Oscillazioni di un manubrio ??

5.45. OSCILLAZIONI DI UN MANUBRIO??

PROBLEMA 5.45

Oscillazioni di un manubrio ??

Agli estremi di un’asta di lunghezza`e massa trascurabile sono fissate due masse m<sub>1</sub> e m<sub>2</sub> (vedere Figura 5.36). L’asta è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un perno posto su essa, a distanza|<sup>x</sup>| ≤ ` dalla massa m1. Determinare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile in funzione di x. È possibile interpretare le soluzioni ottenute per|^x| > `^?

m2

ℓ− x

x m1

Figura 5.36.: Il manubrio considerato nel problema, libero di ruotare attorno al perno indicato dal piccolo cerchio scuro.

Soluzione

Usando come coordinata l’inclinazione θ del manubrio rispetto alla verticale possiamo scrivere l’energia del sistema come

E= ¹ 2

m₁x²+m₂(`−<sup>x</sup>)<sup>2</sup> ˙θ<sup>2</sup>+ [m<sub>1</sub>gx−<sup>m</sup>2g(`−^x)]cos θ .

La posizione di equilibrio stabile corrisponde al minimo del potenziale, cioè θ =0 se m₁x−^m2(`−^x) <0

θ= π se m₁x−^m2(`−^x) >0

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ossia a seconda se il perno sia sopra o sotto il centro di massa del sistema. Trattiamo il primo caso, il secondo è completamente analogo. Per piccoli valori di θ possiamo approssimare

cos θ'¹− ^θ2 2 da cui

E= ¹ 2

m₁x²+m2(`−^x)^2 ˙θ²+ ¹

2[m2g(`−^x)−^m1gx]θ²+costante . Questa è l’energia di un oscillatore armonico di frequenza

f = ¹ 2π

s

m₂g(`−<sup>x</sup>)−<sup>m</sup>1gx m<sub>1</sub>x<sup>2</sup>+m<sub>2</sub>(`−^x)^{2 .}

Per|^x| > ` possiamo pensare ad una estensione della sbarra esterna alle due masse, sulla quale è posto il perno. Per x=−L con L molto grande abbiamo ad esempio

f ∼ ¹ 2π

rg L

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