C/SE-R-231 DECLASSIFIED. CHEYENNE: codice eterogeneo diffusivo per reattori cilindrici finiti di piccole dimensioni

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C/SE-R-231

Contratto di Ricerca CNEN-EURATOM-CISE No. 008.65.1 - NTRI

Rapporto Tecnico N. 35

CHEYENNE: codice eterogeneo diffusivo per reattori cilindrici finiti di piccole dimensioni

F. Pedretti, S. Rubbia

DECLASSIFIED

CIS E - Servizio Documentazione

Segrate (Milano), aprile 1967

(2)

CHEYENNE: CODICE ETEROGENEO PIFFUSI7Q PER REATTORI CILINDRICI FINITI DI PICCOLE DIMENSIONI

F . P e d r e t t i , S. Rubbia

I l p r e s e n t e r a p p o r t o è s t a t o p r e p a r a t o n e l l ' a m b i t o d e l c o n t r a t t o CIRL7JE-3 s t i p u l a t o con i l CNEN e l'EURÀTOM.

DIFFUSIONE I R I S E

# -

C. I . S. E . - Rapporto R-231

aprile 196?

(3)

1

Stampato da:

COPISTERIA Al GIARDINI C.ao Varwiia 59 Milana

INDICE

Abstract

1 . INTRODUZIONE 2 . TEORIA DEL RETICOLO 3 . FUNZIONI D'ITERAZIONE U. METODO DI SOLUZIONE 5 . ITERAZIONI PRINCIPALI 6. ITERAZIONI SECONDARIE

7- CONSIDERAZIONI SUL METODO ADOTTATO 8. CONCLUSIONE

APPENDICE I - Soluzione delle equazioni eterogenee

APPENDICE II - Funzione di Green in un mezzo cilindrico radialmente finito

INPUT CHEYENNE OUTPUT CHEYENNE

References

FORTRAN STATEMENTS SAMPLE PROBLEM

(4)

Abstract

The report describes the code CHEYENNE devised for the study of small dimension reactor by the heterogeneous method; the Feinberg-Galanin ap- proach is used.

The physical model adopted assumes three groups (fast, resonance and thermal) diffusion theory for moderator, however the equations are written in a form which can easily generalized to multigroup diffusion theory. In order to calculate reactors with finite dimensions reflector, the Feinberg Galanin rod-rod interaction kernel has been slightly modified. Further features are the possibility of tanking in account localized absorptions in all groups, the epithermal fissions and the slowing-down in the fuel element. Furthermore the code is able to deal both with regular lattices and with local effects such as the unsertion of control rods.

At the present, its limits are the number of groups (three) and the maximum allowed number of classes (twenty-five).

- V -

(5)

1. INTRODUZIONE

Per calcolare le grandezze critiche di un reattore con nocciolo eteroge neo e la distribuzione spaziale del flusso, si passa solitamente attraverso ad un processo di omogeneizzazione: in ogni caso per un reattore composto da un piccolo numero di barre (il caso del prototipo è dell'ordine di bO) il principio di omogeneizzazione è generalmente parlando non giustificato.

In questa situazione è necessario sviluppare un metodo diretto di calcolo per reattori eterogenei: quest'ultimo rende possibile il calcelo di un reattore a poche barre come pure una valutazione dell'errore introdotto dal metodo dell'omogeneizzazione. Si deve aggiungere che il metodo eterogeneo pe£

mette lo studio del campo neutronico in vicinanze di barre assorbenti in re- ticoli composti. Le teorie eterogenee si prefiggono di determinare quei vaio ri dei parametri nucleari e geometrici che consentono lo stabilirsi di un flusso stazionario per effetto della mutua interazione delle regioni moltiplicanti ed assorbenti, prescindendo dal cercare l'equivalente omogeneo.

1 -

(6)

2. TEORIA DEL RETICOLO

2.1. Nomenclatura

Chiameremo blocchi le regioni del sistema moltiplicanti od assorbenti:

la zona restante è interamente occupata dal moderatore, cioè da un mezzo ca- pace di rallentare e diffondere neutroni. Più blocchi appartengono alla stes_

sa classe se, oltre ad avere identiche proprietà nucleari, occupano nella struttura posizioni geometricamente equivalenti. Ogui blocco è pertanto in- dividuato da due indici k, p di cui il primo determina la classe, il secoli do l'ordine dell'elemento nella classe.

2.2. Equazione del reticolo

Schematizzando i blocchi di una certa classe k come singolarità filifor_

mi, capaci di assorbire un numero di neutroni proporzionale secondo costanti Y{* al flusso che li lambisce ed emettere n+ neutroni per ognuno assc»r bito, le equazioni eterogenee in una descrizione a tre gruppi dello spettro

di rallentamento-diffusione, sono nel modello assunto:

v§ *

^x

;?) - i

⁺¹

& • z ^ ^ *

³

(?) + n

^ktk

*

²

(?); - Y

^k>1

*!(?);• •

6(?-?

^k

)

^ m , l

0

+\ 1 /-»-\ . 1+2 ,m

V3 ,2 (r) - -s •„ (r) • ^ - * - h ( r ) + I £j n j> 2 h ( r ) - y%2 ^ ( r ) J • ( l )

6 ( r - r^k)

= 0

V ^S

S a) i.*

*3 ( r ) - ^ ( r ) • ^

^A riì + fsaa

- ^ ( r ) + E g j n ^ ^ ( r ) -

^N

Yj > 3 ^ ( r )

«(r-?J

K = 0

" 8 . . :

dove N è i l numero di c l a s s i considerate

- • r v e t t o r e di componenti p o l a r i p , e

V i = T-^^-r <i=l,2)

m

T . 1

1 , 2

R m , i E am,i

EKRm,3 a m , 3

^1

T

m , i

1 L²

m +

+

i - * i + l , m

B² .

