Risposta Domanda2 Risposta Domanda1 D1D2E1E2E3E4E5Σ AnalisiMatematica(1)9CFUDuratadellaprova:2ore7.7.14

(1)

Firma:... Analisi Matematica (1) 9 CFU Durata della prova: 2 ore 7.7.14

Cognome . . . Nome . . . A.A. . . . Matricola. . . Corso di Laurea . . . .

Domanda 1

^{[4 punti]}

(i) Dare la definizione di lim

x→+∞f(x) = l ∈ R.

(ii) Dare un esempio di funzione f (x) tale che lim

x→+∞f(x) = −5.

D1 D2 E1 E2 E3 E4 E5 Risposta Σ

(i)

(ii)

Domanda 2

^{[4 punti]}

(i) Dare la definizione di derivata prima in x₀ per f : R → R.

(ii) Disegnare il grafico di una funzione con derivata nulla in x = 2 che non `e derivabile in x = 4.

Risposta (i)

(ii)

(2)

Esercizio 1

^{[5 punti]}

Calcolare, se esiste, il limite

x→0lim

x³− xsin(x²) 2x⁷ Risoluzione

Esercizio 2

^{[4 punti]}

Calcolare l’integrale definito

Z _π/4

0

3x sin(2x)dx.

Risoluzione

(3)

Esercizio 3

^{[5 punti]}

Trovare il piano tangente in (2, 3) alla funzione f (x, y) = 10 + xy +p3 + x²+ y². Risoluzione

Esercizio 4

^{[5 punti]}

Disegnare l’insieme D =(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x ≤ 2, ¹_x ≤ y ≤1 . Calcolare l’integrale RR

D

2x²ydxdy.

Risoluzione

(4)

Esercizio 5

^{[5 punti]}

Studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità in (x₀, y₀) = (0, 0) della funzione

f(x, y) =

(_y⁴_sin(x⁴₎

x⁸+y⁸ + 6x se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Risoluzione