Risposta Domanda2 Risposta Domanda1 D1D2E1E2E3E4E5Σ AnalisiMatematica(1)9CFUDuratadellaprova:2ore18.6.14

(1)

Firma:... Analisi Matematica (1) 9 CFU Durata della prova: 2 ore 18.6.14

Cognome . . . Nome . . . A.A. . . . Matricola . . . Corso di Laurea . . . .

Domanda 1

^{[4 punti]}

(i) Enunciare il teorema sulla regolarit`a delle successioni monotone.

(ii) Fare un esempio di una successione decrescente (aⁿ)_n∈N tale che lim

n→+∞an= 999.

D1 D2 E1 E2 E3 E4 E5 Risposta Σ

(i)

(ii)

Domanda 2

^{[4 punti]}

(i) Dare la definizione del polinomio di Taylor Tn(x) di ordine n di una funzione f : (a, b) → R.

(ii) Dire se esiste una funzione f tale che il grado di T4(x) `e uguale a 3. Giustificare la risposta.

Risposta (i)

(ii)

(2)

Esercizio 1

^{[4 punti]}

Studiare la convergenza della serie ^+∞P

n=1

sin√n· 1 − cos(¹n) .

Risoluzione

Esercizio 2

^{[5 punti]}

Calcolare, se esiste, il limite

x→1limx^{x2 −1}¹ Risoluzione

(3)

Esercizio 3

^{[3 punti]}

Calcolare la derivata direzionale D^vf(1,¹₂) per la funzione f(x, y) = e^y^x e il versore v = ¹₂,^√₂³.

Risoluzione

Esercizio 4

^{[5 punti]}

Disegnare il dominio D = {(x, y) : 1 ≤ x²+ y²≤ 4, x ≤ y} e calcolare l’integrale doppio Z Z

D

x²· y

px²+ y² dx dy.

Risoluzione

(4)

Esercizio 5

^{[7 punti]}

Trovare il dominio, eventuali simmetrie, zeri, punti di discontinuit`a, intervalli di monotonia e punti di estremo locale della funzione f(x) = x²· ln |x| e tracciarne un grafico approssimativo.

Risoluzione