Analisi Dimensionale
1 Analisi dimensionale
1.1 Definizione costanti
1 s = durata di 9.192.631.770 periodi di una determinata transizione del Cs133. `E la grandezza determinata con la maggior accuratezza.
1 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299.792.458 sec .
1 kg = massa del chilogrammo campione custodito all’Istituto di misura di S`evres, presso Parigi. Una nuova definizione proposta di recente `e legata al numero di atomi di Si che si trovano in una sfera di 1 kg.
Questa definizione richiede, come parametro di input, il numero di Avogadro.
1.2 Grandezze dimensionalmente indipendenti
Un insieme di grandezze fisiche `e detto dimensionalmente indipendente se non e’ possibile costruire con esse un monomio adimensionale:
[a1α1· aα22 · ... · anαn] = M0L0T0 (1) Ad esempio massa velocit`a ed energia non sono grandezze dimensionalmente indipendenti:
[m] = M1 [v] = L1T−1 [E] = M1L2T−2 [m1· v2· E−1] = M0L0T0
2 Esercizi su analisi dimensionale
2.1 Es. 1
Un corpo di massa m viene lasciato cadere da una altezza h. Quale `e il tempo di caduta?
1
I parametri in gioco sono: m, h e g. Le loro dimensioni:
[m] = M [h] = L [g] = LT−2
Voglio trovare una combinazione di m, h e g che abbia le dimensioni di un tempo:
[mαhβgγ] = MαLβ+γT−2γ= M0L0T1
Questa relazione `e verificata se sono uguali gli esponenti di ciascun parametro dimensionale:
α = 0 β + γ = 0
−2γ = 1 La soluzione e’ α = 0, β = −1/2, γ = 1/2 da cui:
t = k · s
h g
Il parametro k non si determina dalla analisi dimensionale, ma dalla soluzione completa del problema. In questo caso le equazioni del moto rettilineo uni- formemente accelerato danno k =√
2.
2.2 Es.2: altezza massima
Determinare solamente con l’analisi dimensionale l’altezza massima rag- giunta da un corpo di massa m lanciato verso l’alto con velocita’ iniziale v0.
Le grandezze in gioco sono: m, v0 e g. La relazione da soddisfare:
[mαvβgγ] = M0L1T0 (2) Si costruisce il sistema:
α = 0 β + γ = 1
−β − 2γ = 0 la cui soluzione e’ α = 0, β = 2, γ = −1 da cui:
h = k · v20 g
2
2.3 Es.3: attrito viscoso
E dato un corpo di massa m che cade da una altezza h in presenza di una` forza di attrito viscoso F = −γv. Quale `e il tempo di caduta?
I parametri in gioco sono: m, h, γ e g. Le dimensioni del parametro γ sono: [γ] = [F/v] = M LT−2L−1T = M T−1, da cui:
[mc1hc2γc3gc4] = Mc1+c3Lc2+c4T−2c4−c3 = M0L0T1 (3) Il sistema che ne deriva ha 4 incognite e 3 equazioni, quindi non ha una soluzione unica. Esprimendo gli esponenti in funzione di c4:
c1= 1 + 2c4
c2= −c4 c3= −1 − 2c4 Da cui:
τ ∝ m γ
m2g hγ2
c4
= m γ F (x)
con x = gmhγ22. Notare che il parametro x `e adimensionale, il che significa che i 4 termini che lo compongono non sono dimensionalmente indipendenti. Per questo non si riesce a determinare la funzione F (x).
Nel caso in cui l’attrito viscoso `e trascurabile, si pu`o facilmente ricavare F (x) = 1/p(x).
2.4 Es. 4: attrito viscoso 2
Nelle condizioni del problema precedente, determinare la velocit`a limite rag- giunta.
Possiamo partire dall’equazione 3 del problema precedente modificando l’ultimo termine:
[mc1hc2γc3gc4] = Mc1+c3Lc2+c4T−2c4−c3 = M0L1T−1 (4) Esprimendo gli esponenti in funzione di c4:
c1= −1 + 2c4
c2= 1 − c4 c3= 1 − 2c4
Da cui:
vLIM ∝ hγ m
m2g hγ2
c4
In questo caso, per`o, `e possibile sfruttare una informazione aggiuntiva, e cio`e che vLIM non pu`o dipendere da h (purch´e h sia sufficientemente alto, la velocit`a limite viene sempre raggiunta). L’unico valore di c4 che soddisfa questa condizione `e c4 = 1, da cui:
vLIM ∝ hγ m
m2g hγ2
= mg γ
3
