CAPITOLO 3

CAPITOLO 3

METODO PER LA VALUTAZIONE DELLA

BACK RADIATION DELL’ANTENNA SAR

2000

3.1 INTRODUZIONE

In questo lavoro di tesi è stata necessaria l’individuazione di un metodo che permettesse una valutazione della back radiation per l’antenna SAR 2000. Dopo un’attenta analisi della struttura dell’antenna e della tecniche già presenti in letteratura per la risoluzione di problematiche classiche, si è sviluppato un metodo che, unendo più tecniche e teoremi dell’elettromagnetismo, ha permesso di giungere ai risultati cercati. In questo capitolo verranno dapprima descritti i teoremi e le tecniche che hanno contribuito allo sviluppo del metodo, infine il metodo stesso e i suoi limiti di validità.

3.2 TEOREMA DI RECIPROCITA’

Il teorema di reciprocità, nella teoria dell’elettromagnetismo, ha molte applicazioni. La sua formulazione più comune permette di relazionare le proprietà di irradiazione e di ricezione di sistemi di sorgenti elettromagnetiche. Supponiamo che in un mezzo isotropo e non necessariamente omogeneo, ci siano due insiemi di sorgenti J1, M1 e J2, M2

che possono irradiare singolarmente o contemporaneamente alla stessa frequenza, all’interno dello stesso mezzo e che producono rispettivamente i campi E1, H1 e E2, H2. Imponendo le equazioni di Maxwell ai campi:

e manipolando tramite semplici operazioni algebriche tali equazioni, si arriva all’espressione del teorema di reciprocità di Lorentz in forma differenziale:

Effettuando un integrale di volume su entrambi i membri ed usando il teorema della divergenza a sinistra, si ottiene la formulazione del teorema di reciprocità di Lorentz in forma integrale:

1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) (3.1) −∇ ⋅ E H× −E ×H =E J⋅ +H M⋅ −E J⋅ −H M⋅ 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ' ( ) ' (3.2) S d V dv −

_∫∫

E H× −E ×H ⋅ s =

_∫∫∫

E J⋅ +H M⋅ −E J⋅ −H M⋅ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 j j j j ωµ ωε ωµ ωε ∇× = − − ∇× = + ∇× = − − ∇× = + E M H H J E E M H H J E

Se il volume di integrazione è privo di sorgenti, ovvero se J1=M1=J2=M2=0

allora il membro sinistro della (3.1) e della (3.2) vale zero. Si può scrivere allora:

che è l’espressione del teorema di reciprocità nella sua forma più utile. Questa formulazione del teorema può essere utilizzata anche nella trattazione di sorgenti confinate in un mezzo racchiuso da una sfera di raggio infinito. Infatti anche in questo caso osservando i campi idealmente all’infinito, il primo membro delle (3.1) e (3.2) è nullo. Tramite la (3.3), avendo la conoscenza di un insieme di sorgenti e dei campi prodotti da queste sorgenti, si può avere qualche informazione sui campi prodotti da un secondo insieme di sorgenti. L’applicazione per cui è stata usata questa formulazione del teorema è la seguente:

• Si ha la conoscenza completa di un insieme di sorgenti, chiamiamolo insieme 1. Questo insieme è composto dalle sorgenti elettriche e magnetiche, J1 ed M1 rispettivamente, in un volume V1. Si vogliono

calcolare i campi E1 e H1 prodotti da quest’ ultimo in un punto

qualsiasi P dello spazio di analisi.

• Si pone un secondo insieme di sorgenti, chiamiamolo insieme 2, composto dalle sorgenti J2 ed M2, in un volume V2 che comprenda il

punto P.

• Se l’insieme 2 è stato scelto giudiziosamente, sarà facile calcolare il campo prodotto da questo insieme di sorgenti in corrispondenza del volume V1, in assenza delle sorgenti relative all’insieme 1.

