Home page Analisi
Classe quinta
STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE LOGARITMICA
Esempio I:
x 1
x ln 1
y
1) Classificazione e C.E.:
Funzione trascendente logaritmica. La presenza del logaritmo impone che 0 x 1
x
1
, ossia:
1x 0x 1:)x (D
1 x 0x 1:)x 0 (N x1 0 x1 x1 x1
la funzione data è definita in ]1;1[. 2) Simmetrie :
La funzione è dispari, ossia è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, infatti:
osservando che
x 1
x ln1 2 1 x 1
x ln 1 x 1
x ln 1 ) x (
f 2
1
si ha:
) x ( x f 1
x ln1 2 1 x
1 x ln 1 x 1
x ln 1 ) x (
f 2
1
,
(Si potrebbe studiare la funzione in [0;1[ e alla fine costruire il grafico per simmetria.) 3) Studio del segno
Studiando il segno della funzione si ha:
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente ” C.E. x
+ N(x)
D(x)
1 -1
1
1x 0x 1:)x (D
0x 0x 2:)x 0 (N
x1 1 x2 x1 0 x1 x1 ln x1
quindi si ottiene:Pertanto, la funzione è positiva in]0;1[, mentre è negativa in]1;0[, infine è nulla per x0 .
4) Intersezione con gli assi cartesiani:
La funzione passa per l’origine degli assi cartesiani.
5) Asintoti:
La funzione presenta due asintoti verticali, infatti:
1 x
x ln 1
limx 1 e
1 x
x ln 1
limx 1
quindi x1 e x 1 sono le equazioni degli asintoti.
6) Crescenza o decrescenza:
Calcolando la derivata prima della funzione si ha: 1 x2 y 1
.
Studiando il segno della derivata prima si ha:
1 x 1 0 x 1:) x(
D
x 0 1:) x(
0 N x 1
1
2
2
ossia:se ne deduce che y0 in ]1;1[, quindi la funzione è crescente dove è definita.
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente ”
x
+ N(x)
D(x)
1 0
-1
y
- 0
x
+ N(x)
D(x)
1 -1
y
2
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda della funzione si ha: (1 x2)2 x y 2
. Studiando il segno della derivata seconda si ha:
1
x 0 )x 1(:
)x(
D
0 x 0 x2:
)x(
0 N )x 1(
x2
2 2 2
2
ossia:se ne deduce che y0 in ]0;1[, quindi la funzione è concava verso l’alto in ]0;1[, mentre 0
y in ]1;0[, quindi la funzione è concava verso il basso ]1;0[, infine la derivata seconda è nulla per x . 0
8) Flessi a tangente obliqua :
La funzione presenta in O(0;0)un punto di flesso a tangente obliqua. Essendo y(0)10, il flesso è ascendente e la sua tangente è la bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia y .x 9) Grafico :
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente ”
x
+ N(x)
D(x)
1 0
-1
y
- 0
3
Torna su
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente ” 4