo
formale l’interazione strategica di soggetti razionali che
agiscono in modo strategico
Situazione strategica
Sette persone si recano insieme al ristorante
a) Si paga alla romana semplice problema di scelta (Max U s.t.
VdB)
Ciascuno è in grado di controllare autonomamente il risultato delle sue scelte
b) Si paga dividendo il conto per 7 problema strategico
Non riesco a controllare la mia spesa
Il risultato delle mie azioni dipende anche dalle scelte degli altri
Gioco
insieme astratto di regole
che vincolano il comportamento dei giocatori
definiscono i risultati sulla base delle azioni che essi intraprendono
Il gioco è le regole
In un gioco vi sono tre elementi
caratteristic
i
Rappresentazione di un gioco
• Forma normale: matrice delle vincite
• Forma estesa: albero del gioco
Esempio
Giocatori
B
A
Sinistra Destra
Alto 1 , 2 0 , 1
Basso 2 , 1 1, 0
Strategie B
Strategie A
Uno dei 4 esiti del gioco
Payoff A Payoff B
A
B B
Dx
Non
Dx Sx
DxSx
Sx
2 , 3 1 , 2 2 , 0 0 , 1
Forma estesa
Rami Nodi
Uno dei 4 esiti del gioco Payoff A Payoff B
Classificazione dei giochi
Cooperativi i giocatori possono assumere degli impegni che hanno valore
VINCOLANTE
NON Cooperativi i giocatori NON possono assumere degli impegni che
hanno valore VINCOLANTE
Informazione completa Informazione
incompleta
Tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori
NON tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i
giocatori
Classificazione dei giochi
Giochi a somma zero
il guadagno di un giocatore
CORRISPONDE sempre alla perdita di un altro giocatore
Giochi NON a somma zero
La somma delle vincite (o delle perdite) dei giocatori NON È
COSTANTE
Giochi statici
Giochi one-shot
I giocatori fanno le loro mosse SIMULTANEAMENTE
Vengono giocati UNA SOLA volta
Giochi dinamici
I giocatori fanno le loro mosse SEQUENZIALMENTE
Vengono giocati PIÙ VOLTE fra gli
stessi giocatori
Giochi ripetuti
Soluzione dei giochi
Equilibrio per un gioco: situazione in cui nessun giocatore desidera
modificare il suo comportamento unilateralmente dato il
comportamento degli altri giocatori
Equilibrio di Nash
L’equilibrio di Nash si definisce strategicamente stabile o autovincolante perché nessun giocatore, singolarmente preso, desidera deviare dalla propria strategia di equilibrio ferme restando le strategie adottate dagli altri giocatori
Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui, quando anche gli altri giocatori giochino la loro strategia di equilibrio
B
b1 b2 b3
a1 0,3 2,2 1,3
A a2 2,1 3,2 2,3
a3 5,1 1,4 1,0
Equilibrio di Nash
La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore
Se A cambiasse otterrebbe 1
giocando a1 e 1 giocando a3
Se B cambiasse otterrebbe 1
giocando b1 e 2 giocando b2
B
b1 b2 b3
a1 0,3 2,2 1,3
A a2 2,1 3,2 2,3
a3 5,1 1,4 1,0
Equilibrio di Nash
La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore
L’equilibrio non produce né per A né per B necessariamente il payoff più alto
A preferirebbe il 5 di (a3,b1)
ma allora A si
sposterebbe in a2
infine B si sposterebbe in b3 da qui NON ci si muove più
ma (a3,b1) non è un equilibrio perché B cambierebbe la sua scelta in b2
Equilibrio di Nash
) s
,.., sˆ
,...
s , s ( )
s ,.., s
,...
