(a) Si mostri che {X ≥ k

I Appello di Processi Stocastici 2010/11 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

4 luglio 2011 Matricola:

Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) è definita una variabile aleatoria reale X con legge assolutamente continua, con densità _x¹₂1_[1,∞)(x). Introduciamo il processo Z = {Z_k}_k∈N0 ponendo

Z₀ := 1 , Z_k:= k 1_{X≥k}. Introduciamo la filtrazione {G_k}_k∈N0 ponendo G₀ := {∅, Ω} e

G_k:= σ(A1, . . . , Ak) , dove A<sub>`</sub>:= {` − 1 ≤ X < `} .

(a) Si mostri che {X ≥ k} ∈ G_k, per ogni k ∈ N. Si noti che {A1, . . . , A_k, {X ≥ k}} è una partizione di Ω (gli eventi sono a due a due disgiunti e la loro unione è Ω) e si mostri che

E(1_{X≥k+1}|G_k) = 1_{X≥k}P(X ≥ k + 1|X ≥ k) , ∀k ∈ N . (1) [Sugg. Se {B1, . . . , Bm} è una partizione di Ω e G := σ(B1, . . . , Bm), le variabili G-misurabili . . . ] (b) Si mostri che Z è una martingala.

(c) Si mostri che lim_k→∞Zk(ω) = 0 per q.o. ω ∈ Ω.

(d) Si mostri che la martingala Z = {Z_k}_k∈N0 è limitata in L¹ma non è uniformemente integrabile.

Essa è limitata in L^p per qualche p ∈ (1, ∞)?

(e) Si mostri che la famiglia di variabili aleatorie {√

Z_k}_k∈N0 è uniformemente integrabile. Si deduca che lim_k→∞E(√

Zk) = 0.

Soluzione 1. (a) Dato che X > 0, possiamo scrivere {X < k} =

k

[

`=1

{` − 1 ≤ X < `} =

k

[

`=1

A_`,

da cui {X ≥ k} = {X < k}^c=Tk

`=1A<sup>c</sup><sub>`</sub> ∈ G_k.

Dato che il membro destro di (1) è una costante per 1_{X≥k}, esso è chiaramente una variabile aleatoria G_k-misurabile, quindi per dimostrare la relazione (1) è sufficiente mostrare che si ha

E(1_{X≥k+1}Y ) = E(1_{X≥k}P (X ≥ k + 1|X ≥ k) Y ) , (2) per ogni variabile aleatoria reale Y che sia G_k-misurabile e limitata. Dato che {X ≥ k} ∈ G_k, possiamo scrivere G_k = σ(A₁, . . . , A_k, {X ≥ k}), e essendo {A₁, . . . , A_k, {X ≥ k}} una partizione di Ω segue che ogni variabile aleatoria reale G-misurabile è della forma

Y =

k

X

`=1

c_{`</sub>1A<sub>`}+ a1_{X≥k}, con c_`, a ∈ R. Il membro sinistro in (2) vale dunque

E(1{X≥k+1}Y ) =

k

X

`=1

c`E(1{X≥k+1}1A`) + a E(1{X≥k+1}1{X≥k}) = a P(X ≥ k + 1) ,

2

perché A<sub>`</sub>∩ {X ≥ k + 1} = ∅ per ` ≤ k e {X ≥ k + 1} ⊆ {X ≥ k}. Analogamente, notando che anche A<sub>`</sub>∩ {X ≥ k} = ∅ per ` ≤ k, il membro sinistro in (2) vale

P (X ≥ k + 1|X ≥ k) E(1_{X≥k}Y ) = P (X ≥ k + 1|X ≥ k) a E(1_{X≥k}1_{X≥k})

= P (X ≥ k + 1|X ≥ k) a P(X ≥ k) = a P(X ≥ k + 1) , dunque la relazione (2) è verificata.

(b) Dato che {X ≥ k} ∈ G_k, segue che Z_k è G_k-misurabile per ogni k ∈ N0. Inoltre |Z_k| ≤ k, quindi Z_k∈ L¹. Infine, grazie alla relazione (1),

E(Z_k+1|G_k) = (k + 1) E(1_{X≥k+1}|G_k) = (k + 1) 1_{X≥k} P(X ≥ k + 1|X ≥ k) . (3) Dato che per t ≥ 1 si ha P(X ≥ t) =R∞

t 1

x²dx = ¹_t, segue che P(X ≥ k + 1|X ≥ k) = P(X ≥ k + 1)

P(X ≥ k) = k k + 1. Dalla relazione (3) si ottiene dunque E(Z_k+1|G_k) = Z_k q.c..

