ESEMPIO E1: MASSA E SMORZATORE VISCOSO

ESEMPIO E1: MASSA E SMORZATORE VISCOSO

Un carrello di massa M è rigidamente collegato ad uno smorzatore viscoso, realizzato tramite un pistone che si muove in un cilindro contenente del liquido caratterizzato dal coefficiente di viscosità h(t) = h, che produce l’effetto di una forza antagonista al moto e proporzionale alla velocità v(t) del carrello. Sul carrello stesso, inizialmente in quiete, agisce una forza esterna F_E(t) = F = cost. Si desidera determinare il modello del sistema e l’andamento temporale della velocità v(t) del carrello.

Lo smorzatore viscoso, con coefficiente di viscosità h, realizza una forza Fh opposta al moto del carrello e di valore proporzionale alla velocità del carrello stesso, come indicato dalla relazione:

) ( )

( )

( t F h v t h v t

v h

F r

_h

r r

_h

r r

⋅

=

⋅

−

⇒ =

⋅

−

=

Il coefficiente di viscosità “h”, esprimendo la forza in Newton e la velocità in m/s, ha le seguenti dimensioni:

m s N s m

N v

h F

^h

⋅

=

=

=

Il carrello, sottoposto alla forza complessiva FT si muove lungo la guida con accelerazione a(t) che è univocamente determinata dalle leggi della dinamica; in particolare si ricorda che:

) ) (

) (

( M v t

dt t M dv t a M

F r

_T

r &

=

=

=

Il modello dinamico del sistema nel dominio del tempo continuo è espresso dal secondo principio della dinamica:

∑

_j

F

j

= 0

r

F t v dt h

t v M d F

F F

F

_{T h}

j j

r r r r

r r r

+

⋅

−

⇒ = +

⇒ =

∑ = ^{0 ( ) ( )}

, ovvero:

M F t M v

h dt

t v

d r r r

) 1 ) (

( = − ⋅ +

È interessante osservare che il rapporto (M/h) ha le dimensioni di un tempo ed è conosciuto come costante di tempo; si ha, infatti:

1 2 2

sec

2

/

=

−

⋅

⋅ ⋅

 =





 

 ⋅

 

 



 ⋅

 =



 



 



 



 ⋅

= s

s N

m m

s N m

s N m

s N m

N m

s N M

h

, da cui si ottiene:

s s M h h

M = = 1

₋₁

= )

/ (

1

⇒

h

= M

τ

⇒

τ

= costante di tempo

Lo stato x(t) del sistema dinamico è rappresentato dalla velocità v(t) del carrello di massa M alla quale, infatti, resta associato l’accumulo di energia cinetica W_C = ½ Mv².

Coefficiente di smorzamento

Forza esterna F Massa M

Velocità Massa M

v M h

F

L’uscita y(t) è rappresentata dalla velocità del carrello di massa M; pertanto, si ha:

y ( t ) = v ^r ( t )

, ovvero l’uscita coincide con lo stato del sistema.

Sono, dunque, evidenti le posizioni seguenti:

) ( ) ( )

( ) ( )

( t v t u t F y t x t

x = = =

Il sistema dinamico in oggetto è rappresentato dalle relazioni:

0 )

( )

( )

( ) (

) 1 (

) ( )

( = = =

=

⋅ +

⋅

−

=

=t O O

t

x t x

t x t

x t y

t M u t M x t h

x

O

&

⇒

0 D 1

C M

B 1 M A h

=

=

=

−

=

L’equazione di stato ottenuta è una equazione differenziale ordinaria non omogenea del tipo:

) ( ) (

· )

( t a x t f t

x & = +

in cui deve intendersi:

a = − ( h M ) f ( t ) = [ u ( t ) M ] = F M

mentre il problema di Cauchy è rappresentato dalla condizione iniziale:

x ( t

_O

) = x

_O

= 0

L’integrale dell’equazione omogenea associata è dato dalla seguente scrittura:

τ t O h

M t O M

t h O g

at O

g

t C e x t C e C e C e

x

O O

−

−

⋅

−

= =

⇒ =

= · ( ) · · ·

)

(

^{( ) ( )}

L’integrale particolare corrispondente al termine noto F/M è rappresentato dalla costante KP, cioè:

P

P

t K

x ( ) =

Sostituendo l’integrale particolare xP(t) nell’equazione differenziale ordinaria si ottiene:

h K F M

K F M

h

P

P

+ ⇒ =

−

= ·

0

L’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria non omogenea è, quindi, definito dalla seguente relazione:

h e F

C t x t

x t x t

x

_{g g P g O} ^{t M h}

O

+ ⇒ = +

= ( ) ( ) ( ) ·

^{− ( )}

) (

Si deve, ora, determinare il valore della costante CO idoneo a soddisfare il problema di Cauchy.