s , s
( 1 * * 2 * i * n i 1 * * 2 i * n
i
* i
s
i
* i i n
* 2 1 *
s i ( s , s ,... s ,.., s ) s.t. s S Max
i
è la soluzione del problema
* i
s Può essere vista come la ottima risposta del giocatore i-esimo alle mosse degli altri
giocatori
Possiamo definire una risposta ottima per ogni strategia degli altri giocatori costruendo una funzione di risposta
ottima
BRF funzione di risposta ottima
L’equilibrio di Nash sarà caratterizzato dal fatto che per tutti i giocatori è una risposta ottima alle scelte
degli altri
Come si trova l’equilibrio di Nash
strategia che risulta migliore
(garantisce più alti payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori
Strategia DOMINANTE
Strategia DOMINATA
strategia che risulta inferiore
(garantisce più bassi payoffs) per un giocatore indipendentemente
dalle strategie adottate dagli altri giocatori
Se esiste una strategia dominante un giocatore razionale giocherà QUELLA
Se esiste una strategia dominata un giocatore
razionale non la giocherà MAI
Definzione
strategia che risulta non
peggiore (garantisce payoffs non inferiori) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori
Strategia (debolmente)
DOMINANTE
Strategia (debolmente)
DOMINATA
strategia che risulta non superiore (garantisce payoffs non più alti) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori
B
b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0
Esempio: prendiamo i due giochi che seguono
B
b1 b2 b3 a1 1,3 2,4 1,3 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,0
Strategia Dominata
Strategia Dominante
B
b1 b2 b3 a1 0,3 3,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0
Esempio: prendiamo questi altri due giochi
B
b1 b2 b3 a1 1,3 2,4 1,3 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,4
Strategia debolmente Dominata
Strategia debolmente Dominante
Gli unici valori differenti sono i payoffs segnati in
rosso
B
B1 b2 B3
a1 0,3 4,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0
Non ci sono né strategie dominate né strategie dominanti Per trovare la soluzione occorre utilizzare la funzione di
risposta ottima (BRF)
risposta ottima La migliore strategia che un giocatore può effettuare DATA la strategia scelta dagli ALTRI GIOCATORI Funzione di
risposta ottima L’insieme delle risposte ottime di un giocatore
Come si trova l’equilibrio di
Nash
B
b1 b2 b3
a1 0,3 4,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0
Trovare l’ E.d.N. utilizzando la BRF
Se il giocatore B sceglie b1 la migliore risposta di A è a3 Se il giocatore B sceglie b2 la migliore risposta di A è a1
Se il giocatore B sceglie b3 la migliore risposta di A è a2
Se il giocatore A sceglie a3 la migliore risposta di B è b2
Se il giocatore A sceglie a1 la migliore risposta di B è b1 o b3 Se il giocatore A sceglie a2 la migliore risposta di B è b3
E.d.N deve essere la coppia di strategie che
è la risposta ottima di entrambi i giocatori
Limiti della definizione di equilibrio di Nash
Gioco del calcio di rigore
cerchiamo l’equilibrio con il metodo della risposta ottima
E’ evidente che non esiste un equilibrio di Nash per questo gioco
P
dx cx sx
dx 0,2 2,0 2,0
A cx 2,0 0,2 2,0
sx 2,0 2,0 0,2
equilibrio di Nash
Lui
Opera Stadio
Lei Opera 1 , 2 0 , 0 Stadio 0 , 0 2 , 1
Consideriamo questo gioco classico
La guerra dei sessi
Esiste una molteplicità
(due) di equilibri di
Nash
Quale selezionare ?
Limiti della definizione di equilibrio di Nash Molteplicità equilibri di Nash
S
P F
D P -2, -2 2 , 0 F 0 , 2 0 , 0
Prendiamo un altro gioco
Gioco dell’incrocio
Due auto (S e D) arrivano contemporaneamente all’incrocio
Possono Fermarsi o Passare
Molteplicità equilibri di Nash: giochi sequenziali
A u t o A
A u t o B A u t o B
F P
F P F P
0 , 0 0 , 2 2 , 0 - 2 , - 2
Consideriamo il gioco dell’incrocio, immaginando che l’auto A si presenti per prima all’incrocio
Il gioco non è più simultaneo ma sequenziale, l’auto A effettuerà la prima mossa e successivamente muoverà l’auto B
rappresentazione La del gioco a forma
estesa è preferibile
Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso
A u t o A
A u t o B A u t o B
F P
F P F P
0 , 0 0 , 2 2 , 0 - 2 , - 2
Induzione a ritroso
Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino a risalire all’inizio del gioco
B sceglierà P che gli da 2 al posto di
0
A lo sa e sa che se sceglierà F
prenderà 0
B sceglierà F che gli da 0 al posto di -2 A lo sa e sa che se sceglierà P prenderà
2 A sceglierà P che
gli garantisce 2 mentre se scegliesse F
avrebbe 0
Molteplicità equilibri di Nash: meccanismi istituzionali
Quando non esistono altri sistemi per eliminare la molteplicità degli equilibri possono intervenire dei meccanismi istituzionali che
regolamentano il comportamento individuale e risolvono l’ambiguità
Gioco dell’incrocio il semaforo, regola codice della strada
Risolvere questo tipo di ambiguità è una delle spiegazioni della nascita delle istituzioni
guerra dei sessi Se il rapporto dura nel tempo, la coppia cerca una regola di
buona convivenza
Abbiamo visto che l’individuo ordina i panieri alternativi secondo le sue preferenze e scegli il paniere che massimizza il suo benessere dati i
vincoli cui è soggetto
Come possiamo confrontare allocazioni che coinvolgano più di un soggetto Problema
L’utilità non è misurabile
Non possiamo semplicemente sommare la soddisfazione individuale
Criterio Paretiano (da W. Pareto)
Esiste un punto di vista sociale per valutare le
allocazioni? Ci sono o no criteri che ci consentano di dire se l’allocazione A è superiore all’allocazione B,
oppure se è vero il contrario?
