CORSO S.I.S.S.I.S.
________ANNO ACCADEMICO 1999-2000________
LABORATORIO DI GEOMETRIA
LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE:
LE ISOMETRIE PIANE
Danilo C. Di Gesu
Carmela Falcone
Anna Maria Rivilli
Aurelia Sansiveri
Unita' Segmenti Attività
Concetti generali ……… ………
Isometrie • Traslazione
• Rotazione
• Simmetria assiale e centrale
• Glissosimmetria
• Esercizi (*)
• Costruzioni con riga e compasso degli esercizi proposti (*)
• Esercitazione con il software Cabri
Similitudini ……… ………
Affinità ……… ………
(*) Saranno proposti esercizi che abbiano lo scopo di verificare la comprensione degli argomenti. Si proporranno dei grafici e si dovrà individuare il tipo di isometria presente; il controllo avverrà anche tramite l'utilizzo di riga e compasso.
PREREQUISITI DELL'UNITA'
• Concetto di invarianti nella trasformazione geometrica piana;
• figure simmetriche;
• operazione con i vettori.
OBIETTIVI DELL'UNITA' CONOSCENZE
Definire e classificare le isometrie.
COMPETENZE
• Descrivere le procedure per la costruzione delle isometrie;
• costruire le isometrie;
• verificare le proprietà delle isometrie;
• rappresentare le operazioni per la costruzione delle isometrie;
• confrontare i vari tipi di isometrie;
• individuare gli invarianti delle isometrie.
VALUTAZIONE
Conoscenze Competenze
Scarso Mancanza di conoscenze. Non sa operare.
Mediocre Conoscenza frammentaria e/o superficiale.
Sa operare solo se guidato.
Sufficiente Conoscenza dei contenuti specifici. Sa operare autonomamente.
Buono Conoscenza dei contenuti specifici in modo organico e consapevole.
Sa operare in modo critico ed utilizzare le varie tecniche.
Ottimo Conoscenza dei contenuti specifici in modo approfondito e personale.
Sa seguire strategie alternative e personalizzate.
TEMPI: 6 ore.
PREMESSA
Uno dei punti - chiave della geometria è quello di dare una veste teorica al confronto tra figure che hanno alcune proprietà geometriche comuni, sebbene occupino posizioni diverse nel piano o nello spazio.
Dal punto di vista didattico, la trattazione delle trasformazioni geometriche provoca degli interrogativi, come:
• Quali tipi di trasformazioni è opportuno presentare, ed in quali corsi scolastici?
• Quale percorso didattico è preferibile: dalle strutture più complesse a quelle più semplici, o viceversa?
• Perché si dovrebbe privilegiare l'insegnamento della geometria fondato sulle trasformazioni geometriche, superare le difficoltà didattiche che l'argomento presenta?
Se il docente decide di introdurre le trasformazioni geometriche nella propria classe del biennio della scuola media superiore, può avere in mente un preciso progetto didattico, per esempio quello di utilizzarle per una trattazione assiomatica della geometria, oppure quello di un approccio che evita le definizioni formali e le dimostrazioni, privilegiando invece l'intuizione visiva e l'interpretazione fisica, in modo che sia l'evidenza sperimentale a suggerire agli allievi congetture plausibili sulle proprietà geometriche.
Queste scelte conducono a limitarsi alle isometrie e similitudini del piano (poiché il controllo visivo non sarebbe altrettanto immediato, per esempio, con le affinità), ad ignorare la rappresentazione analitica e a ricorrere ai moderni prodotti informatici che agevolano il disegno geometrico e la sua animazione (come il software didattico CABRI).
LE ISOMETRIE PIANE. Impostazione didattica.
Riteniamo che l'attività di laboratorio condotta utilizzando il software CABRI consente l'analisi di problemi di insegnamento-apprendimento delle isometrie piane; in particolare è possibile analizzare comportamenti, risposte e produzioni degli allievi sulle seguenti basi:
• se visualizzare attraverso il computer gli effetti su varie figure delle diverse trasformazioni isometriche favorisca la formazione di appropriate immagini mentali e possa prevenire negli allievi le difficoltà più comuni, favorendo una corretta concettualizzazione;
• se ridurre le osservazioni su ciò che muta e ciò che si conserva su tante classi di figure (poligoni, circonferenze, spezzate, …), in posizione diverse e non speciali, porti gli allievi a cogliere il concetto di invariante ed a vedere una figura mutata in sé in una data trasformazione come privilegiata rispetto ad altre;
• se, e fino a che punto, è possibile superare il concetto di trasformazione come azione su una figura per passare a quello di trasformazione come corrispondenza tra tutti i punti del piano.