1 2 1 2 2 1 2 1

( ) ' ( ) ' (3.3)

V ⋅ − ⋅ dv = V ⋅ − ⋅ dv

• Si ha ora la conoscenza completa di E2,H2,J1,M1,J2,M2. Nella (3.3) le

uniche incognite sono E1 e H1. Se è stato scelto in modo opportuno

l’insieme di sorgenti 2, sfruttando le proprietà dei prodotti scalari, sarà semplice calcolare E1 ed H1 nel volume V2 di analisi e quindi

nel punto P.

Questo metodo si applica quando l’analisi del campo irradiato dall’insieme di sorgenti 1 è difficoltosa. Si inserisce quindi un insieme fittizio di sorgenti per semplificare il calcolo. Nello studio del campo irradiato dai circa 15000 elementi attivi dell’antenna SAR 2000, è stato opportuno utilizzare il teorema di reciprocità. I dettagli verranno illustrati in seguito nel paragrafo 3.5

3.3 TECNICA PER LA VALUTAZIONE DEL CAMPO ALL’INTERNO DI FESSURE PRATICATE IN SCHERMI METALLICI SPESSI 3.3.1 INTRODUZIONE

Per il calcolo del campo trasmesso attraverso una fessura in un corpo perfettamente conduttore, sono presenti in letteratura svariati articoli. In particolare, nel caso di penetrazione attraverso schermi spessi, i metodi più usati sono: il Metodo dei Momenti (MoM), il metodo delle Differenze Finite nel Dominio del Tempo (Finite Difference Time Domain, FDTD) e il metodo dello sviluppo modale e trasformata di Fourier (Mode Matching con imposizione delle condizioni al contorno nel dominio trasformato). Quest’ultimo metodo, usato nel caso di incidenza di un’onda piana uniforme su schermo spesso, rende possibile il calcolo della soluzione in

permette una semplice espressione in forma chiusa del campo trasmesso e scatterato dalla fessura. E’ stato usato questo metodo per il campo all’interno delle fessure tra i pannelli dell’antenna, soprattutto per l’efficienza computazionale del metodo, in quanto l’applicazione degli altri metodi a strutture metalliche delle dimensioni della antenna in esame (una decina di m2) sarebbe stato tecnicamente impossibile.

3.3.2 TECNICA DELLO SVILUPPO MODALE

E’ stato usato il metodo di Park, Kang ed Eom [6], [7] per il calcolo dei campi all’interno di una fessura praticata in uno schermo spesso metallico illuminato da un’onda piana. Come già detto, questo metodo si basa sullo sviluppo modale del campo all’interno della fessura, con applicazione delle condizioni al contorno nel dominio spettrale di Fourier. Segue una descrizione dei campi e della struttura metallica. Si confronti la Fig. 3.1. Lo schermo metallico è parallelo al piano x-y, è infinito in questo piano ed ha uno spessore d nella dimensione z. La fessura si estende sullo schermo lungo la dimensione y, ha una larghezza pari a 2a ed uno spessore d. In questa struttura sono individuabili tre regioni. Regione (I) : aria, z>0 ; regione (II) : aria (anche se in [6], [7] è possibile avere un materiale con perdite), -d<z<0 , -a<x<a ; regione (III) : aria, z<-d. Il campo incidente può essere di due tipi. Con campo magnetico parallelo all’asse della fessura:

exp( )

i

y x z

H = jk x jk z− , ovvero campo incidente con polarizzazione TE (transverse electric) ; oppure con campo elettrico parallelo all’asse della

fessura i exp( )

y x z

E = jk x jk z− , ovvero campo incidente con polarizzazione TM

I numeri d’onda dei mezzi (I), (II) e (III) sono

0 0 0 1 0 r1 0 r1 2 0 r2 0 r2

k =ω µ ε k =ω µ µ ε ε k =ω µ µ ε ε rispettivamente.

