A.A. 2013/2014 Corso di Algebra Lineare

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A.A. 2013/2014

Corso di Algebra Lineare

Stampato integrale delle lezioni

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 001. Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza. . . 7 Lezione 002. Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodotto

scalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot). . . 10 Lezione 003. Equazioni vettoriali (parametriche) di segmenti e rette. Significato dei

coefficienti di una retta in termini di prodotto scalare. . . 14 Lezione 004. Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessuna

soluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss. Primi esempi di applicazione. . . 18 Lezione 005. Introduzione alle matrici. Vettori riga e vettori colonna. Operazioni tra

matrici: somma, prodotto per un numero, prodotto tra matrici. Trasposta di una matrice. . . 22 Lezione 006. Sistemi lineari (parte seconda): pivot della matrice ridotta a scala ed

interpretazione dei risultati dell’algoritmo di Gauss. . . 26 Lezione 007. Esempi ed esercizi su sistemi lineari e rette nel piano. . . 30 Lezione 008. Ulteriori precisazioni sull’equazione della retta nel piano. Spazi eucli-

dei: vettori n-dimensionali, prodotto scalare, norma, distanza. Introduzione alla geometria nello spazio: rette e piani. . . 34 Lezione 009. Geometria analitica nello spazio: come stabilire se 3 punti sono allineati,

scrivere l’equazione del piano passante per 3 punti dati, passare dall’equazione parametrica di un piano a quella cartesiana. . . 37 Lezione 010. Geometria analitica nello spazio: trovare un vettore ortogonale a 2 vettori

dati, posizione relativa di 2 piani, posizione relativa di un piano ed una retta. . . . 41 Lezione 011. Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vetto-

riale. Primi esempi. . . 45 Lezione 012. Combinazioni lineari, vettori linearmente indipendenti, sistemi di genera-

tori, basi. Ulteriori esempi di spazi e sottospazi vettoriali. . . 49 Lezione 013. Esempi di basi per spazi vettoriali. Componenti di un vettore rispetto ad

una base. Interpretazione dei sistemi lineari come combinazioni lineari dei vettori colonna della matrice associata. . . 53

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4 Corso di Algebra Lineare – A.A. 2013/2014 Lezione 014. Definizione di Span. Teoremi sulle basi negli spazi vettoriali (esistenza

e come ottenerle da insiemi di vettori dati che siano linearmente indipendenti o generatori). Dimensione di uno spazio vettoriale. . . 57 Lezione 015. Significato geometrico delle componenti di un vettore rispetto ad una

base. Esercizi su basi, generatori, span, dimensione. . . 61 Lezione 016. Applicazioni lineari. Teorema di struttura: una applicazione lineare `e

univocamente determinata dai valori che assume in una base. . . 65 Lezione 017. Matrice associata ad una applicazione lineare dopo aver scelto basi in

partenza ed arrivo. . . 69 Lezione 018. Esempio di costruzione della matrice associata ad una applicazione lineare

con scelte diverse delle basi in partenza ed arrivo. . . 74 Lezione 019. Ker e immagine di una applicazione lineare. Relazione tra le dimensioni

e conseguenze. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di Ker e immagine. . . 78 Lezione 020. Matrici di cambio di base. Calcolo dell’inversa di una matrice mediante

l’algoritmo di Gauss. . . 82 Lezione 021. Struttura generale dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare,

omogeneo e non omogeneo. . . 86 Lezione 022. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. . 90 Lezione 023. Dimostrazione del ”teorema di sostituzione” (punto di partenza per i

teoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Enunciato delle propriet`a del prodotto di matrici. . . 95 Lezione 024. Introduzione ai determinanti: obiettivi, indice degli argomenti, propriet`a

basic, esistenza ed unicit`a nel caso 2*2, interpretazione geometrica del caso 2*2. . 99 Lezione 025. Prime propriet`a dei determinanti: alternanza, annullamento nel caso di

vettori linearmente dipendenti, comportamento rispetto alle operazioni dell’algoritmo di Gauss. Discussione del caso 3*3: formula di Sarrus, esistenza ed unicit`a, interpretazione geometrica. . . 103 Lezione 026. Determinanti di matrici diagonali e triangolari, unicit`a per ogni n via

algoritmo di Gauss, sviluppi di Laplace (sviluppi ricorsivi) per colonne e per righe, determinante della matrice trasposta. . . 107 Lezione 027. Enunciato del teorema di esistenza del determinante con n generico via

sviluppi per colonne. Dimostrazione che gli sviluppi per righe danno il determinante.