Queste ipotesi sono state indotte dalla considerazione che in un progetto didattico di tipo statico, basato soltanto sulle immagini dei libri di testo, secondo noi, si può affermare la tendenza degli allievi a vedere le trasformazioni come azione su poligoni, od ancora meglio sul loro contorno (con cui gli allievi li identificano). Pertanto, può sfuggire l'idea dell'estensione di una trasformazione a figure non limitate (rette, strisce o altre parti di piano) ed alla contemporanea azione sulla totalità dei punti del piano. D'altra parte, utilizzare il computer per dare una visione dinamica della trasformazione, od anche privilegiando inizialmente l'aspetto di movimento fisico, consente agli allievi di cogliere e rielaborare quanto più autonomamente gli aspetti che caratterizzano ogni tipo di isometria ed il concetto di proprietà invariante; in dettaglio, è possibile visualizzare e favorire la concettualizzazione di punti uniti e di figure unite.
Il filo conduttore nella progettazione e nello sviluppo di un probabile itinerario didattico sulla isometria diretta può essere il collegamento tra traslazione e rotazione per analogia tra spostamento lungo una retta e lungo una circonferenza; tale analogia può essere rafforzata anche evidenziando, mediante visualizzazione, il collegamento tra invarianti per traslazione (quali famiglie di rette parallele al vettore traslazione) ed invarianti per rotazione (quali famiglie di circonferenze concentriche al centro di rotazione).
Un'altra scelta didattica in questo itinerario può essere quella di svincolare le attività proposte dall'aspetto metrico e dal riferimento cartesiano: si privilegia il foglio bianco e le costruzioni con riga e compasso, anche per riflettere sulla costruzione di figure con questi attrezzi o con il computer e per preparare all'analogia illustrata in precedenza.
L'itinerario didattico per ciascuna delle principali isometrie (traslazione, rotazione, simmetria assiale e centrale, glissosimmetria) può essere così schematizzato:
• attività di visualizzazione al computer;
• raccolta delle osservazioni e delle congetture degli allievi;
• utilizzo di schede esplicative mirante alla costruzione dei concetti ed alla evidenziazione dei conflitti tra immagini mentali e concetti geometrici; tali schede devono essere elaborate tenendo conto dei nodi didattici e delle difficoltà di apprendimento, previsti con un'analisi preventiva;
• discussioni in classe con gli allievi sui risultati del loro lavoro, per superare errori e difficoltà mediante la condivisione delle conoscenze;
• infine, utilizzo di schede per la verifica delle attività di visualizzazione, discussione e riflessione svolta in classe.
IL CALCOLATORE NEL PERCORSO DIDATTICO
Si è detto che il computer può essere utilizzato lungo tutto il cammino didattico relativo alle isometrie, dalla scuola elementare a quella media superiore.
Con il computer è facile costruire dei micromondi geometrici in cui si possono studiare una o più trasformazioni isolandole, quando occorre, dal contesto generale: si può, ad esempio, costruire un ambiente in cui esiste la sola traslazione, oppure la sola rotazione.
In questo modo si evidenziano le proprietà della trasformazione considerata; ogni micromondo può essere modificato ed esteso per arrivare ad un quadro più ampio: partendo da una singola isometria, possiamo aggiungere una seconda trasformazione e proseguire fino ad ottenere un quadro di insieme, costituito da tutte le isometrie.
Il calcolatore può essere utilizzato come lavagna elettronica, in cui il docente illustra alcune proprietà con materiale precedentemente preparato, oppure può essere gestito dall'allievo, che introduce direttamente o, ad un livello più avanzato, scrive le " istruzioni" del programma (come le macrocostruzioni del CABRI).
Per quanto riguarda la partecipazione dell'allievo all'utilizzo del software, si possono rilevare due aspetti: uno è quello che, al crescere della fascia scolare, è opportuno che cresca l'uso diretto del software, e diminuisca quello della lavagna elettronica. L'altro, meno immediato, è quello di determinare il momento in cui può cominciare l'uso del software da parte degli allievi, sia come immissione di dati, sia come scrittura di programmi: questo momento varia in funzione del livello scolastico e del tipo di programma utilizzati.
I software didattici possono avere una impostazione sintetica dell'ambiente in cui avviene lo studio delle trasformazioni, cioè indipendente dall'utilizzo delle coordinate, oppure una impostazione analitica, nella quale le operazioni di input e i passaggi intermedi sono studiati facendo riferimento alle coordinate.
Un esempio di software di impostazione prettamente sintetica è il programma Cabri- gèomètre , le cui caratteristiche fondamentali sono la possibilità di deformare dinamicamente le figure ed un'interfaccia utente semplice e intuitiva, poiché le operazioni di base sono realizzabili mediante il solo spostamento del mouse.