Fig. 3.1 Geometria del problema della penetrazione del

campo attraverso una fessura praticata in uno schermo spesso

Mi soffermo nella descrizione del metodo nel caso di incidenza TM. Le modalità per il calcolo dei campi nell’altro caso sono molto simili e possono essere consultate nell’articolo [7]. L’espressione dei campi nella regione II, in caso di incidenza TM è esprimibile in questa forma:

dove: 2 m m a a π = e 2 2 1 m k am

ξ = − ; bm e cm sono i coefficienti dello sviluppo

modale del campo all’interno della fessura.

1

( , ) ( cos sin ) sin ( ) (3.4)

d y m m m m m m E x z ∞ b ξ z c ξ z a x a = =

∑

+ +

Nella regione (I) il campo scatterato è pari a 0 2 2 0 0 1 _ˆ ( , ) ( ) exp( ' ) 2 con ˆ ( ) ( ,0) exp( ) ' s s y y s s y y E x z E j x jk z d E E x j x dx k k ζ ζ ζ π ζ ζ ζ +∞ −∞ +∞ −∞ = − + = = −

∫

∫

Mentre il campo trasmesso nella regione (III) è pari a

2 2 2 2 2 1 _ˆ ( , ) ( ) exp( ' ( )) 2 ˆ ( ) ( , ) exp( ) ' t t y y t t y y E x z E j x jk z d d con E E x d j x dx k k ζ ζ ζ π ζ ζ ζ +∞ −∞ +∞ −∞ = − − + = − = −

∫

∫

Dalla relazione 0 ( , ) 1 ( , ) y (3.5) x E x z H x z jωµ z ∂ = − ∂ ,

si possono ricavare le espressioni del campo magnetico nella regione II e di quello scatterato e trasmesso nelle regioni I e III. Seguendo la procedura riportata nell’articolo [6], l’imposizione della continuità delle componenti tangenziali del campo elettrico totale all’interfaccia z=0 e del campo magnetico totale lungo z=0 e -a<x<a, insieme alla continuità delle componenti tangenziali dei campi lungo z=-d, porta al seguente sistema

lineare: 1 2 3 4 0       =             Ψ Ψ B Γ

Ψ Ψ C . Risolvendo rispetto ai vettori colonna

e m m b c = = B C , si ha: 1 1 2 4 3 ( − ) = − B ψ ψ ψ ψ Γ 1 1 4 3( 1 2 4 3) − − = − − C ψ ψ ψ ψ ψ ψ Γ

dove 1, 1 0 2 0 0 0 2, 1 3, 1 2 2 2 2 1 2 4, 1 2 2 2 2 1 2 [ ( ) ( )] 2

cos sin cos( )[ ( ) ( )]

2

sin cos sin( )[ ( ) ( )]

2 n n nm nm n nm nm n n n m nm n n nm m n n n m nm n n nm m ja ja I k I k a a a a d d d I k I k j a a a d d d I k I k j η δ µ πµ ξ δ µ χ _ξ ξ _{ξ δ ξ} µ µ πµ χ _ξ ξ _{ξ δ ξ} µ µ πµ Ψ = − + Ψ = −   Ψ = _ + _ − +     Ψ = _− + _ + +   2 2 0 2 exp( ) ( 1) exp( ) ( ) n z n n x x x n jk a jk a jk a k a γ µ   = _ − − − _ − 2 2 2 2 2 2 1 , 2 e 0 2 m m m m m m m k a k a k a m a a ξ χ η π = − = − = − = 0 0 1 0 ₀ 2 2 2 2 2 0 4 ( 1) exp(2 2 ) ( 2 ) ( ) [(1 ) ][(1 ) ] n j jk a k av v v j I k dv k jv α jv β ∞− − − ⋅ − = + − + −

∫

2 2 1 1 2 0 2 2 2 0 1 4 1 ( ) sin sin ( ) j I k k β α _{α β} α β α β − −  ₋  − − = − +  − _{ } 0 0 e m n a a k k α = β =

Nel caso di incidenza TE, la struttura del problema rimane invariata, la differenza risiede nelle quantità Ψ_1n,m, Ψ_2,nm, Ψ_3,nm, Ψ_4,nm, Γ , I (k) e I (k)_{m 1 2} .

