Moto in presenza di attrito viscoso laminare
Si trovi la legge oraria del moto in caduta libera di una massa m in presenza di un fluido che esercita un attrito viscoso di tipo laminare, cio`e proporzionale ed opposto alla velocit`a del corpo.
Soluzione
La forza di attrito viscoso laminare si scrive come:
F = −β~~ v (1)
dove il coefficiente β dipende dalla forma del corpo e dalle caratteristiche di viscosit`a del fluido.
Sul corpo agiscono la forza di attrito e la forza peso. Se il corpo viene lasciato cadere, il moto avviene lungo l’asse verticale e si ha:
ma = mg − βv (2)
Essendo a = ˙v, l’equazione 2 pu`o essere riscritta come:
˙v(t) + β
mv(t) − g = 0 (3)
Questa `e una equazione differenziale del primo ordine che pu`o essere risolta dalla funzione:
v(t) = Ae−λt+ B (4)
Sostituendo 4 in eq.(3):
−Aλe−λt+ β
mAe−λt+ β
mB − g = 0 (5)
Affinch´e l’equazione (5) sia vera per ogni t, deve essere λ = β/m e B = (gm)/β. Quindi l’eq.(4) si riscrive come:
v(t) = Ae−mβt+mg β
Il valore della costante A si determina dalle condizioni iniziali. Se v(0) = 0 v(t) = mg
β (1 − e−mβt) (6)
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da cui, integrando e ponendo s(0) = 0, si ricava la legge oraria:
s(t) = mg
λβ(λt + e−mβt− 1) (7)
Dopo un tempo 1/λ il termine esponenziale diventa trascurabile ed il corpo si muove di moto rettilineo uniforme con velocit`a asintotica va = (mg)/β, valore ottenibile anche con considerazioni dimensionali.
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