A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare

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A.A. 2014/2015

Corso di Algebra Lineare

Stampato integrale delle lezioni

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 01. Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza. . . 8 Lezione 02. Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodotto

scalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. . . 12 Lezione 03. Rette nel piano: equazione cartesiana vs equazione parametrica. Significato

dei coefficienti nei vari tipi di rappresentazione. . . 16 Lezione 04. Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessuna

soluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss. . . 21 Lezione 05. Matrici a scala e pivot. Interpretazione dei risultati dell’algoritmo di Gauss.

Esempi di applicazione. Variante alla Jordan dell’algoritmo di Gauss. . . 25 Lezione 06. Geometria analitica nello spazio. Equazione parametrica della retta nello

spazio. Mutua posizione di due rette nello spazio. . . 29 Lezione 07. Piani nello spazio: equazione cartesiana e parametrica. Significato geo-

metrico dei coefficienti nell’equazione cartesiana. Passaggio dalla parametrica alla cartesiana. . . 34 Lezione 08. Intersezione di due rette nel piano (date in varia forma) e nello spazio,

intersezione di due piani nello spazio, intersezione di una retta ed un piano nello spazio. . . 39 Lezione 09. Matrici e operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero, prodotto

tra matrici. Trasposta di una matrice. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di matrici. . . 43 Lezione 10. Esercizi di geometria analitica nello spazio: area di un triangolo, volume

di un tetraedro, piede dell’altezza di un triangolo. Sistemi lineari n*n. . . 48 Lezione 11. Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vettoriale.

Esempi classici di campo e spazio vettoriale. Primi esempi di sottospazi vettoriali. 52 Lezione 12. Definizioni: combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vettori

linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione. Basi canoniche e dimensione degli spazi vettoriali classici. Esempio di spazio di dimensione infinita. . . . 56

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4 Corso di Algebra Lineare – A.A. 2014/2015 Lezione 13. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Esempi di basi e calcolo

di componenti. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di combinazioni lineari di colonne. . . 61 Lezione 14. Teorema di esistenza della base. Tutte le basi hanno lo stesso numero

di elementi. Come ottenere basi per eliminazione da un sistema di generatori o aggiungendo elementi ad un insieme di vettori linearmente indipendenti. . . 66 Lezione 15. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. . . 71 Lezione 16. Presentazione cartesiana e parametrica di un sottospazio vettoriale. Esempi

di sottospazi vettoriali descritti in vario modo e relative basi e dimensione. . . 76 Lezione 17. Applicazioni lineari. Teorema di struttura. Matrice associata ad un’appli-

cazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo. . . 81 Lezione 18. Esempi di costruzione della matrice associata ad un’applicazione lineare.

Costruzione di una matrice di cambio di base. . . 86 Lezione 19. Ker e immagine di un’applicazione lineare. Teorema rank-nullity (relazione

tra le dimensioni di ker, immagine e spazio di partenza). Conseguenze in termini di iniettivit`a e surgettivit`a. . . 91 Lezione 20. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine. Struttura

dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo (soluzione qualunque pi`u soluzione generica dell’omogeneo). . . 95 Lezione 21. Matrice inversa: quando esiste e come si calcola con l’algoritmo alla Gauss-

Jordan. Giustificazione dell’algoritmo. Uso delle matrici inverse nei cambi di base. 99 Lezione 22. Dimostrazione del ”teorema di sostituzione” (punto di partenza per i

teoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Esercizi sulla matrice associata ad un’applicazione lineare. . . 103 Lezione 23. Propriet`a della matrice trasposta ed inversa. Esercizi misti su sottospazi

vettoriali e cambi di base. . . 108 Lezione 24. Introduzione ai determinanti: obiettivi, definizione assiomatica, prime

propriet`a (alternanza e annullamento nel caso di vettori linearmente dipendenti). Enunciato del teorema di esistenza ed unicit`a. Caso 2*2 con interpretazione geometrica. . . 112 Lezione 25. Determinante nel caso 3*3: regola di Sarrus e interpretazione geometrica.

Determinante e algoritmo di Gauss. Determinante di matrici diagonali e triangolari superiori. Unicit`a del determinante via algoritmo di Gauss. . . 117 Lezione 26. Sottomatrici e minori. Sviluppi di Laplace (ricorsivi) per colonne e per

righe. Enunciato dell’esistenza del determinante via sviluppi per colonne. Dimo- strazione che gli sviluppi per righe coincidono con quelli per colonne. Determinante della matrice trasposta. . . 122

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Stampato integrale delle lezioni 5 Lezione 27. Descrizione dello sviluppo di Leibnitz (con le permutazioni) del determi-

nante. Teorema di Binet (enunciato e parte della dimostrazione). Regola di Cramer per i sistemi lineari. . . 127 Lezione 28. Dimostrazione del teorema di Binet e della formula di Cramer. Formula

per la matrice inversa con i determinanti. Formula per i vettori perpendicolari e sua interpretazione con i determinanti. Formule per il volume del tetraedro. . . 130 Lezione 29. Rango di una matrice. Dimostrazione completa dell’equivalenza tra R-

rango, C-rango, D-rango. Rango ed algoritmo di Gauss. Pivot e rango delle matrici a scala. . . 136 Lezione 30. Rango e sistemi lineari: teorema di Rouch´e-Capelli. Esempi di utilizzo del

rango nella risoluzione di esercizi. . . 141 Lezione 31. Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto a tali

basi. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. . . 145 Lezione 32. Ortogonale di un sottospazio e sue propriet`a. Esempi di calcolo di basi

ortogonali e di ortogonali di sottospazi. . . 150 Lezione 33. Matrici ortogonali e loro propriet`a. Proiezione ortogonale su un sottospazio.155 Lezione 34. Struttura delle matrici ortogonali 2*2. Esercizi su matrici ortogonali, basi

ortogonali e ortonormali, applicazioni lineari e matrici di cambio di base. . . 160 Lezione 35. Forma canonica di un’applicazione lineare potendo scegliere basi a piacere

in partenza ed arrivo (dipende solo dal rango). . . 165 Lezione 36. Introduzione motivazionale alle forme canoniche per applicazioni da uno

spazio in s´e (stessa base in partenza ed arrivo): matrici simili, autovalori, autovettori, autospazio, esempio di diagonalizzazione 2*2. . . 170 Lezione 37. Prime propriet`a delle matrici simili. Polinomio caratteristico ed autovalori.