Z , l

^ 3

^R m i c o e f f^cie n't e ^ diffusione trasversale del moderatore nel gruppo i

^am 5 sezione d'urto d'assorbimento macroscopica del moderatore

**i-*i+n £^{s e z}ione d'urto di rimozione macroscopica del moderato re del gruppo i

B . Buckling assiale nel gruppo i. 2 z,i

ed inoltre

~ nS 1 *3 ^r^ <S^r" rk ^ intensità della sorgente dovuta alle fissioni termiche: rappresenta cioè il numero di neutroni di fissione emessi dal canale k nell'unità di tem pò e per unità di altezza per neutrone termico assorbito»

T % k 4*2 ^ 6^ " *k^ intensità della sorgente dovuta alle fissioni epi^

termiche.

Yk" i ^i ^^<S^^r"^rk^ i n t e n s i t à del pozzo scavato dal canale k: rappreseli t a cioè i l numero di neutroni a s s o r b i t i nel gruppo i n e l l ' u n i t à di tempo e per unità di altezza nel ca naie k | e t i e n e conto che l a regione f i n i t a r<a*

non è occupata dal moderatore (a£ raggio esterno del canale k)

- 3 -

(7)

i->- . è. , ( r ) ó ( r - r, ) t e r m i n e di s o r g e n t e ( p o s i t i v a o n e g a t i v a ) che t i e n e

' k , i^Ti - 1^K

i n conto d e l d i v e r s o r a l l e n t a m e n t o t r a c o m b u s t i b i l e e m o d e r a t o r e , ( e s s o è non n u l l o s o l o p e r i = 2,3)»

- k -

3 . FUNZIONI D'INTERAZIONE

I l s i s t e m a d i e q u a z i o n i ( l ) può s c r i v e r s i i n forma i n t e g r a l e pur di cono s c e r e i l v a l o r e d i c e r t e f u n z i o n i F . . + £• che r a p p r e s e n t a n o l ' i n f l u e n z a d e l c a n a l e i n d i v i d u a t o da r , s u l c a n a l e r r e l a t i v o a i gruppi i e j r i - s p e t t i v a m e n t e .

I n a l t r e p a r o l e s e l a b a r r a c o n s i d e r a t a come p u r a s o r g e n t e t e r m i c a g e n e r a una d i s t r i b u z i o n e r a l l e n t a n t e d e l t i p o Q(r,-#r, T ) (assumendo p e r s e m p l i c i t à

XV

una descrizione continua del rallentamento), conoscendo per ogni elemento dr di volume attorno ad r tale distribuzione non è difficile trovare il flusso termico spaziale: tale flusso si otterrà infatti integrando in tutto il volume del moderatore il prodotto della densità di generazione di neutroni termici per il nucleo di diffusione del mezzo, cioè:

Q ( | r^k+ r | ; r^{t h}) • f (|r->r |) dr»

v o l . mod.

M I

^V

r

^h

| )

^s

tali prodotti integrali, che sono di tipo convolutivo, essendo i nuclei in questione rigorosamente nuclei di sola distanza pur di mantenersi lontano dai contorni, assumono una forma particolarmente semplice e di ricorrenza in una descrizione moltigruppi del rallentamento. In particolare in una trattazione a tre gruppi, è necessario conoscere le sei funzioni

F

uJÌ*ì|

F22,|k+h|^F22j£>h|

F31,|k-*h|^F3 2 , | k - h |^F3 3 , | £ 4 |

Lontano dai confini del sistema (o assumendo il moderatore come un mare infinito) si può facilmente dedurre

(8)

1 „ ,^ph k '' ' Rm,2

F

2 2 , ^ i = Y

¹

^ • k <|p

^tt

i> - ^ h (|p

^h

i

^k

))

T2

F ^ph k

i - - i = ± K ( 1 * * ! ) - f ( I p J ) 3 1 , M i 2rrD+ _ o^K L ' 3^{U P}n k !^;

Km,3

T2 '^Tm , 2 . « , • A ^ , 2 _^{M n})

F3^S|⁼ 1 ^ 2 -^{f 3 ( i P}hk^ " D g ^^f2⁽| P^{t t}| ) j

2

F

33,M|

^{( 1}

_iL

^{) ( 1}

_^, \

^f

3

⁽

M V

³

V I ^ P : ( , . ^ ( , . 1 1 ,

T2 L^T2 L

V^-^VM)

Per l a deduzione di t a l i r e l a z i o n i s i può vedere l'Appendice I .

In p r a t i c a l ' i p o t e s i del mare i n f i n i t o di moderatore è troppo r e s t r i t t i - va pei- r e a t t o r i di piccole dimensioni, essendo l e corone e s t e r n e ben lontane da t a l e situazione a s i n t o t i c a , pertanto i l codice non u t i l i z z a l e funzioni F . . ,* £, che abbiamo r i c a v a t o bensì d e l l e a l t r e funzioni che indicheremo

ij,|k-*n|

con F*. ^ £ che tengono in conto dell'effettiva dimensione del sistema (vedi IJ ,K-»-h

App, II). Diciamo subito che è possibile ottenere tali funzioni in una forma del tipo

cioè come combinazione lineare di una funzione irregolare dai punto r, e di una funzione ovunque regolare che soddisfa alle condizioni al contorno.

Zi è un parametro di migrazione, Lo/T7 a seconda dei gruppi.

