Pendolo su Piano Inclinato

Pendolo su Piano Inclinato

Figure 1:

Un corpo di massa M scivola con un attrito µ_D su un piano inclinato di un angolo α. Sul corpo, sospeso ad un palo di massa trascurabile, si trova un pendolo costituito da una filo inestensibile di lunghezza l e da una massa m.

Determinare l’accelerazione a_Ccon cui il corpo scivola sul piano inclinato (si assume verificata la condizione tan α > µS ≥ µ_D) e la posizione di equilibrio del pendolo, cio`e l’angolo θ₀ in figura.

Determinare, inoltre, il periodo delle piccole oscillazioni T del pendolo.

1. Accelerazione

Il corpo di massa M + m che sta scivolando sul piano inclinato e’ sottoposto alla forza peso, la reazione normale del piano e la forza di attrito dinamico.

In forma vettoriale:

(M + m)~g + ~N + ~FD = (M + m)~a (1)

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Proiettando su un sistema di assi cartesiani parallelo (x) e perpendicolare (y) al piano inclinato e ad esso solidale (Sistema Assoluto = SA):

( (M + m)g sin α − µ_DN = (M + m)a_C

−(M + m)g cos α + N = 0 (2)

Risolvendo:

a_c= g(sin α − µ_Dcos α) (3)

2. Posizione di equilibrio

Per trovare la posizione di equilibrio dobbiamo applicare la legge di Newton alla massa m appesa al filo. Su questa massa agiscono solamente due forze:

la forza peso m~g e la tensione del filo ~T . Essendo in equilibrio rispetto alla massa M , essa si muove della stessa accelerazione ~aC. Pertanto, proiettando sui due assi e chiamando θ₀ l’angolo fra il pendolo e l’asse y, risulta:

( mg sin α − T sin θ0= maC

−mg cos α + T cos θ₀ = 0 (4)

da cui, sostituendo per a_C il valore trovato in precedenza:

tan θ₀= µ_D (5)

3. Piccole oscillazioni

In un sistema di riferimento solidale con il carrello che scivola (Sistema Relativo = SR), la massa m risente della tensione del filo, della forza peso e di una forza apparente ~F_app= −m~a_{T R} = −m~a_C.

Conviene orientare gli assi lungo la direzione θ0 di equilibrio trovata in precedenza, con asse y diretto verso l’alto e asse x perpendicolare al filo nella posizione di equilibrio, e quindi tangente alla traiettoria del pendolo in questo punto. L’origine degli assi corrisponde alla posizione di equilibrio della massa m. In questo sistema di riferimento:

m~g + ~Fapp= m~g − m~aC ≡ m~g⁰= −mg⁰eˆy (6) Cio`e la massa risente di una forza di gravit`a apparente diretta verso il basso nel sistema di riferimento non inerziale. Il fatto che ~g⁰ sia diretto verso il basso (= −ˆe_y) deriva dall’aver scelto y lungo la posizione di equilibrio.

Formalmente questo si dimostra notando che l’angolo formato con l’asse x dai due vettori `e (π − θ0) e −(^π₂ − α + θ₀), rispettivamente per −~aC e ~g. Di

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conseguenza, utilizzando a_C e µ_D trovati in precedenza, si ha:























g⁰_x= ~g⁰· ˆe_x = −a_Ccos θ₀+ g cos (π/2 − α + θ₀)

= g(− sin α cos θ0+ µDcos α cos θ0+ sin (α − θ0))

= 0

g⁰_y = ~g⁰· ˆe_y = a_Csin θ₀− g sin (π/2α − θ₀)

= g(sin α sin θ0− µ_Dcos α sin θ0− cos (α − θ₀))

= −g_{cos θ}^{cos α}

0

(7)

Essendo α > θ₀risulta g⁰ < g, con g⁰=^qg⁰²_x+ g⁰²_y. Le piccole oscillazioni saranno, quindi, caratterizzate da una pulsazione ω con ω² = g⁰/l e da un periodo T = ^2π_ω.

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