Inoltre, una volta realizzata una figura, il procedimento costruttivo può essere salvato in una macrocostruzione, e dunque si può introdurre una nuova costruzione tra le voci del menu
Costruzione, che può essere richiamata e utilizzata come le altre costruzioni di base.
La possibilità di definire delle "macro" rende il Cabri molto versatile e permette di costruire delle librerie personalizzate con le operazioni più usate.
L'impostazione sintetica, coerente con l'impostazione dell'insegnamento della geometria nelle fasi iniziali, e la facilità d'uso fanno del Cabri-gèomètre uno strumento estremamente valido nel biennio della scuola superiore.
LE ISOMETRIE CON CABRI-GEOMETRE. Attività di laboratorio
Il punto di vista teorico in cui ci poniamo è quello più comunemente seguito dai libri di testo per il biennio della scuola superiore: le trasformazioni non sono introdotte assiomaticamente, ma sono presentate nell'ambito di una esposizione più tradizionale della geometria euclidea; sono presentate indipendentemente l'una dall'altra, senza rilevare come una certa trasformazione possa essere definita a partire da quelle già note, e facendo riferimento a nozioni pregresse.
Schematicamente, il cammino seguito è il seguente (in corsivo sono state evidenziate le isometrie nel momento in cui sono presentate:
• Definizioni di base ed assiomi
• Criteri di uguaglianza dei triangoli
• Mediane, altezze e bisettrici
• Parallelismo e criteri di parallelismo
• Relazioni angolari di triangoli e poligoni
• Simmetria assiale e simmetria centrale
• Parallelogrammi, parallelogrammi particolari
• Traslazione
• Circonferenze, cerchi e proprietà degli angoli al centro, alla circonferenza e delle tangenti
•• Rotazione.
Questo sviluppo di nozioni teoriche ha uno sviluppo parallelo in Cabri con l'introduzione di alcune costruzioni, che sono giustificate da queste nozioni, e che possono essere salvate come macro da utilizzare nel micromondo che dobbiamo costruire.
TRASLAZIONE
PREPARAZIONE DELL’AMBIENTE DI LAVORO
Prerequisiti: utilizzo in ambiente Cabri delle operazioni di punto, retta, retta parallela, vettore e distanza.
ESERCITAZIONE: individuare il traslato di un poligono dato secondo un vettore.
Soluzione : Disegna un poligono ABCDE usando il comando poligono. Disegna un vettore PQ usando il comando vettore. Individua il poligono A'B'C'D'E' traslato in direzione, verso e lunghezza uguale a quello del vettore assegnato. Verifica che il poligono A'B'C'D'E' è effettivamente il traslato del poligono dato. Variando il vettore PQ si nota che ……….
Verifica: Considerato il vertice A del poligono di partenza e la sua immagine A' del poligono traslato, si verifica che il segmento AA' è parallelo al vettore PQ e di uguale lunghezza, usando il comando parallelo…? ed il comando distanza e lunghezza.
Utilizzando il comando animazione è stato fatto ruotare il vettore intorno al suo baricentro, osservando le corrispondenti variazioni nell'orientazione della trasformazione utilizzata.
[Traslazione]
ROTAZIONE
PREPARAZIONE DELL’AMBIENTE DI LAVORO
Prerequisiti: utilizzo in ambiente Cabri delle operazioni di punto, retta, segmento, circonferenza, angolo e distanza.
ESERCITAZIONE: individuare il ruotato di un triangolo dato secondo un angolo.
Soluzione : Disegna un triangolo ABC usando il comando triangolo. Disegna una circonferenza di centro L usando il comando circonferenza, traccia l'angolo al centro KLM.
Individua il triangolo ruotato A'B'C' utilizzando la macro rotazione. Verifica che il triangolo A'B'C' è effettivamente il ruotato del triangolo dato. Variando l'angolo KLM si nota che ……….
Verifica: Considerato l'ampiezza dell'angolo AOA', è stato verificato che essa risulta uguale a quella dell'angolo KLM; inoltre, è stato verificato che, nella trasformazione eseguita, i lati e gli angoli interni del triangolo sono rimasti uguali a sé stessi, evidenziandone le misure mediante gli appositi comandi. Inoltre, utilizzando il comando animazione, è stato possibile controllare che, al variare dell'ampiezza dell'angolo a centro KLM, non varia l'orientazione del triangolo trasformato. In particolare, quando l'angolo KLM vale 0°, si ottiene l'identità, mentre quando l'angolo vale 180° si ottiene un'antisimmetria.
[Rotazione]
SIMMETRIA ASSIALE
PREPARAZIONE DELL’AMBIENTE DI LAVORO
Prerequisiti: utilizzo in ambiente Cabri delle operazioni di punto, retta, retta perpendicolare, circonferenza, intersezione, appartenenza e distanza.
Obiettivo: costruzione della macro simmetria assiale (file simmetria_assiale_2).