- 6 -

k. METODO DI SOLUZIONE

Le equazioni (l) possono mettersi nella forma

N

•i.S " ?ì - n ^

^F

ìiM

*2,2 " H

^a

2 1

^{( 1 ) F}

21,S-S

⁺

h

⁸

22

^{( S )}

•

^F

22,t-t

N N N è -•= Z+^a ( k ) F * •* •* + E a ( k ) F * - • - » • + E a ( k ) F * -*• -+

93 , h k^a3 1^{v }} 3 1 , k + h k^a3 2 ^ *^; 3 2 , M i ^ * 3 3 3 3 , k - h

P e r l a d e d u z i o n e d i t a l i e q u a z i o n i i n m a n i e r a f o r m i l e s i può v e d e r e Ap_

p e n d i c e I .

I n forma p i ù c o m p a t t a s i h a : NG N

ò -*• = l . £ a -*• F * - • -•

i , h ^ ^ k i j , k i j ' k+h ^{( ! ' )}

dove NG è i l numero d i g r u p p i s u p e r i o r i a q u e l l o c o n s i d e r a t o N è i l numero d i c l a s s i

A = a . . s* =

[

ⁿ

k,i*3,k

^{+ n}

k , u * 2 , k ] r - ^ , i * a

nk , 2 * l , k -Yk , 2 * 2 , k

nk , 3 * 2 , k - k , 3 * 3 , k

fcll

21 ^k22

- 7 -

(9)

5. ITERAZIONI PRINCIPALI

La t e c n i c a i t e r a t i v a a d o t t a t a p e r r i s o l v e r e i l s i s t e m a d i e q u a z i o n i ( l¹) è l a s e g u e n t e : s i assume dapprima come u n i c i e f f e t t i l ' a s s o r b i m e n t o t e r - mico e l e conseguenti f i s s i o n i ; matematicamente q u e s t o s i g n i f i c a che g l i u - n i c i c o e f f i c i e n t i d e l sistema omogeneo ( l¹) non n u l l i sono n£ , e Y£ r>*

e quindi l e e q u a z i o n i come s i può vedere e s p l i c i t a n d o , sono t u t t e d i s a c c o p - p i a t e p e r c u i è s u f f i c i e n t e r i s o l v e r e q u e l l a n e l l ' i n c o g n i t a <J>_ £ .

Tale equazione è poi r i c o n d u c i b i l e a l c l a s s i c o problema a g l i a u t o v a - l o r i A x = Ax che può r i s o l v e r s i senza m o l t i problemi d a l p u n t o d i v i s t a pii ramente matematico con i l ben n o t o metodo d e l l e p o t e n z e . I l s i s t e m a i t e r a t i ^ vo è dunque

*[ⁿ⁾ = ( I + D ) -¹ C ^_{• •}^{1 1}-¹*

T( n ) _^t( n )

•² X <J>3 r^{( n )} - A * ( * )

+(n) _ (n) -Hn) (n) _ ,+(n) . ( n - l )^w, + ( n - l ) . ( n - l h y. = A *. ove A = (f , 4» )/((f) ,4» ; con y. = A

NC

C " \ t ^ , l " ^P 3 3 , U NC

D = \ t ^ , 3^F3 1 , M NC

NC

9 = \Ì ^,1^{# F}2 2 , i t ^

- 8 -

6. ITERAZIONI SECONDARIE

Lo schema i t e r a t i v o p r i n c i p a l e può d a r c i s o l o una s t i m a d e l l a s o l u z i o n e , i n quanto s i sono t r a s c u r a t i m o l t i e f f e t t i q u a l i f i s s i o n i epitermiche a s - s o r b i m e n t i e p i t e r m i c i di r i s o n a n z e . . , e c c . . . . Per o t t e n e r e l a s o l u z i o n e completa del problema s i dovrà i n s t a u r a r e uno schema i t e r a t i v o che t e n g a con t o d i t a l i e f f e t t i ma che d ' a l t r a p a r t e può u t i l i z z a r e come funzione b a s e una buona approssimazione d e l l a s o l u z i o n e . Lo schema i t e r a t i v o è ora i l s e g u e n t e

;<

ⁿ⁾

= ( M ) -

¹

**• ." «<»-> + I ^ -**

¹

'

^{+ e}

»i

ⁿ⁾

.

¹

h - \

⁺

\ - \

e dove:

N *

N

G =

[Z "È,i

F

ìi$-+t

N *

L =

jt ^,1*

^F

u

^t

tà

N *

B

~ j * ^

^{f 2 P}

21

^f

iUS

N

M =

JE % 1

^F

22,it^

N =

£ %U

^F

22,M

H

0 =

ft [',2*

^P

2L,W " Y

^k

,i

^F

22,M]

- 9 -

(10)

!

N

= li

(n)_

**\t *8,3**

r

31,fcS

N *

[$ %1

F

**33,Ì*S**

N U:

h

4 n )

1 N

*t,l

^F

**33,^S * i £**

**,* (n-D 2$ ^ , 3**

^F

**32,M *2,f**

- ** [< nt, ² •fil ^1> - it.2 4 ^ ^F 32,tUt ⁺ *£,• ^{F 3} ^ h 4:i ^l} ]

- 10 -

7 . CONSIDERAZIONI SUL METODO ADOTTATO

I l sistema a d o t t a t o presenta l ' i n c o n v e n i e n t e per quanto riguarda i l tempo di calcolo d e l l ' i n v e r s i o n e di t r e m a t r i c i I+E, I+B, I+D. D ' a l t r a p a r t e i l f a t t o che per l'equazione determinante (quella termica) in en- trambi i t i p i di i t e r a z i o n i s i r i c h i e d e solo l ' i n v e r s i o n e d i (l+D) ha su£

g e r i t o come a l t e r n a t i v a a l metodo d e s c r i t t o quello d i r i s o l v e r e i l s i s t e ma in 4).. e if invece di i n v e r t i r e anche l e matrici (l+E) ed (I+B).

