Modelli dei Mercati Finanziari Esame 06/07/2017 Esercizio Matematico Si consideri la funzione di due variabili f (x, y) = x

Modelli dei Mercati Finanziari Esame 06/07/2017

Esercizio Matematico Si consideri la funzione di due variabili

f (x, y) = x²− y.

1. Si rappresentino nel piano R² i seguenti insiemi:

C₀= {(x, y) ∈ R²: f (x, y) = 0}, C+= {(x, y) ∈ R²: f (x, y) > 0}, C₋= {(x, y) ∈ R²: f (x, y) < 0}, G = {(x, y) ∈ R²: x²+ (y + 1)²= 1}.

2. Si determini il minimo di f sul vincolo G.

(Suggerimento: i calcoli possono essere evitati facendo uso del punto perce- dente. In particolare si analizzi il segno di f sul vincolo G.)

Nome, Cognome e Matricola:

Svolgimento.

Soluzione 1. .

2. Dalle figure del punto 1, si deduce che f (x, y) ≥ 0 per ogni (x, y) ∈ G e che f (x, y) = 0 per (x, y) ∈ G se e solo se (x, y) = (0, 0). Ne consegue che il punto (0, 0) `e l’unico punto di minimo (stretto) per il problema di ottimizzazione vincolata in esame e che il valore minimo corrispondente `e f (0, 0) = 0.