Svolgimento:
• disegnare una retta;
• disegnare un punto in uno dei due semipiani;
• disegnare la retta passante per il punto e perpendicolare alla retta data;
• disegnare la circonferenza di centro nell’intersezione tra le due rette e raggio uguale alla distanza tra la retta ed il punto;
• individuare il punto intersezione (simmetrico) tra la retta perpendicolare a quella data e la circonferenza nel semipiano opposto a quello del punto dato;
• definire la retta ed il punto dati come oggetti iniziali;
• definire il punto finale come oggetti finali;
• definire la macro.
ESERCITAZIONE: individuare il simmetrico di un punto dato rispetto ad una retta.
Disegna una retta r. Scegli un punto P in uno dei due semipiani individuati dalla retta.
Utilizzando la macro simmetria assiale precedentemente costruita, individua il simmetrico P’ del punto dato rispetto alla retta r. Verifica che il punto P’ è effettivamente il simmetrico di P. Variando la posizione del punto P si nota che ……….
Soluzione : Disegnare la retta passante per P e perpendicolare alla retta r. Controllare l’appartenenza del punto P’ alla retta costruita tramite il comando Appartiene a…?.
Controllare che la distanza OP sia uguale ad OP’ tramite il comando distanza e lunghezza. Variando la posizione del punto P si nota che P' varia, ma la distanza OP rimane uguale ad OP’ (file simmetria_assiale).
[Simmetria assiale]
SIMMETRIA CENTRALE
PREPARAZIONE DELL’AMBIENTE DI LAVORO
Prerequisiti: utilizzo in ambiente Cabri delle operazioni di punto, retta, circonferenza, intersezione, appartenenza e distanza.
Obiettivo: costruzione della simmetria centrale (file simmetria_centrale_2).
Svolgimento:
• disegnare un punto (centro);
• disegnare un punto qualsiasi;
• disegnare la retta passante per il centro ed il punto;
• disegnare la circonferenza di centro nel primo punto e passante per l' altro;
• individuare il punto intersezione (simmetrico) tra la retta e la circonferenza;
• definire il centro ed il punto dati come oggetti iniziali;
• definire il punto finale come oggetti finali;
• definire la macro.
ESERCITAZIONE: individuare il simmetrico di un punto dato rispetto ad un centro.
Traccia un centro O. Scegli un punto P qualsiasi. Utilizzando la macro simmetria centrale precedentemente costruita, individua il simmetrico P’ del punto dato rispetto al centro O. Verifica che il punto P’ è effettivamente il simmetrico di P. Variando la posizione del punto P si nota che………..
Soluzione : Disegnare la retta passante per O e per P. Controllare l’appartenenza del punto P’ alla retta costruita tramite il comando Appartiene a…?. Controllare che la distanza OP sia uguale ad OP’ tramite il comando distanza e lunghezza. Variando la posizione del punto P si nota che P' varia, ma la distanza OP rimane uguale ad OP’ (file simmetria_centrale).
[Simmetria centrale]
GLISSOSIMMETRIA
PREPARAZIONE DELL’AMBIENTE DI LAVORO
Prerequisiti: utilizzo in ambiente Cabri delle operazioni di punto, retta, retta parallela, retta perpendicolare, circonferenza, intersezione, vettore, appartenenza e distanza.
Obiettivo: costruzione della macro glissosimmetria (file glissosimmetria_2).
Svolgimento:
• disegnare una retta (asse);
• disegnare un vettore parallelo all'asse in uno dei due semipiani;
• disegnare un punto P;
• utilizzando la macro simmetria assiale 2, individuare il punto simmetrico P';
• utilizzando il comando traslazione, individuare il punto P'' (traslato di P' rispetto al vettore dato);
• definire l'asse, il punto P ed il vettore dati come oggetti iniziali;
• definire il punto finale P'' come oggetti finali;
• definire la macro.
ESERCITAZIONE: individuare il punto trasformato rispetto ad una glissosimmetria.
Disegna una retta r. Individua un vettore parallelo alla retta. Prendi un punto P in uno dei due semipiani individuati dalla retta. Utilizzando la macro glissosimmetria precedentemente costruita, individua il trasformato P'' del punto dato. Verifica che il punto P'' è effettivamente il trasformato di P rispetto alla glissosimmetria. Variando la lunghezza del vettore si nota che ……….
Soluzione : Individuare il simmetrico del punto P rispetto alla retta r. Traslare il punto P' rispetto al vettore dato, ottenendo il punto P''. Controllare che la distanza P'P'' sia uguale alla lunghezza del vettore tramite il comando distanza e lunghezza. Variando la lunghezza del vettore si nota che il segmento P’P”
varia restando uguale al vettore (file glissosimmetria).
[Glissosimmetria]