Accenno agli sviluppi di Leibnitz (con le permutazioni). . . 111 Lezione 028. Applicazioni dei determinanti: formula per la matrice inversa, formula di

Cramer per i sistemi lineari, formula per i vettori perpendicolari. . . 115

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Stampato integrale delle lezioni 5 Lezione 029. Rango di una matrice. Rapporti tra R-rango, C-rango, D-rango. Rango

e algoritmo di Gauss. R-rango = C-rango per matrici a scala. . . 119 Lezione 030. Una matrice quadrata con righe linearmente indipendenti ha determinante

non nullo. D-rango = C-rango = R-rango. Rango e sistemi lineari: teorema di Rouch´e-Capelli. . . 123 Lezione 031. Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto ad una

base ortogonale o ortonormale. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.127 Lezione 032. Ortogonale di un sottospazio. Esempi di calcolo di basi ortonormali. . . 131 Lezione 033. Matrici ortogonali: propriet`a e legami con le basi ortonormali. . . 135 Lezione 034. Esercizi sui sottospazi vettoriali: passaggio dalla rappresentazione carte-

siana (mediante equazioni) a quella parametrica (come span) e viceversa. . . 139 Lezione 035. Ricerca di una base per l’intersezione di due sottospazi vettoriali. Esercizi

sulle applicazioni lineari in cui si sfruttano cambi di base. . . 143 Lezione 036. Esercizi misti su somme dirette di sottospazi, applicazioni lineari, cambi

di base. . . 147 Lezione 037. Introduzione generale alle forme canoniche. Matrici simili. Forma ca-

nonica potendo scegliere la base in partenza ed arrivo. Algoritmo di Gauss come cambio di base in arrivo. . . 151 Lezione 038. Autovalori, autovettori, autospazi. Esempio 2*2 di ricerca di autovalori

ed autovettori, e successiva diagonalizzazione. . . 155 Lezione 039. Autovalori come radici del polinomio caratteristico. Definizione di mol-

teplicit`a algebrica e geometrica. Diagonalizzazione quando tutti gli autovalori sono distinti. . . 158 Lezione 040. Legami tra polinomio caratteristico, autovalori, traccia, determinante, e

loro invarianza per similitudine. . . 162 Lezione 041. Legami tra molteplicit`a algebrica, molteplicit`a geometrica, diagonalizza-

zione. Esempio di diagonalizzazione sui reali vs diagonalizzazione sui complessi. . 166 Lezione 042. Matrici simmetriche e interpretazione in termini di prodotto scalare.

Enunciato del teorema spettrale e primi passi della dimostrazione. . . 170 Lezione 043. Seconda parte della dimostrazione del teorema spettrale. Enunciato dei

teoremi di triangolarizzazione. Quadro generale per la diagonalizzazione sui reali e sui complessi. . . 174 Lezione 044. Forma canonica di Jordan, sui complessi e sui reali. . . 178 Lezione 045. Introduzione alla geometria affine. Sottospazi affini e loro giacitura.

Trasformazioni affini. Esempi speciali di trasformazioni affini. . . 182

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6 Corso di Algebra Lineare – A.A. 2013/2014 Lezione 046. Teorema di struttura delle isometrie in dimensione n (sono affinit`a con

matrice ortogonale). Struttura delle matrici ortogonali in dimensione 2. . . 186 Lezione 047. Esempi ed esercizi sulle isometrie nel piano. . . 190 Lezione 048. Vari modi di scrivere la simmetria rispetto ad una retta del piano.

Autovalori di simmetrie e rotazioni nel piano. . . 194 Lezione 049. Enunciato della classificazione delle isometrie nel piano e nello spazio

sulla base del luogo dei punti fissi. Esempi di simmetria e rotazione nello spazio. . 198 Lezione 050. Introduzione alle forme quadratiche. Matrice associata e sua segnatura.

Come stabilire la segnatura mediante gli autovalori o il completamento dei quadrati. 202 Lezione 051. Ulteriori esempi di completamento dei quadrati. Metodo di Sylvester

(minori orlati) e di Cartesio (coefficienti del polinomio caratteristico) per stabilire la segnatura di una forma quadratica. . . 206 Lezione 052. Relazioni tra traccia, determinante e segnatura per forme quadratiche in

due variabili. Esempio esplicito di diagonalizzazione di una forma quadratica e sua interpretazione geometrica. . . 210 Lezione 053. Definizione generale di prodotto scalare. Matrice associata ad un prodotto

scalare in una data base. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt e basi ortonormali rispetto ad un prodotto scalare definito positivo. Esempio di prodotto scalare definito mediante integrali in uno spazio di polinomi. . . 214 Lezione 054. Cambiamento della matrice associata ad un prodotto scalare a seguito

di un cambio di base. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalare qualunque, loro matrici associate e relativo teorema spettrale. . . 218 Lezione 055. Polinomio minimo di una matrice. Teorema di Hamilton-Cayley. Rela-

zioni tra polinomio minimo, polinomio caratteristico, diagonalizzabilit`a, dimensioni dei blocchi di Jordan. . . 222 Lezione 056. Esercizi misti di geometria nello spazio: proiezione di un punto su un

piano, simmetrico di un punto rispetto ad un piano, distanza di un punto da un piano, mutua posizione di due rette. . . 226 Lezione 057. Esercizi di geometria analitica nello spazio: distanza tra rette sghembe,

relazioni tra aree di triangoli e prodotto vettore. . . 230 Lezione 058. Rapporti tra forma canonica complessa e forma canonica reale, e relative

matrici di cambio di base. Spazi vettoriali complessi come spazi vettoriali reali. . . 234 Lezione 059. Cose strane: esponenziali e funzioni trascendenti di matrici, cambi di

base e compressione jpg. . . 238

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