Ciò si ottiene imponendo che per t=t_O =0s sia xg(t_O)=x_O =0. Pertanto, si ottiene:

h C F

h C F h

e F C

x

_g

( 0 ) =

_O

·

⁰

+ ⇒ 0 =

_O

+ ⇒

_O

= −

L’evoluzione temporale dello stato x(t) = v(t) del sistema carrello-smorzatore viscoso è definita dalla relazione seguente:

h e F

h F h

e F C t

x ( ) =

_O

·

^{−t (M h)}

+ = − ·

^{−t (M h)}

+

⇒

( ) ·[ 1 e

^{t (M h)}

] h

t F

x = −

⁻

Si osservi che per t→→→→∞∞∞∞ si ottiene la condizione di regime espressa dalla velocità finale vfin che si ottiene dalla relazione:

fin h

M t t

t

h v e F

h t F

x

x ∞ = = ⋅ − ⁻ = =

∞

→

∞

→

] 1

[ )

( )

(

lim lim

^{( / )}

^⇒

^{vfin = F}_h

La quantità espressa dal rapporto F/h rappresenta una grandezza fisica che ha le dimensioni di una velocità; infatti, si verifica con immediatezza quanto riportato:

s m m

s N

N h

F = =

)

· (

OSSERVAZIONE: risulta di particolare interesse analizzare la situazione relativa all’evoluzione temporale della velocità del carrello nel caso in cui esso fosse dotato di velocità iniziale non nulla, ovvero:

t in O

t O

t

x t x v t v v

t x

O

=

⇒ =

=

=

=

=

( ) ( ) ( 0 )

)

(

₀

Tutto quanto in precedenza calcolato è ancora valido eccezione fatta per il calcolo della costante CO

dato che, ora, il soddisfacimento del problema di Cauchy avviene esplicitando la seguente scrittura:

h x F h C

C F h x

e F C

x

_g

( 0 ) =

_O

·

⁰

+ ⇒

_O

=

_O

+ ⇒

_O

=

_O

−

La nuova evoluzione temporale dello stato x(t)=v(t) del sistema carrello-smorzatore viscoso è, ora, definita dalla relazione:

h e F

h x F h e F

C t

x ( ) =

_O

·

^{−t (M h)}

+ = (

_O

− )·

^{−t (M h)}

+

, che può scriversi nella forma seguente:

] 1

·[

· )

(

_O ^{t (M h)}

e

^{t (M h)}

h

e F x t

x =

⁻

+ −

⁻

A cui corrisponde un’interessante lettura interpretativa della realtà fisica in esame, cioè l’evoluzione temporale dello stato x(t) del sistema è ottenuta come somma del contributo dovutoalla condizione iniziale NON nulla xO e del contributo dovuto all’azione impressiva esterna espressa alla forza F.

Pertanto, definite le seguenti posizioni:

)

·

(

)

(

_O ^{t M h}

L

t x e

x =

⁻ e _F

^{( ) ·} [ ^{1 e}

^{t (M h)}

]

h t F

x = −

⁻

Si evince che:

[

^{( )}

]

)

(

· 1

· )

( )

( )

(

_{L F O} ^{t M h}

e

^{t M h}

h e F

x t x t x t

x = + =

⁻

+ −

⁻

Tenendo in considerazione che x(t) = v(t) e che, pertanto, v_fin = F/h = xfin, una ulteriore interessante lettura dell’evoluzione temporale dello stato x(t) è quella che offre l’interpretazione che di seguito si evidenzia; infatti la relazione:

] 1

·[

· )

(

_O ^{t (M h)}

e

^{t (M h)}

h

e F x t

x =

⁻

+ −

⁻

esplicitando la costante di tempo ττττ=M/h e ponendo x_O =x_in, può riscriversi nella seguente forma:

) ( )

(

·

· )

(

_O ^{t M h}

x

_O

e

^{t M h}

h F h

e F h x F h t F

x

⁻



⁻



 



 −

−

 =



 



 −

+

=

, ovvero:

tτ in fin

fin

x x e

x t

x ( ) = − ( − )·

⁻

Nella figura a lato viene mostrato lo andamento temporale dello stato del sistema considerato nel caso in cui si considerino per i parametri i seguenti valori:

M = 4 N ; F = 1 N ; h = 0,5 N·s/cm ; x

O

= x

in

= 0,25 cm/s

Si determinano i seguenti valori di interesse:

τ ττ

τ = M/h = 4/0,5 = 8 s x

fin

= F/h = 1/0,5 = 2 cm/s

Sistema del primo ordine

ESEMPIO E2: RETE RC – RESISTENZA CAPACITÀ

Un condensatore di capacità C è collegato in parallelo a una resistenza R. L’arco doppio viene alimentato da un generatore stazionario ideale indipendente di corrente i_f(t)=I_S, ∀∀∀∀t≥≥≥≥t_O. Il condensatore, all’istante t_O =0s manifesta ai suoi capi una tensione v_C(t_O)=V_Cin. Si desidera determinare il modello del sistema, l’andamento temporale della tensione vC(t) ai morsetti del condensatore e la corrente i_R(t) circolante nella resistenza R.

La determinazione del modello nel dominio del tempo richiede l’analisi dei fenomeni fisici che si presentano nel funzionamento del sistema in esame. La legge di Ohm realizza la seguente relazione costitutiva:

R t v t

i

_R

( = )

_C

( )

con

R = cost

per ogni t ≥≥≥≥ 0.

I fenomeni di accumulo dell’energia si riferiscono al condensatore C la cui energia interna è W=½ CV_C². Pertanto, la variabile di stato è costituita dalla tensione vC(t) ai morsetti del condensatore, ovvero x(t) = v_C(t) e la cui relazione costitutiva è espressa dal seguente modello dinamico:

dt t C dv

t

i

_C ^C

( )

)

( = ⋅

, con la condizione iniziale: _{C O in}

t

C

t

t

v t V

v

O

=

=

= ( )

) (

La legge di Kirchhoff delle correnti applicata a uno dei due nodi di connessione dell’arco doppio consente di relazionare nella forma:

) ) (

( )

) ( ( ) ( )

( i t

R t v dt

t C dv t

i t i t

i

_C

+

_R

=

_F

⇒

^C

+

^C

=

_F ⇒

( ) ( ) 1 ( )

t C i CR

t v dt

t dv

F C

C

+ = ⋅

Ricordate le posizioni già evidenziate per ispezione diretta della rete, che per maggior chiarezza si ripropongono: x(t)=v_C(t), y(t)=i_R(t)=x(t)/R, e ancora u(t)=i_F(t), xO =V_in, il sistema dinamico in esame è rappresentato dalle relazioni:

O O O Cin

t

t

x t x V

t x t

R x t y

t C u t CR x t

x

=

=

=

⋅

=

⋅ +

⋅

−

=

=

( )

) ( )

1 ( ) (

) 1 ( ) 1 (

) (

&

⇒

0 R D

C 1

C B 1 CR A 1

=

=

=

−

=

Anche in questo caso, si deve osservare che la quantità CR ha le dimensioni di un tempo; infatti si verifica quanto segue:

s t CR I t

t I I Q I V V

CR Q ⋅ = ⇒ = =

=

=

⋅

= [ ] [ ]

Per quanto attiene la rete elettrica in oggetto, la costante di tempo ττττ resta, pertanto, definita dalla relazione ττττ=CR.

L’equazione di stato è quindi un’equazione differenziale ordinaria non omogenea a coefficienti costanti, che rappresenta un sistema lineare dinamico, strettamente proprio e tempo invariante;

l’equazione è pertanto del tipo:

) ( ) (

· )

( t a x t f t

x ^& = +

in cui deve intendersi:

a = − ( 1 CR ) f ( t ) = [ u ( t ) C ] = I

_S

C

mentre il problema di Cauchy è rappresentato dalla condizione iniziale:

x ( t

_O

) = x

_O

= V

_Cin

L’integrale dell’equazione omogenea associata è dato dalla seguente scrittura:

τ t O CR t O g

at O

g

t A e x t A e A e

x

O O

−

−

=

⇒ =

= · ( ) · ·

) (

La soluzione particolare relativa al termine noto costante IS/R è rappresentata dalla costante KP, ovvero si pone quanto segue:

P

P

t K

x ( ) =

Sostituendo la soluzione particolare xP(t) nell’equazione differenziale ordinaria si perviene alla definizione della costante KP; infatti, si ha:

C

iC(t)

R

i_R(t)

i_F(t) v_C(t)

S P

S P S

P

I K RI

R K C

K I

CR + ⇒ = ⇒ =

−

= 1 · 0

Il risultato è sorprendente; KP rappresenta l’equivalente generatore ideale di tensione ES =R·IS

che si ottiene dalla trasformazione della sorgente impressiva ideale di corrente IS; in sostanza la parte attiva dell’equivalente generatore di Thevenin della rete Resistenza Capacità in esame.

