FEqE () =−  MPE =× 

tendera’ ad orientarsi nella direzione del campo esterno

se il campo elettrico non fosse uniforme:

( ) ( E

E

E

)

F E E q E a a a

x y z

+

∂ ∂ ∂

+ ∆ + + +

∂ ∂ ∂

  

   

 ( )

F E  

= − qE 

un dipolo elettrico posto in un campo elettrico esterno

a

-q

+q

E

Dipolo elettrico posto in un campo elettrico esterno uniforme

il momento torcente puo’ essere espresso come:

M  = × P E  

uniforme

x y z

E E E

F F F P P P

x y z

− +

∂ ∂ ∂

= + = + +

∂ ∂ ∂

  

  

il dipolo elettrico sara’ attratto nella direzione in cui il campo e’ crescente

dove a_x a_y e a_z sono le proiezioni del vettore a lungo gli assi cartesiani

M dL I dt α

= =

  

M  = × p E  

p E  × =  I α 

p ϑ

E

Un dipolo di momento p e’ immerso in un campo elettrico E uniforme.

ad un asse passante per il centro e perpendicolare a p

dalla figura

p E  × = −  ( pEsen ϑ ) k ˆ

Descrivere il moto del dipolo quando viene ruotato di un piccolo angolo dalla posizione di equilibrio

dove I e’ il momento d’inerzia del dipolo elettrico rispetto

p

E

per la seconda equazione cardinale della dinamica

che e’ l’equazione di un moto armonico semplice con pulsazione

pE

ω = I 2

2 I

T pE

π π

= ω =

2

2

0

d pE

dt I

ϑ + ϑ =

nell’ipotesi di piccoli angoli

2 2

I d pE

dt

ϑ  − ϑ

2 2

I d pEsen dt

ϑ = − ϑ

quindi

l’energia potenziale elettrica di un dipolo elettrico in presenza di un campo elettrico esterno e’

U = qV ⁺ − qV ⁻

a -q

+q

E

( , , ) V

V

V

V x y z a a a

x y z

∂ ∂ ∂

+ + +

∂ ∂ ∂



(

,

,

)

V

= V x + a y + a z + a 

x

V V V

U qa qa qa

x y z

∂ ∂ ∂

+ +

∂ ∂ ∂



( , , ) V

= V x y z

dove a_x a_y e a_z sono le proiezioni del vettore a lungo gli assi cartesiani

se il dipolo e’ posto nel campo elettrico generato da un altro dipolo

la configurazione cui compete il minimo di energia potenziale elettrica,

e quindi la configurazione in cui si avra’

equilibrio stabile,

e’ quella in cui i due dipoli si disporranno

dipolo

U = − ⋅ P E  

e dato che

E  = − gradV

antiparallelamente

2) l’angolo per cui si ha equilibrio stabile

3 0

2 cos 4 ˆ

r r

P u

r

ε ϑ

= πε



3 0

sin ˆ 4

P u

ϑ

r

ε ϑ

= πε



ε ^

ε ^

ϑ

P 

il campo lontano dal dipolo e’ dato da:

Due dipoli elettrici di momento P₁ e P₂ sono disposti a distanza fissa d tra loro e sono liberi di ruotare intorno al loro centro.

P 

P 

ϕ

d 1) l’energia potenziale di

P₂ nel campo elettrico generato da P₁

Se le dimensioni dei dipoli sono piccole rispetto alla distanza calcolare

La direzione di P₂ forma un angolo ϕ con la congiungente i dipoli.

r

0

ε  =

3 0

4 ˆ

P u

ϑ

d

ε ^{ =} πε

per θ _{= 90} ^o

uˆ_ϑ

ϑ ε ^

ε ^

P 

ˆ_r u

1

3

4

P

ϑ

d

ε ^{= −} πε

 

per 270^o

r

0

ε  =

3 0

4 ˆ

P u

ϑ

d

ε ^{ = −} πε

da notare come in entrambi i casi si abbia

uˆ_ϑ

ε ^

ˆ_r u

ϑ =90^

P 

uˆ_ϑ

ε ^

ˆ_r

1 u

P 

ϑ =270^

1

3

4

P

ϑ

d

ε ^{= −} πε

 

1 3

4

P

ϑ

d

ε ^{= −} πε

 

ϕ

P 1

E 

P  2

P  1

l’energia potenziale di un dipolo posto in un campo elettrico esterno e’

U = − ⋅ P E  

2 1

U = − ⋅ P E  

1 2 3 0

4 sin U P P

d ϕ

= πε

in questo caso

per cui

l’angolo tra P₂ e il campo elettrico di P₁ e’ di π/2 + ϕ _e

cos (π/2 + ϕ_{) = − sen} ϕ

1 2 3

4 P P

sin

U d ϕ

= πε

si deduce che la posizione di equilibrio stabile corrispondente al minimo della energia

potenziale si ha per

2

ϕ = − π

ossia quando i dipoli sono antiparalleli dalla

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