Allocazione = distribuzione di beni, benessere o quant’altro fra più soggetti
Criterio Paretiano
Il “ criterio di Pareto ” afferma quanto segue:
Criterio Paretiano
Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B , se almeno un soggetto preferisce A a B
e nessuno preferisce B ad A (e viceversa).
Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B , se in A tutti stanno altrettanto bene che in B e
almeno uno sta meglio in A che in B
oppure
Non tutte le allocazioni sono Pareto Ordinabili
A = (10, 3, 7) B = (10, 2, 7) C = (9, 5, 16)
Un'allocazione è efficiente nel senso di Pareto se non ne esiste un'altra che sia migliore sulla base del principio di Pareto;
cioè, se non è possibile migliorare il benessere di qualcuno senza peggiorare quello di qualcun altro
Criterio Paretiano (da W. Pareto)
Criterio di efficienza distributiva e non di equità
Dilemma del prigioniero
• Thelma e Louise sono complici in un grave delitto e sono detenute in celle separate (non possono comunicare).
• Ci sono le prove solo per accusarle di un reato minore la cui pena è 1 anno di reclusione
• Ogni prigioniera può confessare il delitto grave o negare.
• Se confessa uscirà subito di prigione, mentre la complice avrà una pena di 10 anni di reclusione.
• Se entrambe confessano saranno condannate a una pena intermedia di 2 anni.
• Se nessuna delle due confessa la pena sarà di 1 anno.
O.P
Nash
Louise
Nega Accusa
Thelma
Nega 1 , 1 10 , 0
Accusa 0 , 10 5 , 5
Dilemma del prigioniero
L’EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe
preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile
Risultato paradossale Un comportamento teso a
massimizzare il benessere individuale produce un risultato non
ottimo da un punto di vista individuale
Nota: essendo anni di prigione si tende a minimizzare i payoffs
Louise
Nega Accusa
Thelma
Nega 1 , 1 10 , 0
Accusa 0 , 10 5 , 5
Dilemma del prigioniero
Accusa è la strategia
dominante per entrambe
Le fattispecie di questo tipo sono molto diffuse nel mondo reale
Gioco del lavoro di gruppo a scuola
Ana e Beatrix devono fare un lavoro i gruppo per cui saranno valutate congiuntamente L’insegante
non può valutare chi ha fatto cosa), ma devono lavorare separatamente
Dilemma del prigioniero framework generale
Gioco del lavoro di gruppo
Dilemma del prigioniero
Beatrix
L NL
Ana L 4, 4 1 , 5 NL 5, 1 2 , 2
Gioco del lavoro di gruppo
Ana e Beatrix devono fare un lavoro i gruppo per cui saranno valutate congiuntamente
Dilemma del prigioniero framework generale
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash possibili soluzioni
Meccanismi istituzionali Mafia, malavita organizzata dilemma del prigioniero
Modificano dall’esterno la struttura degli incentivi
Meccanismi endogeni accordo fra i giocatori
Se il gioco viene ripetuto
Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti
Nella realtà il gioco è spesso ripetuto
Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di comportamenti devianti
Prendiamo il gioco della del lavoro di gruppo
Immaginiamo un accordo (esplicito o tacito) per lavorare
Se una delle due ragazze violasse l’accordo di fare la sua parte l’altra farebbe non
collaborerebbe più
Ogni volta che sono chiamate a collaborare, Ana e Beatrix devono decidere se collaborare o «fregarsi» a vicenda
Meccanismo punitivo
Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti
5
4
2 π
tempo
1 2 3 4
Vantaggio immediato
Perdita futura
Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti
Se i giocatori sono sufficientemente pazienti (attribuiscono un peso adeguato ai guadagni futuri)
Il risultato pareto ottimale può essere raggiunto Reputazione -- Credibilità
Nota
Il gioco deve durare all’infinito o avere una durata finita ma incerta