L’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria non omogenea è, quindi, definito dalla seguente relazione:

S RC

t O g

P g

g

t x t x t x t A e RI

x ( ) =

O

( ) + ( ) ⇒ ( ) = ·

^{− ( )}

+

Si deve, ora, determinare il valore della costante AO idoneo a soddisfare il problema di Cauchy.

Ciò si ottiene imponendo che per t=t_O =0s sia xg(t_O)=x_O =V_in. Pertanto, si ottiene:

S O

O S

O O S

O

g

A e RI x A RI A x RI

x ( 0 ) = ·

⁰

+ ⇒ = + ⇒ = −

L’evoluzionetemporaledellostatox(t)=v_C(t) delsistema resistenza-condensatore viene definita dalla relazione seguente:

S CR

t S O

S CR

t

O

e RI x RI e RI

A t

x ( ) = ·

^{− ( )}

+ = ( − )·

^{− ( )}

+

; ovvero, in forma equivalente:

] 1

·[

· )

( t x

_O

e

^tτ

RI

_S

e

^tτ

x =

⁻

+ −

⁻

a cui corrisponde un’interessante lettura interpretativa della realtà fisica in esame, cioè l’evoluzione temporale dello stato x(t) del sistema è ottenuta come somma del contributo dovutoalla condizione iniziale NON nulla xO e del contributo dovuto all’azione impressiva esterna relativa al generatore ideale di corrente IS. Pertanto, definite le seguenti posizioni:

)

·

(

)

(

_O ^{t CR}

L

t x e

x =

⁻ e

x

_F

( t ) = RI

_S

·[ 1 − e

^{−t (CR)}

]

Si evince che:

] 1

·[

· ) ( )

( )

( t x

_L

t x

_F

t x

_O

e

^tCR

RI

_S

e

^{t (CR)}

x = + =

⁻

+ −

⁻

Si osservi che per t→→→→∞∞∞∞ si ottiene la condizione di regime espressa dalla tensione finale VCfin che si determina con la relazione:

Cfin

S S

t S CR

t S O

t t

v RI RI

RI e

RI x

t x

x ∞ = = − ⋅ + = = =

∞

→

−

∞

→

∞

→

lim lim

lim

^{( ) [( ) ]}

)

( ^{( )}

In conclusione, l’evoluzione temporale dello stato x(t) del sistema in oggetto può essere espressa ricorrendo alla seguente relazione:

] 1

·[

· )

( t x

_O

e

^{t CR}

RI

_S

e

^{t (CR)}

x =

⁻

+ −

⁻

⇒

x ( t ) = x ( ∞ ) − [ x ( ∞ ) − x

_O

]· e

^−t(CR)

_{∀ ∀ ∀ ∀ t ≥ ≥ ≥ ≥ 0}

ovvero, con riferimento alla grandezza fisica tensione ai morsetti del condensatore:

)

)]·

(

0 ( )

( [ ) ( )

(

_{C C C} ^{t CR}

C

t v v v e

v = ∞ − ∞ −

⁻

⇒

v

_C

t v

_C

v

_C

v

_C

e

^tτ

in fin

fin

−

−

−

= ( )·

) (

La determinazione dell’evoluzione temporale della corrente iR(t) circolante nella resistenza R si effettua con riferimento alla trasformazione di uscita y(t); infatti, istante per istante, come già si è osservato per ispezione diretta, vale la relazione esprimente la legge di Ohm, ovvero:

R

e RI

e t x

y t

R x t R y

t t v

i

CR t S

CR t O C

R

] 1

·[

) · ( )

1 ( ) ) (

) ( (

) ( )

( −

−

+ −

⇒ =

⇒ =

=

Da cui si perviene alla seguente scrittura conclusiva

] 1

·[

· 1 · )

( x

_O

e

^t(CR)

I

_S

e

^t(CR)

t R

y =

⁻

+ −

⁻

_{∀ ∀ ∀ ∀ t ≥ ≥ ≥ ≥ 0}

In figura sono riportati gli andamenti dello stato x(t) e dell’uscita y(t) in relazione ai diversi valori

assunti dalla condizione iniziale x_O e mantenendo ad un valore costante gli altri tre parametri e precisamente: I_S =3A, C=0,5F e R=2ΩΩΩΩ. La costante di tempo vale: ττττ=(C·R)=(2·0,5) = 1s.

I valori delle condizioni iniziali utilizzate per le rappresentazioni grafiche di seguito riportate sono:

V x

V x

V

x

_O

3

_O

2

_O

10

3 2

1

= − ; = ; =