Tale schema non viene qui r i p o r t a t o i n quanto n e l l a n o s t r a i p o t e s i (3 gruppi) i l tempo di calcolo non r i s u l t a m i g l i o r a t o . Può essere invece i n - t e r e s s a n t e a d o t t a r e t a l e t e c n i c a '.v un càlcolo moltigruppi crescendo i l tempo d i inversione di una matrice come N . U tempo di calcolo d e l l ' a t - t u a l e edizione è p e r un r e a t t o r e a 70 c a n a l i d i 12 sec : esso può notevol mente r i d u r s i migliorando l a subroutine d e l l e funzioni d i Bessel ed quel l a d ' i n v e r s i o n e INVRS u s a t e n e l corso d e l l ' e l a b o r a z i o n e .

- 11 -

(11)

8. CONCLUSIONE

Dal punto di fista fisico l'attuale edizione dello Cheyenne è poco pro vata in casi significatici, in parte a causa del fatto che non è ancora a punto un modello matematico per il calcolo dei parametri eterogenei. Inod tre l'ipotesi di Feinberg-Galanin può migliorarsi ulteriormente con l'in- troduzione di effetti correttivi come la emigrazione non isotropa nel si- stema e le fughe assiali nell:elemento di combustibile. Tuttavia il codice può tenere in conto delle diverse proprietà medie di migrazione radiale tra canale e mcderatore. Le fughe assiali nel moderatore sono considera- te nel calcolo dei parametri d'ingresso al codice, e nel codice stesso at traverso le relazioni

L2 = - ^

1+1? 1?

m z

l = I (1 + L2 B2) a am m z

analoghe r e l a z i o n i s i possono s c r i v e r e per i l gruppo v e l o c e , e d i risonan za. Nel caso invece d i un modello e t à - d i f f u s i o n e , basterebbe diminuire l a

- T B2

r e a t t i v i t à A per un f a t t o r e e z c i o è :

A = A e

oo

- 12 -

APPENDICE I

Soluzione d e l l e equazioni eterogenee

Assumiamo come modello, per s e m p l i c i t à , un due gruppi, ( l e equazioni n e l caso moltigruppi sono d e l l a s t e s s a natura)

2 , - 1 - 1^N -^{6 ( ?}-^?k^}

v

V r )

,

i ( r ) +

_

z

^

# 2 < r )

_ *

D

.

0

J- 1 — r — k Rm,i

Rm,l^A

( 1 )

2 -»- 1 -• Z-i+o n. -w^N Vt óCr-ìv)

il coefficiente 1/2 w (r-r ) è un coefficiente di normalizzazione. Rappre- sentando le singolarità sotto forma integrale

6(r)

r J (ur) u) dio o

e definendo l ' o p e r a t o r e d i f f e r e n z i a l e L H V - — . L i q u a z i o n e del 2 1

Tl gruppo v e l o c e s i trasforma

-co

Rm,l 1 • y o

Supponendo ora che L e l ' o p e ":ore d ' i n t e g r a z i o n e commutino ( s i p i ò v e r i f i c a r l o a p o s t e r i o r i ) è p o s s i b i l e portare L s o t t o i l segno d ' i n t e g r a - z i o n e con i l r i s u l t a t o che

L[j

o

(u,|?

k

- ?| )] = - (u>

2+

i . ) J

o

(. . | ?

k

- r\ )

Cerchiamo d i conseguenza L~ i n modo e u r i s t i c o imponendo che L L~ = I , i n p a r t i c o l a r e

- 13 -

(12)

'Vo

^{( a , |}

V

^?

l

⁾

]

⁼

-

1/(a,2+ 1 / T

1

^}

'

^J

o

^{( a ,}

'l

^?

k "

^{? | )}

e q u i n d i l e ( ! ' ) , m o l t i p l i c a t a p e r L~ f o r n i s c e - 1

N ^/•<»

• 1

^{( ? ) =}

l^t~• '

^nE

2 "PS • z ^

R m , l 1 — - —

(7)

J

⁰

(.|?

^k

-*|)

«co * dio

o (<o + 1 / T1)

d a c u i , e s s e n d o n o t o che

f - j

⁰

< " i v

^?

n

o ^*^{2 +}^{^}

Ti

io»dco =

KO ( J k l l ,

s i h a

* 1^{( ? ) =} 2 ^ Rm,l

N | r, - r |

1 ——— / T

N

E. Fⁿ_ , + + , aⁿ_ ( k ) k l l , | k - * h | 1 1

con

"il,

^{( S ) =}

"f

^Y

ì 2

^{( ?}

k '

^{; A}

I - > • - > • i =

l l , | k - h ^2TTD.

R m , l

rl c '^r' Kb ( - — - )

Esaminiamo o r a l a s e c o n d e e q u a z i o n e . Con u n a p r o c e d u r a s i m i l e s o - s t a n z i a l m e n t e a l l a p r e c e d e n t e s i h a

H

Rm,2

N r⁰⁰

E

k ^ 2

^(l

^k

⁾

J

^J

o ^ I V ^ I ^

^wdw

-

N R m , l ^ m , 2 1

00 , - > - * • !

l^ji

k

^Y

5

ⁿ

k *2

⁽

V '

o ( U ^ + I / T ^ )

coda)

d o v e H = V_ - R

e q u i n d i m o l t i p l i c a n d o con H -1

- Ih -

•

²

( D T ! — 2 ^ T ~ h "Fì

¹^N^(|,

2

^(?

k

⁾

l,m Rm,2 1 - ^ — i

J Ito r, - r )

O K

(tO + — )(U> 4-• )

1 L

I» din

2

* V 2 1

H

Z

**t >É *2**

⁽

V

^{K o (}

'

