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Pendolo su Piano Inclinato

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Academic year: 2021

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Pendolo su Piano Inclinato

Figure 1:

Un corpo di massa M scivola con un attrito µD su un piano inclinato di un angolo α. Sul corpo, sospeso ad un palo di massa trascurabile, si trova un pendolo costituito da una filo inestensibile di lunghezza l e da una massa m.

Determinare l’accelerazione aCcon cui il corpo scivola sul piano inclinato (si assume verificata la condizione tan α > µS ≥ µD) e la posizione di equilibrio del pendolo, cio`e l’angolo θ0 in figura.

Determinare, inoltre, il periodo delle piccole oscillazioni T del pendolo.

1. Accelerazione

Il corpo di massa M + m che sta scivolando sul piano inclinato e’ sottoposto alla forza peso, la reazione normale del piano e la forza di attrito dinamico.

In forma vettoriale:

(M + m)~g + ~N + ~FD = (M + m)~a (1)

1

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Proiettando su un sistema di assi cartesiani parallelo (x) e perpendicolare (y) al piano inclinato e ad esso solidale (Sistema Assoluto = SA):

( (M + m)g sin α − µDN = (M + m)aC

−(M + m)g cos α + N = 0 (2)

Risolvendo:

ac= g(sin α − µDcos α) (3)

2. Posizione di equilibrio

Per trovare la posizione di equilibrio dobbiamo applicare la legge di Newton alla massa m appesa al filo. Su questa massa agiscono solamente due forze:

la forza peso m~g e la tensione del filo ~T . Essendo in equilibrio rispetto alla massa M , essa si muove della stessa accelerazione ~aC. Pertanto, proiettando sui due assi e chiamando θ0 l’angolo fra il pendolo e l’asse y, risulta:

( mg sin α − T sin θ0= maC

−mg cos α + T cos θ0 = 0 (4)

da cui, sostituendo per aC il valore trovato in precedenza:

tan θ0= µD (5)

3. Piccole oscillazioni

In un sistema di riferimento solidale con il carrello che scivola (Sistema Relativo = SR), la massa m risente della tensione del filo, della forza peso e di una forza apparente ~Fapp= −m~aT R = −m~aC.

Conviene orientare gli assi lungo la direzione θ0 di equilibrio trovata in precedenza, con asse y diretto verso l’alto e asse x perpendicolare al filo nella posizione di equilibrio, e quindi tangente alla traiettoria del pendolo in questo punto. L’origine degli assi corrisponde alla posizione di equilibrio della massa m. In questo sistema di riferimento:

m~g + ~Fapp= m~g − m~aC ≡ m~g0= −mg0y (6) Cio`e la massa risente di una forza di gravit`a apparente diretta verso il basso nel sistema di riferimento non inerziale. Il fatto che ~g0 sia diretto verso il basso (= −ˆey) deriva dall’aver scelto y lungo la posizione di equilibrio.

Formalmente questo si dimostra notando che l’angolo formato con l’asse x dai due vettori `e (π − θ0) e −(π2 − α + θ0), rispettivamente per −~aC e ~g. Di

2

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conseguenza, utilizzando aC e µD trovati in precedenza, si ha:

g0x= ~g0· ˆex = −aCcos θ0+ g cos (π/2 − α + θ0)

= g(− sin α cos θ0+ µDcos α cos θ0+ sin (α − θ0))

= 0

g0y = ~g0· ˆey = aCsin θ0− g sin (π/2α − θ0)

= g(sin α sin θ0− µDcos α sin θ0− cos (α − θ0))

= −gcos θcos α

0

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Essendo α > θ0risulta g0 < g, con g0=qg02x+ g02y. Le piccole oscillazioni saranno, quindi, caratterizzate da una pulsazione ω con ω2 = g0/l e da un periodo T = ω.

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