Modelli dei Mercati Finanziari Esame 06/06/2017

(1)

Esercizio Matematico

Si consideri la funzione di due variabili f (x, y) = x

y +1 x− y.

1. Si determini l’insieme di definizione della funzione f e lo si rappresenti grafi- camente

2. Si stabilisca se l’insieme di definizione `e:

(a) Limitato/illimitato.

(b) Convesso/non convesso.

(c) Aperto/chiuso/n´e aperto n´e chiuso.

3. Si determinino i punti critici di f , cio´e i punti in cui il gradiente si annulla.

4. Si calcoli la matrice Hessiana di f .

5. Attraverso l’analisi della matrice Hessiana nei punti critici, se ne stabilisca, se possibile, la loro natura (punto di massimo locale, di minimo locale o di sella).

(2)

Soluzione

1. L’insieme di definizione `e

S = {(x, y) ∈ R²: x 6= 0 ∧ y 6= 0}.

2. S `e aperto, illimitato, non convesso.

3. Si ha

∇f (x, y) = 1 y − 1

x², −x y² − 1

, da cui si deduce che l’unico punto critico `e (x^∗, y^∗) = (−1, 1).

4. Si ha

Hf (x, y) =

2

x³ −_y¹2

−_y¹₂ ^2x_y₃

.

5. Si ha

Hf (−1, 1) =

−2 −1

−1 −2

,

che `e definita negativa. Se ne deduce che (x^∗, y^∗) = (−1, 1) `e un punto di massimo locale (stretto).