(c) Per q.o. ω ∈ Ω si ha X(ω) < ∞ e chiaramente Z_k(ω) = k1_{X(ω)≥k} = 0 per ogni k > X(ω);

in particolare, lim_k→∞Z_k(ω) = 0.

(d) La martingala Z è positiva e dunque limitata in L¹ (E(|Z_k|) = E(Z_k) = E(Z₀) = 1) ma non è uniformemente integrabile: in caso contrario, dato che Z_k → 0 q.c., si avrebbe che Z_k → 0 in L¹ e dunque E(Z_k) → 0, mentre E(Z_k) = E(Z₀) = 1 per ogni k ∈ N0 per la proprietà di martingala. Infine, Z non è limitata in L^p per nessun p ∈ (1, ∞), perché in caso contrario sarebbe uniformemente integrabile (ogni famiglia di variabili aleatorie limitata in L^p è uniformemente integrabile, per un risultato visto a lezione).

(e) La famiglia di variabili aleatorie {√

Z_k}_k∈N0è chiaramente limitata in L², perché E((√

Z_k)²) = E(|Zk|) = E(Z_k) = E(Z0) = 1 per ogni k ∈ N0, di conseguenza è uniformemente integrabile.

Sappiamo che Z_k → 0 q.c., dunque anche√

Z_k→ 0 q.c.; per l’integrabilità uniforme si ha allora√

Zk→ 0 in L¹, da cui segue in particolare che E(√

Zk) → 0.

3

Esercizio 2. Su uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P) è definito un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞). Sia τ un tempo d’arresto tale che E(√

τ ) < ∞.

L’obiettivo di questo esercizio è di mostrare che E(B_τ) = 0.

(a) Usando la formula di Ito, si dimostri che il processo M = {M_t := B_t²− t}_t∈[0,∞) è una martingala. Si deduca che E((B_{τ ∧a})²) = E(τ ∧ a) per ogni a ∈ [0, ∞).

(b) Si dimostri che, per ogni t, a ≥ 0, vale l’inclusione di eventi (

sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}| > t )

∩ {τ ≤ a} ⊆ (

sup

s∈[0,a]

|B_{τ ∧s}| > t )

Si deduca che per ogni t, a ≥ 0

P sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}| > t

!

≤ P(τ > a) + P sup

s∈[0,a]

|B_{τ ∧s}| > t

!

. (4)

[Sugg.: Ω = {τ > a} ∪ {τ ≤ a}]

(c) Si osservi che il processo {(B_{τ ∧s})²}_s∈[0,∞) è una submartingala continua. Si mostri, usando un’opportuna disuguaglianza, che per ogni t, a ∈ [0, ∞)

P sup

s∈[0,a]

(Bτ ∧s)² > t²

!

≤ E(τ ∧ a) t² . Si deduca che, per ogni t ∈ [0, ∞),

P sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}| > t

!

≤ P(τ > t²) + E τ t² ∧ 1



. (5)

(d) Si mostri che, per ogni T ∈ [0, ∞), Z ∞

0

1_{{T >t}2}dt =

√ T ,

Z ∞ 0

 T t² ∧ 1

 dt = 2

√ T . Ricordando la formula E(X) =R∞

0 P(X > t) dt, valida per ogni variabile aleatoria positiva X, si deduca che

E sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}|

!

≤ 3 E(√

τ ) . (6)

(e) Si mostri che lim_s→+∞B_{τ ∧s} = B_τ q.c. e si giustifichi la relazione E(Bτ) = lim

s→+∞E(Bτ ∧s) .

Si spieghi perché E(B_{τ ∧s}) = 0 per ogni s ∈ [0, ∞). Si concluda che E(B_τ) = 0.