L'integrale da comporre è quello di convoluzione tra il nucleo di diffusione del moderatore e la densità di generazione termica per neutroni nati veloci nei punti r, . Esso (nel modello moltigruppi) assume una forma particolarmente semplice e ricorrente, potendo ridursi alla combinazione di nuclei diffusivi dei vari gruppi. Infatti

.»

o ( u >²+ ± )(o)²+ 1 / L²)

co dio = A ! ^•^{J 0} ^{^ !} ^r ^{k "} ^r ^{' '}

oc

• codco + B 'o (w + 1 / ^ )

J ( « | r , - r ; (a,² + 1 / L²)

codco

dove A e B s i d e t e r m i n a n o con i l p r i n c i p i o d ' i d e n t i t à d e i p o l i n o m i

A = - B

Tl B =

1 - ^ / L '

p e r c u i

•

o(?)^s

1-T / L Rm,2 1 —r— L Rm,2 / T

1

^N

- l

^?

k"

^?

l

e con l a s i m b o l o g i a u s a t a

N N

W

⁼

^

^F

22,|k-h| '

^a

22

^{( k ) +}

*

^{k F}

2 1 , |fc-l ^ 2 1

^{( k )}

- 15 -

(13)

dove

2 2 , | k + h |

1-T../L - Rm,2 J

^ . l

F

2i,ik4i

=

VM

Rm,i

iti

^:

a^{2 2} (k)

= ^^Yk *2^{( r}k^{) / A} a (k) =

-

^Y

**k *2**

⁽

V

- 16 -

APPENDICE I I

Funzione d i Green i n un mezzo c i l i n d r i c o r a d i a l m e n t e f i n i t o

Consideriamo un s i s t e m a S d e l i m i t a t o da un contorno r . Indichiamo eon r un punto d e l s i s t e m a i n c u i s i i n i e t t a una s o r g e n t e t e r m i c a T d i -fr- i n t e n s i t à u n i t a r i a - I l f l u s s o t e r m i c o g e n e r a t o d a l l a s o r g e n t e i n r (pun t o c o r r e n t e ) è generalmente p a r l a n d o e s p r i m i b i l e mediante una s e r i e doppia d i H a n k e l - F o u r i e r :

* - • - > • oo oo

F ( r + r ) - l E-, f,^m u (1)

K. m , 1 l , m m,i

o 1 ' '

dove cu _> è il sistema di funzioni ortonormali e completo nel campo m,l

(o<_ <R', O^9<2TT), esplicitando

IT" J ( o . r/R)

s

**iLS * * i —**

^r

cos m (e-e.

cos m (e-6, ) (2)

e = m

a . = z e r i d e l l a funzione J (x)

ml m

Chiaramente l a s e r i e ( l ) non è uniformemente convergente n e l dominio c o n s i d e r a t o , t u t t a v i a sappiamo che l a sua s i n g o l a r i t à ( l o g a r i t m i c a ) è l o - c a l i z z a t a i n r = r. , analogamente a q u e l l a d e l l a funzione d i Green i n un mare i n f i n i t o di moderatore

(lVr|)

F

~ — V -

⁼

2fiTT > <fr*

^k

-r|/L) (3)

Rm,3

- IT -

(14)

Questo f a t t o s u g g e r i s c e l ' i d e a di e s t r a r r e a l l a s e r i e ( l ) l e sue s i n g o l a r i t à sommando e s o t t r a e n d o l a s i n g o l a r i t à s t e s s a . A q u e s t o scopo incomin ciamo a s v i l u p p a r e i n s e r i e d e l l e f u n z i o n i base l a F ( r, -*• r / L ) .

°> k '

Per i l n o t o teorema d e l t r i a n g o l o d e l l e funzioni di B e s s e l m o d i f i c a t e

l^r- - k

O L

E I ( r / L ) K ( r . / L ) e ¹ ^⁶ " ⁹ ^

m m m K

I IJTJLÌ K ( r / L ) e i m ( e-⁶k )

m ni k m

e , p e r d e f i n i z i o n e di c o e f f i c i e n t i d i H a n k e l - F o u r i e r

rk> r

rk *

r27T T k .'2TT/R

r i,m"J ì ^o ^ ^ W ^ ^ ^ V ^ ^ j ) W L ) K B ( r / L )

cos m(e-6, ) uⁿ r d r de k m,l

svolgendo q u e s t i i n t e g r a l i s i t r o v a (5)

- 18 -

"^ — +y — +y " m mi

~ L² L²

2 2 con y - (a ml/R)

e p e r t a n t o

| ì - ? | ' , J (^aml r / R )

F (—- ) = + —z-rr- • Z^m e cos m ( e - e^v) " l^±rì ol o -^L , R^{2 D}ftE,3 o^{m k} 1 (^{Ì 2}+ W²J ; ^ « « D

a i mi

jm < T v - v ^j ;<<vi>- yv ^{L )} V ^B / ^L ')

D ' a l t r a p a r t e l a funzione F è s o l u z i o n e d e l problema

V R ^F * " " I

_L

^F * ⁼ " ^6(? ~ ^? k>

con l e c o n d i z i o n i a l c o n t o r n o : F*(R) = 0

J (a. +) - J ( a . - ) = 1 dove J è l a c o r r e n t e r a d i a l e t o t a l e

Come è n o t o :

> , °° J (et , r / R ) ' J (a , r , /R)

fe+1) = JL • z

e cos m (

e . 1 ) • E.

