Cuneo con massa su piano inclinato
∗Figure 1:
Un piano `e inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale. Su di esso `e posato un cuneo con angolo al vertice β, come in figura. Il cuneo ha massa M e su di esso `e posato un punto materiale di massa m. Si consideri il vincolo tra punto materiale e cuneo come bilatero. Inizialmente il cuneo ed il punto materiale sono fermi.
1. Supponendo che vi sia attrito fra cuneo e piano inclinato, ma non fra cuneo e punto materiale, per quale valore minimo µS il cuneo rimane fermo?
2. In assenza di attrito, ad α fissato trovare almeno un valore di β per cui il punto materiale si muova solamente in direzione verticale.
Soluzione 1
Scriviamo separatamente le forze che agiscono sul cuneo M e sul punto materiale m. Esse sono:
∗Esercizio dato al Compitino del 14/12/2016
• per il cuneo M : la forza peso, la forza di reazione ~N esercitata dal piano inclinato, la forza di attrito statico ~FA e la reazione ~S del punto m sul corpo M ;
• per il punto m: la forza peso e la reazione del cuneo M che `e uguale ed opposta ad ~S.
Quindi:
(
M ~A = M~g + ~N + ~S + ~FA
m~a = m~g − ~S (1)
Scomponiamo la prima equazione lungo un sistema di assi cartesiani parallelo e perpendicolare al piano, come indicato in figura1. Nel caso in cui il cuneo `e fermo e siamo al valore limite della forza di attrito statico:
M g sin α + S sin β − µSN = 0
N − M g cos α − S cos β = 0 (2)
Per trovare la reazione ~S si pu`o notare che m `e vincolata a muoversi lungo il cuneo, per cui la componente di ~a perpendicolare alla superficie del cuneo `e nulla:
S = mg cos(β − α) (3)
Si noti che quanto scritto vale solamente nel caso in cui il cuneo sia fermo;
se il cuneo scivola, il vettore ~a ha una componente non nulla anche lungo la direzione perpendicolare alla faccia del cuneo (nel sistema di riferimento assoluto).
Dalla seconda equazione del sistema (2) si ricava la reazione del piano inclinato:
N = M g cos α + mg cos(β − α) sin β
Sostituendo nella prima si ricava il valore limite del coefficiente di attrito statico:
µS = M g sin α + mg cos(β − α) sin β
M g cos α + mg cos(β − α) cos β (4) Soluzione 2
La accelerazione della massa m pu`o essere ricavata risolvendo esplici- tamente il sistema (1), che scriviamo nelle sue componenti lungo gli assi indicati in figura:
M g sin α + S sin β = M ¨X N − M g cos α − S cos β = 0 mg sin α − S sin β = m¨x
−mg cos α + S cos β = m¨y
(5)
1Nella figura del compito gli assi non erano indicati ed andavano identificati dallo studente.
Il sistema ha 4 equazioni e 5 incognite: x, y, X, N , S. La quinta relazione si ottiene imponendo il vincolo sul punto materiale, il quale non pu`o abbandonare la faccia del cuneo:
¨ y
X − ¨¨ x = − tan β (6)
Per risolvere moltiplichiamo la prima equazione del sistema per m, la terza per M e sottriamo per ricavare S:
S(M + m) sin β = M m( ¨X − ¨x) = −M m tan βy¨
S = − M m
(M + m) sin β tan βy¨
(7)
Sostituendo nella quarta equazione del sistema, si ricava ¨y:
¨
y = −g cos α
1 + M
(M + m) tan2β
(8)
Si noti che ¨y risulta essere sempre negativo (assumiamo α < π/2), mentre la reazione S `e positiva per β < π/2 mentre diventa negativa per β > π/2.
Questo significa che il cuneo sta “tirando” la massa m. Infatti il vincolo bilatero si pu`o immaginare come un binario lungo la faccia del cuneo sul quale la massa m scorre; il caso S < 0 indica che il corpo tenderebbe a staccarsi dal cuneo ma viene trattenuto dal vincolo.
Ci sono due casi limite che vanno discussi a parte, e cio`e β = 0 e β = π/2.
Il caso β = 0 non `e molto interessante: semplicemente il cuneo diventa un
“segmento”, cio`e un carrello, sul quale scorre senza attrito la massa m.
Tutto il sistema M + m scivola verso il basso con la stessa accelerazione a = g sin α.
Il caso β = π/2 `e pi`u interessante: dall’equazione (7) risulta S = 0, per cui la terza e la quarta equazione del sistema (5) diventano:
mg sin α = m¨x
−mg cos α = m¨y (9)
Da questo sistema si ricavano le due componenti della accelerazione del corpo m e risulta:
a =p
¨
x2+ ¨y2 = g
¨ x
¨
y = − tan α (10)
Cio`e la massa m sta cadendo in verticale! Questa `e una soluzione della seconda domanda del problema.
Per trovare altre eventuali soluzioni, ricaviamo ¨x nel caso generale molti- plicando la terza equazione del sistema (5) per cos β, la quarta per sin β e sommiamo, in modo da eliminare il contributo con S e poter scrivere ¨x in funzione di ¨y:
¨
x = gsin(α − β)
cos β − ¨y tan β = g
sin(α − β)
cos β + cos α tan β
1 + M
(M + m) tan2β
(11)
Per avere caduta verticale, le due componenti della accelerazione ~a che abbiamo trovato devono soddisfare la seguente relazione:
− tan α = x¨
¨ y = g
¨
y ·sin(α − β)
cos β − tan β (12)
Usando l’identit`a trigonometrica:
tan β − tan α = sin(β − α) cos β cos α si ricava che l’unica soluzione accettabile `e:
β = α (13)
Questa `e la seconda soluzione del problema: in questo caso la faccia del cuneo su cui scorre il corpo `e orizzontale e, non essendoci attrito, il corpo cade verticalmente.
E possibile, tuttavia, rispondere alla seconda domanda del problema´ molto pi`u rapidamente senza risolvere il sistema di equazioni. Infatti, par- tendo dalla equazione vettoriale scritta all’inizio per la massa m
m~a = m~g − ~S (14)
si pu`o immediatamente concludere che, essendo ~g verticale, l’accelerazione
~a sar`a verticale se e solo se ~S non avr`a componente orizzontale. Cio`e se:
S sin(β − α) = 0 (15)
Questa equazione ha due soluzioni. Una `e sin(β − α) = 0 che ha, come unica soluzione accettabile
β = α
Come gi`a discusso, questo soluzione corrisponde ad un piano orizzontale sul quale la massa m scivola senza attrito.
L’altra soluzione `e
S = 0
L’interpretazione fisica di questa soluzione `e che la massa m cade in verticale mentre il cuneo scivola sul piano inclinato in modo tale che la massa rimanga in contatto ma senza “spingere” o “tirare” il cuneo.
Per trovare il valore di β che rappresenta questa soluzione, `e necessario scrivere il sistema (5), risolverlo ponendo S = 0 e verificare che la condizione di vincolo:
tan β = − y¨ X − ¨¨ x
`e risolta solamente per
tan β → ∞ cio`e per
β = π 2