Soluzione 2. (a) La funzione (t, x) 7→ Φ(t, x) := x²− t è di classe C², quindi per la formula di Ito M_t:= Φ(t, Bt) è un processo di Ito, con differenziale stocastico dato da

dM_t= ∂Φ

∂t(t, B_t) dt + ∂Φ

∂x(t, B_t) dB_t+1 2

∂²Φ

∂x²(t, B_t) dt = −dt + 2B_tdB_t+1

22 dt = 2B_tdB_t. Questo mostra che M è una martingala locale. Il processo integrando 2B_tè in M² e non solo in M²_loc, perché E(RT

0 (2B_t)²dt) = 4RT

0 t dt = 2T² < ∞ per ogni T > 0, dunque M è una vera martingala (di quadrato integrabile). Applicando il teorema d’arresto relativo al tempo d’arresto limitato τ ∧ a, si ha dunque E(M_{τ ∧a}) = E(M₀) = 0, ossia E(B_{τ ∧a}² ) = E(τ ∧ a).

4

(b) Se ω appartiene all’evento del membro sinistro, si ha che τ (ω) ≤ a e inoltre esiste s ∈ [0, ∞) tale che |B_{τ (ω)∧s}(ω)| > t. Dobbiamo mostrare che ω appartiene all’evento del membro destro, ossia che esiste u ∈ [0, a] tale che |B_{τ (ω)∧u}(ω)| > t. Nel caso in cui s ≤ a, basta prendere u = s; se invece s > a, si ha τ (ω) ∧ s = τ (ω) = τ (ω) ∧ a e dunque basta prendere u = a.

Scrivendo A = (A ∩ {τ > a}) ∪ (A ∩ {τ ≤ a}) per ogni evento A ∈ F e per ogni a ∈ [0, ∞), e notando che A ∩ {τ > a} ⊆ {τ > a}, dall’inclusione appena mostrata segue che

( sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}| > t )

= (

sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}| > t )

∩ {τ > a}

!

∪ (

sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}| > t )

∩ {τ ≤ a}

!

⊆ {τ > a} ∪ (

sup

s∈[0,a]

|B_{τ ∧s}| > t )

.

Usando la subadditività della probabilità, si ottiene la tesi.

(c) Dato che il moto browniano è una martingala, anche il processo arrestato {B_{τ ∧s}}_s∈[0,∞) è una martingala, di conseguenza {(B_{τ ∧s})²}_s∈[0,∞) è una submartingala (continua), in quanto funzione convessa di una martingala. Per la disuguaglianza massimale, si ottiene

P sup

s∈[0,a]

(Bτ ∧s)²> t²

!

≤ E((Bτ ∧a)²)

t² = E(τ ∧ a) t² ,

dove l’uguaglianza è stata dimostrata in un punto precedente. Scegliendo a = t² e applicando la relazione (4), si ottiene allora la relazione (5), poiché

E(τ ∧ t²)

t² = E τ ∧ t² t²



= E τ t² ∧ 1

 . (d) Con semplici integrazioni si ottiene

Z ∞ 0

1_{{T >t}²_}dt = Z

√T

0

1 dt =

√ T ,

Z ∞ 0

 T t² ∧ 1

 dt =

Z

√T

0

1 dt + Z ∞

√ T

T

t²dt = 2

√ T . Usando la formula richiamata per il calcolo del valore atteso e il teorema di Fubini, dalla relazione (5) si ottiene

E sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}|

!

= Z ∞

0

P sup

s∈[0,∞)

|B_{τ ∧s}| > t

! dt ≤

Z ∞ 0

P(τ > t²) dt + Z ∞

0

E τ t² ∧ 1

 dt

≤ E

Z ∞ 0

1{τ >t²}dt

 + E

Z ∞ 0

 τ t² ∧ 1

 dt



= 3 E(√ τ ) .

(e) Si ha τ (ω) ∧ s = τ (ω) per ogni s ≥ τ (ω), dunque lim_s→∞τ (ω) ∧ s = τ (ω) per ogni ω ∈ Ω.

Ponendo Y := sup_s∈[0,∞)|B_{τ ∧s}|, la relazione (6) mostra che Y ∈ L¹. Dato che |B_{τ ∧s}| ≤ Y per ogni s ≥ 0, per convergenza dominata si ha che E(B_τ) = lims→∞E(Bτ ∧s).

Abbiamo già osservato che il processo {B_{τ ∧s}}_s∈[0,∞) è una martingala, quindi E(B_{τ ∧s}) = E(B₀) = 0. Si ha allora E(B_τ) = 0.