^m

*

^m

-

^{1 k}

L

sommando e sottraendo a questa funzione G ( I r . - r i ) s i ha:

- « / * - , 1 A - H 1 - , , r^J m⁽ V r / R ) , Jm ⁽ % l^r k^{/ R )} K«,3 • o 1 W i n n ^ ' » »1

V S l^{r / R )} ' . ' V k ' ^{1 1} «mi^Jn^{( a}« l^{r / R )}-^{I m} < V^{L ) K}m^{( R / L )}

D Jc2+^ ² h ² KJ ⁺ (; ²⁺ **<¥>)': <«*>• V :**

- 19 "

(15)

. .^t ir.-r"| J (a r/R) F*(r.-r)« -—p K ( — V - )+ f £ cos 111(6-8.)- Z, a . " £ ,^p,^p

k

^Vs

^{0 L}

o

^{m m k}

I

¹

( V ^ )

^,irR

%m/

« I (r. /L)K (R/L) m K m

L'ultima serie doppia può sommarsi ricorrendo a proprietà standard di iri tegral^ involgenti funzioni di Bessel si trova

- </t)

²

. «al V « W

^r/R)

1

B/L

"

^z

m

* ² 1 ¹ (V^ ² K<v>

per cui

• K (R/L) m

Si vede facilmente che F soddisfa alle condizioni al contorno: ponendo infatti r= R

F

*V

^R)=

**2 ^ ~ *><-\->- 2 ^ —**

^{? £m}

<=°

^s

- f - V W

^{L ) K}

m

^(E/L)

- °

Rm,3 Rm,3 o

per il teorema di addizione delle funzioni di Bessel.

- 20 -

INPUT CHEYENNE

- 21 -

J

(16)

N. NAME FORMAT MEANING

1 TITLE ( I ) 1 = 1 , 1 2

12A6

NCLAS, NBAR 213

I L , LIM IGEO, I F I N , MR, MODER

k PASSO, RR

5 H, HH, HHH

613

2E1U.T

3E1U.T

6 RAGGIO ( I ) 5E1U.7 1 = 1 , NCLAS

TITLE T i t o l o d e l problema.

NCLAS numero di c l a s s i , c i o è d i c a n a l i che s i d i f f e r e n z i a n o o p e r composizione o p e r g e o m e t r i a (max 25)

NBAR numero di Darre su un l a t o d e l r e t i c o l o . IL numero d ' i t e r a z i o n i (generalmente UT5) p r i n c i p a l i . LIM numero d ' i t e r a z i o n i seconda r i e . IGE0=1 i l r e t i c o l o non p o s s i e d e p e r i o d i c i t à q u a d r a t a .

IGE0=2 i l r e t i c o l o è a passo c o s t a n t e qua- d r a t o .

IFIN=1 s i assume i l moderatore i n f i n i t o . IFIN=2 s i t i e n e i n conto d e l l a f i n i t e z z a d e l r i f l e t t o r e .

MR numero d i armoniche c o n s i d e r a t e n e l caso IFIN=2 (max. 1 0 ) .

M0DER=1 non s i r i c h i e d e una t a b u l a z i o n e dei f l u s s i n e l moderatore.

M0DER=2 s i vuole l a t a b u l a z i o n e . PASSO p a s s o d e l r e t i c o l o .

RR r a g g i o e s t r a p o l a t o d e l r i f l e t t e r e ,

H Correzione d e l B p e r i l gruppo v e l o c e . 2 z

(norm, s i assume 0 ) .

HH c o r r e z i o n e d e l B p e r i l gruppo di r i -2 z

sonanza.

HHH c o r r e z i o n e d e l B per i l gruppo t e r -2 mi c o .

RAGGIO ( I ) r a g g i e s t e r n i dei c a n a l i p e r l e v a r i e c l a s s i .

- 23 -

(17)

7 SIG(I) 3E1U.7 1= 1 , 3

8 SIGRE ( I ) 2E1U.7 1= 1 , 2

9 DIF ( I ) 3E1U.T 1= 1 , 3

10 NBARCL ( I ) 2013 1= 1 , NCLAS

Sezioni d'urto macroscopiche d* assorbimento e rimozione per gruppo d e l moderatore.

S e z i o n i d'urto d i rimozione per gruppo, d e l moderatore.

C o e f f i c i e n t i di d i f f u s i o n e per gruppo n e l moderatore.

Numero d i canali appartenenti a l l a s t e s s a c l a s s e .

Se MODES = 2 sono r i c h i e s t e l e schede 11 e 1 2 . 1 1 NPUN1T 13

12 X ( I ) , Y(I) UElU.7 1= 1 , NPUNTI

Numero d i punti n e l piano in c u i s i vuole l a tabulazione d e l f l u s s o (max. 3 0 ) .

A s c i s s a ed ordinata dei punti

Se IGEO = 1 occorre la scheda seguente

13 MD ( I , J ) 2013 I n d i c i che individuano l a p o s i z i o n e d e l l e 1= 1 , NCLAS barre: prima l ' a s c i s s a poi l ' o r d i n a t a . J= 1 , NBARCL(l) Occorre una scheda per c l a s s e .

Se IGEO = 2 invece occorre la seguente Ih IA(I), 10(1) 2013

1= 1, NCLAS

Indici che individuano solo una barra per classe : quella nel primo quadrante (ascis- sa ed ordinata successivamente).

15 EPSI, OMEGA 2E1U.7 Costanti per il controllo delle iterazioni

_

La convergenza s u l l ' auto valore è^ o t t e n u t a s e :

( A( n ) .^A( n + D |^{/ À}( n ) , ^m ⁱ e q u e l l a s u i f l u s s i s e :

Max

i g ( l , NCLAS)

(n) ' 3 , i

(n+l) , . (n)

%i^{| 7}* 3 , 1 -

•ò~i - <P4~T' |/<fri*\' < OMEGA

- 2k -

EPSI per le iterazioni sull'autovaiore

( 1 0 "3Ì 10"^U).

OMEGA per le iterazioni sul flusso termico (IO"2 v IO"3).

