Stabilita’ degli atomi e principio di indeterminazione

Stabilita’ degli atomi e principio di indeterminazione

Dal punto di vista semiclassico, atomo di Bohr, nell’atomo di idrogeno l’elettrone ruota intorno al nucleo su di un orbita di raggio determinato.

L’energia totale del sistema e’ composta di due parti, una cinetica, positiva, dovuta alla rotazione dell’elettrone intorno al nuclea, l’altra potenziale,

negativa, dovuta alla attrazione coulombiana del nucleo .

Considerando una generica distanza r si ha che l’energia totale risulta essere :

r e m

E

p

0 2 2

4 2 ^ 



la forza di Coulomb mantiene la carica in moto circolare ₂

2 0 2 2

4 1

r e r

m v r

m

F     

r e m

p m

v m r

mv e

2

0 2

2 2 2

0 2

4 1

4 1



 ^{  }

 ⁾

4 ( 1 2 1 2

2

0 2

r e m

p

 

r e r

E

e

2

0 2

0

4

) 1 4

( 1 2 1



 ^

 )

4 ( 1 2

1

0

r E

e

 



al decrescere di r dovrebbe diminuire l’energia totale del sistema, ma la diminuzione di r comporta che le dimensioni dell’orbita dell’ elettrone divengono molto piccole, e la posizione dell’ elettrone ad ogni istante diviene piu’ localizzata.

In altri termini l’indeterminazione della posizione dell’elettrone diminuisce.

2 2

2 2

2 2

2

y z r x y z

x

r       

-30 20

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.18 0.19 r

Energia ( unita' arbitrarie )

Energia Cinetica Energia Potenziale ENERGIA TOTALE

ma per il principio di indeterminazione allora crescera’ la

indeterminazione sull’impulso dell’elettrone stesso . Questo influira’ sul termine cinetico.

la posizione dell’elettrone sara’ caratterizzabile con la sua distanza dal nucleo r.

2 2

2 2

2 2 2

2 x y z x y z 3 x

r       

vista la simmetria del sistema i tre termini daranno contributi uguali percio’:^{r2  x2  y2  z2 3 x2}

analogamente per l’impulso si avra’:p²  p_x²  p_y²  p_z² 3 p_x²

la varianza di una generica variabile aleatoria w e’ per definizione il valore medio del quadrato degli scarti rispetto alla media .

2 2

)

( )

( w w w w w

Var    

lo scarto quadratico medio w, o deviazione standard  di w, e’ la radice della varianza ed e’ indice di quanto la variabile aleatoria sia dispersa attorno al suo valor medio.

2 w 2

w

w  



(  w )

 w

 w

2 2 2

2 p 9 x p_x

r 

dal punto di vista quantistico ci si interessa ai valori medi

quindi si potra’ scrivere che:

si ha:

si deduce che sara’ sempre

(  w )

 w

w

 (  w )

da cio’, ricordando cher² p²  9 x² p_x²

r

p

 9 (  x )

(  p

)

2 2

)

(  w  w  w

da

si ha

2 2

9

4

r p  

4

9

2 2

p  r 

8

9

2

r E m

e

c

 

p c

t

E E

E

 

2

9 8

t

e

E q

m r r

  

da riesce che

quindi

T C P

E  E  E

ma

percio’

, si ricava :

imponendo la validita’ del principio di indeterminazioneossia imponendo che

x 2

    x p

8

9

2

2 2

2

r q r

E m

e

t   

se nella

8 9

2 2

2

a q a

E m

e

t

  

r

a 

a

per determinare la posizione di minimo devo derivare l’espressione della energia rispetto ad a ed eguagliare a zero la derivata prima:

1 0 2 1

8

9

2

   

 )

( a q a )

( m

da E d

e

t



la soluzione e’:

o 2

2

0

1 2 A

4

9 .

q a m

e



  m q eV

E

6 . 0

9 2

2 2

0

   



risultati corretti :

m e eV

E ) 13 . 6

( 4

2

2

0

   

 

Bohr) di

(raggio

10 529 .

4 0

2 2

0

m

a   me   

si pone :

si ottiene

da cui si ricava che