LA DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA
La distribuzione normale
DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA
Si supponga di eseguire, in condizioni assai simili e con lo stesso metodo analitico, un gran numero di misurazioni della emoglobina glicata, e di riportare in un grafico le frequenze relative dei valori ottenuti (x) con le prime 20, 40, ... 5120 misure.
LA FORMA DELLA DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA
All'aumentare del numero di misure, i valori
tendono ad accentrarsi attorno alla loro media e
l'istogramma assume una forma a campana
sempre più regolare, che può essere
approssimata con una funzione reale nota come
funzione di Gauss o funzione normale.
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15
75 80 85 9095100105
n=20
0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
75 80 85 90 95 100105
n=40
0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
75 80 85 90 95 100105
n=80
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15
75 8085 90 95100105
n=160
0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
75 80 85 90 95 100105
n=320
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15
75 80 85 90 95 100105
n=640
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15
75 80 85 9095100105
n=1280
0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
75 80 85 90 95100105
n=2560
0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
75 80 85 90 95 100105
n=5120
• La più importante distribuzione continua che trova numerose applicazioni nello studio dei fenomeni biologici.
• Proposta da Gauss (1809) nell’ambito della teoria degli errori.
• Detta anche curva degli errori accidentali
La curva di Gauss
Le caratteristiche della distribuzione normale Le caratteristiche della distribuzione normale
1.1.èèsimmetricasimmetricarispetto al valore mediorispetto al valore medio 2.
2.il valore di x = il valore di x = µµoltre che alla media aritmetica coincide con la moda e la oltre che alla media aritmetica coincide con la moda e la mediana
mediana 3.
3.èèasintoticaasintoticaall'asse delle x da entrambi i latiall'asse delle x da entrambi i lati 4.4.èècrescentecrescenteper x<per x<µµe decrescentee decrescenteper x>per x>µµ 5.
5.possiede due punti di flesso per x = possiede due punti di flesso per x = µ±σµ±σ 6.
6.ll’’area sotto la curva area sotto la curva èè= 1= 1(essendo la probabilit(essendo la probabilitààche si verifichi un che si verifichi un qualsiasi valore di x)
qualsiasi valore di x)
σ=σ1=σ2
MEDIA COME PARAMETRO DI POSIZIONE Al variare della media aritmetica (a parità di dev.standard) la curva trasla
sull’asse delle x
DEV STANDARD COME PARAMETRO DI VARIABILITA’
Al variare della deviazione standard la curva modifica la sua
forma
In una distribuzione normale perfetta:
68.26% dei casi sono compresi fra -1 e +1 DS attorno alla media 95.46% dei casi sono compresi fra -2 e +2 DS attorno alla media 99.74% dei casi sono compresi fra -3 e +3 DS attorno alla media INTERVALLI NOTI DI
INTERVALLI NOTI DI PROBABILIT PROBABILITÀÀ
DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE
NORMALE
NORMALE
STANDARDIZZATA
STANDARDIZZATA
Distribuzione normale Distribuzione normale
Distribuzione normale standardizzata Distribuzione normale
standardizzata
La curva di Gauss standardizzata
Si può trasformare una generica funzione gaussiana f(x) con media µ e varianza σ
2, in una funzione gaussiana standard con media 0 varianza 1, se si pone :
( x - µ )
z = σ
STANDARDIZZAZIONE
TAVOLA DEI VALORI DELLA DISTRIBUZIONE STANDARDIZZATA
TAVOLA DEI VALORI DELLA
DISTRIBUZIONE STANDARDIZZATA
ESERCIZIO:
ESERCIZIO:In una popolazione di ragazze di età inclusa tra i 18 e i 25 anni, la concentra-zione di emoglobina nel sangue (x) approssima la distribuzione gaussiana con media µµµµ=13.1 g/dl e deviazione standard σσσσ=0.7 g/dl. In base a queste sole informazioni possiamo calcolare, ad esempio, quante ragazze hanno emoglo-binemia inclusa tra 12.26 e 13.52 g/dl. Infatti:
0 0,1 0,2 0,3 0,4
11 11,7 12,4 13,113,8 14,5 15,2 emoglobine mia (g/dl)
12.26 13.52
µ=13.1 µ=13.1 µ=13.1 µ=13.1 σ=0.7 σ=0.7 σ=0.7 σ=0.7
0 0,1 0,2 0,3 0,4
-3 -2 -1 0 1 2 3
deviata gaussiana standard z f(z)
11% 27%
62%
-1.2 +0.6
Nell'11% delle ragazze i valori di Hb sono minori di 12.26 g/dl, e nel 27%
sono maggiori di 13.52 g/dl. Quindi il 62% delle ragazze ha valori di Hb compresi tra 12.26 e 13.52 g/dl.
z2=
z1=(12.260-.713.10)
7 0
) 10 . 13 - 52 . 13 (
.
= -1.2
= +0.6