16 PR0D(I,J) 5E1U.7 Parametri eterogenei di sorgente per Is i, li classe e per gruppo.

J= 1, NCLAS

17 SPAR(I,J) 5E1U.7 Parametri eterogenei di assorbimento per 1= 1, 3 classe e per gruppo.

J= 1, NCLAS

- 25 -

(18)

o

6 8

cv»

I

m^^w

,

i

— • —

«. *—

1 !

J

J 1

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1

i

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1

i 1

i l 1

Ì 1

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• M l 1 -

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' LL 91 9LH U

' M M

1

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^69

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I 1 1

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4 1

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1

9S9S*

1 1 5C9

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2S15 09 6

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I

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1 1 1 1 1 1 1

JO 7 30Vd 31VQ 4»«tl£

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J- - l + ^M

I " M*f< * S T * J W S U M I i » r f - l i «

i n w n i s

! 11 . - • - * - - - • # i

91 St H CI 2. 11 01 6 8 I 9 S t t Z I

9VH9k9*fO W319CHW

CM

(S9UU0|03 9 9p S&UO7) V J V f l

•3'sro

(19)

OUTPUT

I l codice a l l a fine d e l l e i t e r a z i o n i d e s c r i t t e precedentemente, c a l c o - xa i f l u s s i medi s u l contorno nei v a r i gruppi in ogni classe di canali (nor m a l i z z a t i a l l a sorgente) ed i l p i ù grande autovalore A del sistema di equa-

zioni c o n s i d e r a t e . Queste grandezze vengono poi elaborate con i parametri e- terogenei d ' i n g r e s s o per f o r n i r e un c e r t o numero d'informazioni sul! r e t i c o l o .

1. Autovalore

L'autovalore ottenuto al termine delle iterazioni tiene in conto in mo do rigoroso (descrizione ad armoniche) delle fughe radiali. Le fughe assiali, come già visto sono considerate attraverso un B . (i = indice di grup-2

z ,1 pò).

2. Flussi medi sul contorno dei canali

» • • • • • •

Sono conseguenza diretta come l'autovalore della soluzione del sistema.

Essi sono normalizzati ad una sorgente media unitaria su tutto il reattore.

3. Assorbimenti nei canali Dalla semplice relazione

si possono, noti i <J>.(r ) , ricavare

1 K

k. Fissioni termiche

Si ricavano dalla relazione

F

£,3

⁼

"£

⁹

**i *3,**

^(ir

k

^)/A

• i( pk)

k,i

- 29 -

(20)

F i s s i o n i epitermiche

F

**£,2 - X,k *2**

^{( r}

V

^A

Probabilità di non assorbimento epitermico

pj - 1 - - y - « -

2 h ***

R e a t t i v i t à

Indice d i importanza neutronica del canale d e f i n i t o come

Z I _h k,n

Tabulazione d e i f l u s s i n e l moderatore NG N

<t>. -*- = Z . Z a . . -»• • F . . (f -»•

i,r j n ij,n ij,h-*r

- 30

REFERENCES

1. S.M. Feinberg: "Heterogeneous methods for calculating reactors: survey of results and comparison with experiment". PGC.G Vol. 5.

2. A.D. Galanin: "Thermal reactor theory". Pergamon Press i960.

3. A. Jonsonn, Nasland: "Heterogeneous two group diffusion theory for a finite cylindrical reactor". AE-57»

4. A.D. Galanin: "The thermal coefficient in a heterogeneous reactor".

PGC.G Vol. 5.

5. N.W. McLachlan: "Bessel functions for engineers". Oxford Press 1955.

6. S.E. Corno: "On the theory of "Spiking" in neutron multiplying sistema".

Nuovo Cimento Serie X vol. 21.

7. Grobner-Hofreiter: "intergraltefeì1 - Springer Verlag I9U9.

- 31 "

(21)

CHEYENNE

FORTRAN STATEMENTS

- 33 -

(22)

e e e e e

1004 1005 1006 1007 1008 C C

C

C C C

CHEYENNE 1

COMMON SPAR(3125),PROD(4,25 V•CC(3),RR,MR,IFIN COMMON ICONT

COMMON /GR/DIF(5),TAU1M,TAU2M,ELL2M,X(30),Y(30),MODER, 1TARE1.TARE2

COMMON /PED/ F11(25,25),F21(25,25),F31(25 25) DEP1,DEP2,ELLE ,10(25)

/ r e i » / r n u 3 | t 3 » i r É i U 3 | £ 3 i i r a i u s t ^ a i i u

COMMON / R E T / P A S S 0 , I G E 0 , H . N B A R , N B A R C L ( 2 5 ) , I A ( 2 5 ) l , M D ( 2 5t2 5 ) , H H , H H HtR A G G I 0 ( 2 5 )

COMMON / S I / F L U S 3 ( 2 5 ) , I L , L I M . E P S I , O M E G A , F L U S H 2 5 ) , F L U S 2 ( 2 5 ) COMMON / P G / C ( 2 5 , 2 5 ) , F 2 2 ( 2 5 , 2 5 ) , F 3 3 ( 2 5 , 2 5 ) , F 3 2 ( 2 5 , 2 5 )

DIMENSION A ( 2 5 , 2 5 ) , B ( 2 5 , 2 5 ) , D ( 2 5 , 2 5 ) , 8 B ( 2 5 , 2 5 ) DIMENSION F 1 ( 3 0 ) , F 2 ( 3 0 ) , F 3 ( 3 0 )

DISTRIBUZIONE FLUSSI MODERATORE ») F0RMATi////,36X,35H»

FORMAT (1H1)

FORMAT(36X.34H • » » # • • » • • » • • » • • • F0RMAT(15X,7HASCISSA,5X,8H0RDINATA,7X,13HFLUSS0 10 EPITERMICO,3X.14HFLUSS0 TERMICO)