Molteplicit`a algebrica e geometrica. Disuguaglianza tra le molteplicit`a. . . 175 Lezione 38. Richiami su coefficienti di un polinomio vs somma e prodotto delle radi-

ci. Coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice. Autovalori relativi ad autovettori distinti sono linearmente indipendenti. . . 180 Lezione 39. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilit`a sui reali o sui

complessi. Condizione solo necessaria. Descrizione dei blocchi di Jordan e della forma canonica di Jordan sui reali e sui complessi. . . 185 Lezione 40. Applicazioni lineari simmetriche vs matrici simmetriche. Enunciato del

teorema spettrale in termini di applicazioni ed in termini di matrici. Autovettori relativi ad autovalori distinti (di applicazioni simmetriche) sono ortogonali. . . 189 Lezione 41. Dimostrazione del teorema spettrale (via esistenza di almeno un autova-

lore reale ed invarianza dell’ortogonale di un sottospazio invariante). Riassunto su diagonalizzazione/Jordanizzazione. . . 193

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Lezione 42. Esempi ed esercizi sulle forme canoniche. . . 198 Lezione 43. Introduzione alle forme quadratiche: definizione, matrice associata, forme

(semi)definite positive/negative, segnatura come terna di numeri. . . 202 Lezione 44. Descrizione dei metodi per trovare la segnatura di una forma quadratica:

segno degli autovalori, completamento dei quadrati, minori orlati di Sylvester (in vario ordine), Cartesio. . . 206 Lezione 45. Ricerca di sottospazi di dimensione opportuna su cui una forma quadratica

`

e definita positiva/negativa (via completamento dei quadrati). Dimostrazione del legame tra segnatura e segno degli autovalori della matrice associata. . . 211 Lezione 46. Dimostrazione dell’esistenza di un polinomio che annulla una matrice.

Polinomio minimo di una matrice. Enunciato del teorema di Hamilton-Cayley.

Propriet`a del polinomio minimo e suoi legami con i blocchi di Jordan. . . 216 Lezione 47. Forma di Jordan reale vs forma di Jordan complessa: come ottenere la

prima dalla seconda e come ottenere la matrice di cambio di base che porta nella prima da quella che porta nella seconda. . . 220 Lezione 48. Definizione astratta di prodotto scalare. Matrice associata ad un prodotto

scalare. Forma quadratica associata ad un prodotto scalare. Come varia la matrice associata ad un prodotto scalare quando si cambia base: matrici congruenti. . . . 225 Lezione 49. Algoritmo di Gram-Schmidt per un prodotto scalare qualunque definito

positivo. Teorema di Sylvester (Sylvester’s law of inertia). Esempio di passaggio alla forma alla Sylvester per un prodotto scalare non definito positivo. . . 230 Lezione 50. Esempio di funzioni ortogonali rispetto ad un prodotto scalare definito

tramite integrale. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalare generale e relativo teorema spettrale. Esempio di calcolo dell’ortogonale di un sottospazio. 235 Lezione 51. Introduzione alla geometria affine. Equazioni parametriche e cartesiane di

sottospazi affini. Trasformazioni affini e loro composizioni. Traslazioni e omotetie, rispetto all’origine e rispetto ad un punto generico. . . 240 Lezione 52. Teorema di struttura delle isometrie nello spazio n-dimensionale. Rotazioni

nel piano. Interpretazione dei blocchi di Jordan reali come composizione di una rotazione ed un’omotetia. . . 245 Lezione 53. Classificazione delle isometrie del piano sulla base del luogo dei punti fissi.

Esempi di calcolo dell’immagine e della controimmagine di punti e rette rispetto ad un’isometria del piano. . . 250 Lezione 54. Esercizi sulle isometrie del piano. . . 255 Lezione 55. Introduzione alle isometrie dello spazio. Classificazione delle matrici 3*3

ortogonali. Simmetria rispetto ad un piano passante per l’origine. . . 259

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Stampato integrale delle lezioni 7 Lezione 56. Matrici ortogonali che rappresentano (nello spazio) la simmetria rispetto

ad un piano o la rotazione rispetto ad una retta (entrambi passanti per l’origine). 263 Lezione 57. Matrici che rappresentano una rotazione rispetto ad una retta seguita

dalla simmetria rispetto al piano ortogonale alla retta stessa. Classificazione delle isometrie dello spazio sulla base del luogo dei punti fissi. . . 267 Lezione 58. Esercizi sulle isometrie dello spazio. Rette sghembe nello spazio: come

trovare la distanza, i punti di minima distanza, ed un piano che contiene la prima e non interseca la seconda. . . 272 Lezione 59. Semplici esempi di studio di ellissi ed iperboli nel piano (non in forma

canonica). Esponenziali e funzioni trascendenti di matrici. . . 277 Lezione 60. Cambi di basi ed algoritmo jpeg (o mp3). . . 282

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