A-1 a Alcuni campi Elettrostatici.

A-1 a Alcuni campi Elettrostatici.

Per curiosità si riportano qui le figure relative ad alcuni casi particolari (campi di cariche puntiformi) . Le figure sono state realizzate con un programma sviluppato da un allievo dell’A.A. 1998-99 (Fabrizio Peresson) che mi ha autorizzato ad usarlo e che qui ringrazio vivamente. Le didascalie di ogni figura mi sembrano sufficienti per le spiegazioni. (Le unità sono arbitrarie)

Sono date due sfere concentriche (piena e cava) di centro O. La sfera interna (piena) porta la carica Q1

che si dispone sulla superficie.

Sulla superficie interna della sfera cava compare (per induzione) una carica - Q1

Sulla sfera esterna (cava) è posta la carica Q2 (che si porta sulla superficie esterna); per la legge di Gauss sulla superficie esterna compare inoltre una carica Q1 (dovuta alla presenza di Q1 sulla sfera interna); in totale sulla superficie esterna si manifesta una carica Q₄  Q₁Q₂

Zona 1 : per r  R₁ il campo E1 = 0 e il potenziale V1 è costante (da determinare).

Zona 2: per R₁  r R₂ il potenziale V2 e il campo E2 sono quelli generati da una carica puntiforme Q1 concentrata nell’origine O (legge di Gauss).

Zona 3 : per ^R2  ^{r R}3 il campo E3 = 0 e il potenziale V3 è costante (da determinare).

Zona 4: Per ^{r  R}3 il potenziale V4 e il campo E4 sono quelli generati da una carica puntiforme Q₄  Q₁Q₂ concentrata nell’origine O (legge di Gauss).

Studio del campo E

Direzione radiale ; verso che dipende dal segno delle cariche (uscente dalla sfera se sono positive).

Zona 1 ( r  R₁) E = 0 (all’interno del conduttore).

Zona 2 ( R₁  r R₂) E K Q

e r

 ₂¹ .

Zona 3 ( R₂  r R₃) E = 0 (all’interno del conduttore).

Zona 4 (r R₃) E K Q Q

e r

 ₁ ₂

2 E K Q Q

e R

3

1 2

3

 2

sulla superficie esterna della sfera esterna.

Partiamo dalla Zona 4 (^{r R}3) nella quale conosciamo che il potenziale è nullo all’infinito.

V K Q Q

r C

 e 



1 2

4 ; C4 va calcolata in modo che sia ^V  0 (quindi C4 = 0);

allora V K Q Q

e r

 ₁ ₂

e in particolare V K Q Q

e R

3

1 2

3

 

. Zona 3 (^R2  ^{r R}3) ^{V V} 3 = Costante .

Zona 2 (^R1  ^{r R}2) V K Q

r C

 e ¹  ₂ la costante C2 va calcolata in modo che, per continuità, sulla superficie interna della sfera esterna (r = R2) sia V K Q

R C V

e 2

1 2

2 3

   quindi

C V K Q

eR

2 3

1 2

  ; allora: ^{V K Q}

r C K Q

r K Q

R K Q Q

e e e e R

 ₁     

2

1 1

2

1 2

3

e quindi in particolare

V K Q

R C K Q

R K Q

R K Q Q

e e e e R

1

1 1

2

1 1

1 2

1 2

3

     

Zona 1 ( r  R₁) V V ₁ Costante .

Per i grafici che seguono, usando unità arbitrarie, si pongono Ke=1; Q1 = 1 ; Q2 = -2 ; R1 = 1 ; R2 = 2 ; R3 = 3

Figura F[A1 - 2] (campo E curva superiore - rossa - ; potenziale V curva inferiore - blu -)

2 4 6 8 X

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E,V