F0RMAT(10X,2(3XtE10.3),5X,E14«7,7X,E14,7,5X,E14,7) ICONT^l

CALL DATIN(NCLAStNPUNTI)

CALCOLO DEI COEFFICIENTI PER LE CONVOLUZIONI Pl=l./TAU1M+H

P2=1./TAU2M+HH P3=1./ELL2M+HHH TAUI=1./P1

TAU2=1./P2 ELL2=*1./P3

ELLE=S0RT(ELL2) DEP1=SQRT(TAU1) DEP2=SQRT(TAU2) DEP12*TAU1/TAU2 DEP13*TAU1/ELL2 DEP23=TAU2/ELL2

C0EF12=(TAUl/TAREl)/(1.-DEP12) C0EF13^(TAU1/TARE2)/(1.-DEP13) C0EF23=(TAU2/TARE2)/(1.-DEP23) CALL GEOM(NCLAS)

COSTRUZIONE DELLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

, / / )

VELOCE,6X, 17HFLUSS

DO 500 I=1,NCLAS DO 500 J«1»NCLAS

F22(I,J)=C0EF12MF21( I,J)-F1KI,J)»DIFU)/DIF(2))

MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN

2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 16 17 18 20 19 21 22 23 25 24 27 26 28 29 30 31 33 32 35 34 37 36 38 29 41 40 42 43 44 45 46 47 49 48 50

(23)

500 C C C

LO

c c

2 1

17

F32tI,J)=COEF23»(F31(I,J)-DIFl2)/DIF(3)*F2l(I,J))

F33( I,J)*COEF12»COEF23«(F31( I,J)-DIF(2)/DIF(3)»F21U,J) 1C0EF12»C0EF13*(F31(I,J)-DIF<1)/DIF<3)»F11< I,J) )

CALL ITER(A,B,D,BB^fNCLAS)

DISTRIBUZIONE PUNTUALE DEI FLUSSI NEL MODERATORE IF(M0DER.EQ.1)G0 TO 17

DO 1 K*1,NPUNTI F1(K)*0.

F2(K)=0.

F3(K)*0.

00 1 I*1.NCLAS N*NBARCL(1)*2 S1*0.

S2=0.

S3*0.

DO 2 J*1,N,2 XA=MD(J,I)

XA=XA»PASS0*.5 YO=MD(J+1,1) Y0=Y0»PASS0*.5

RAD=(XA-X(K))*»2+(Y0-Y(K))»*2 DIS*SQRT(RAD)

ARG1=DIS/DEP1 ARG2*DIS/DEP2 ARG3*DIS/ELLE

S1=S1+BK0S(ARG1)»CCU) S2=S2+BK0S(ARG2)«CC(2) S3=S3*-BK0S(ARG3)»CC(3) F1(K)*FLUS1(I)«S1+F1(K) F2(K)=FLUS2(I)»S2+F2(K) F3(K)=FLUS3(I)»S3+F3(K) STAMPE DELLA DISTRIBUZIONE WRITE(6,1005)

WRITE(6,1004) WRITE(6,1006) WRITE(6,1007)

WRITE(6,1008)(X(K),Y(K),F1(K),F2(K),F3(K),K*1,NPUNTI) IC0NT=2

GO TO 5 END

) -

MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN MAIN

mm

*>*»*<*<»' mmmmmMamm _ixa

C

c

SUBROUTINE DATINtNCLASiNPUNTI)

i

tjO

— J I

1001 1002 1004 1005

looe

1010 1014 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1100 1101 1102 1103 1104 C C

C

DIMENS 01MENS OIMENS COMMON 1TARE1, COMMON l,MD<25

COMMON COMMON COMMON FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT 17X,6H 27X.6H

FORMAT FORMAT 17H GAM 110X,6H FORMAT 15X,E10 FORMAT 116H PA

FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT FORMAT II »)

LETTURA DATI INGRESSO

),Y(30),M00ER, ,IA(25),10(25) tIFIN

LUSl(25)^tFLUS2(2S) ION TITLE(12),SIG(5)

ION TAUMC3) ION SIGREI2)

/GR/DIF( 5 ) ,TAU1M,TAU2M,ELL2M,X(30 TARE2

/RET/PASSO,IGEO,H^?NBAR,NBARCL<25) .25),HH,HHH,RAGGIO(25)

SPAR(3t25),PR0D(4f25)tCC(3)tRRtMR ICONT

/SI/FLUS3(25),IL,LIM,EPSI^f0MEGA,F (4E14.7)

(2013) (1H0,/) (5E14.7) (1H0,////) (12A6)

(1H1)

(36X.41H • CARATTERISTICHE NUCLEI (7X^t6H D(1)=,E17.8.7X,8H SIG(1)=,E D(2)*,E17.8,7X,8H SIG(2)*tE17.8t7X 0(3)*,E17.8,7X,8H SIG(3)*, E 17.8,7X

(36X,42H • CARATTERISTICHE GEOMETR (2X.7H CLASSE.4X,8H N.BARRE,5X,7H MA2,6X.5H ETA2,8X,7H GAMMA3,8X,5H

RAGGI)

(5X,I2,9X,I2,6X,E10.5,2X,E10.5^f5X, .S.SXtElO.S.SX.ElC.S.SXjElO.S)

(lX,14HC0RREZ.d2 EPI*,E12.5^X2X.15H ._...__.__ ^_ „. .^t SSO RETICOLO*,E12.5,2X,21H SPESSORE RIFLETT0RE*,E12.5)

(1H0,////////////)

(49X,21H* * • • • • • • • » • ,//)

(49X,1H*,2X,15HC H E Y E N N E,2X,1H»,/)

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(24)

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