A tal proposito faccio notare un errore di battitura nell’articolo [5] nell’espressione di γ_n. Confrontare il capitolo 4.2 per maggiori dettagli.

Fig. 3.2 Andamento della quantità 2 _{2 0} t( , )

y t

T = πr k E θ θ

in funzione dell’angolo di trasmissione per alcuni valori di m.

La conoscenza dei vettori B e C permette la rappresentazione completa dei campi all’interno della fessura e quindi la conoscenza dei campi scatterati e trasmessi dalla stessa. L’implementazione di questo metodo al calcolatore è stata dapprima realizzata tramite il linguaggio di programmazione Visual Fortran ma successivamente convertita in Matlab a causa della struttura matriciale del metodo in esame e della velocità computazionale di questo software su problemi matriciali. I vettori B e C sono teoricamente di dimensione infinita ma, essendo la serie (3.4) convergente, le componenti

n

b e c_nsi possono considerare nulle da un opportuno indice in poi. I vettori da utilizzare nelle simulazioni devono essere di dimensioni opportunamente scelte in base alla dimensione a della fessura, affinché si ottengano risultati corretti.

15° 30° 45° 60° 75° 90° -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 Angolo di trasmissione M odu lo del c am po t ras m es so nor m al iz za to Sviluppo arrestato a m=14 Sviluppo arrestato a m=10 Sviluppo arrestato a m=18

Angolo dell'onda incidente 30° a = 3.3*lambda d = 1.1*lambda M = 13.2

Maggiore è la dimensione a della fessura, maggiore sarà la dimensione minima dei vettori affinché i risultati ottenuti dalla simulazione siano attendibili. In modo del tutto sperimentale si è constatato che il numero m di termini da usare nello sviluppo modale debba essere almeno M 4a

λ

= per

ottenere la convergenza. Ai fini del risultato finale inoltre, non è utile considerare un numero molto più grande di M per i termini dello sviluppo modale. Questo comporta solo un rallentamento della simulazione a fronte di un minimo incremento dell’accuratezza dei risultati. Il calcolo delle matrici I k₁( ) e ( )_i I k_{2 i} costituisce infatti il principale onere computazionale per il software. Per questo motivo i tempi di simulazione crescono col numero di modi considerati nella fessura. Il valore di M trovato

sperimentalmente, può essere giustificato: 2 2

1 m k am

ξ = − è la costante di

propagazione del modo m-esimo in una guida a piatti piani paralleli. Se questa quantità è nulla o immaginaria pura, ovvero quando 2 2

1 m

k ≤a , il modo è in cut-off. Supponendo k₀ = =k₁ k₂, questa condizione si verifica proprio

per m tali che 1

1 2 2 2 4 2 k a m a a k m m M a π π λ π π λ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ = = . Ovvero tutti i

modi con indice m M≥ sono in cut-off e contribuiscono in maniera minima al campo totale all’interno della fessura, quindi non è utile considerarne un numero molto grande nella simulazione. Nella Fig. 3.2 è illustrato l’andamento del campo trasmesso attraverso una fessura di dimensioni

3.3 ; 3

a

a= λ b= . In questo caso M 4a 13.2

λ

= = ; si vede come l’andamento dei

risultati ottenuti con m=14 e m=18 è molto simile, si discosta molto invece quello dei risultati ottenuti con m=10. Si sono confrontati i risultati ottenuti

negli articoli [5] e [6] con quelli ottenuti col nostro software. Nel primo grafico (Fig. 3.3) è rappresentato il modulo del campo trasmesso,

normalizzato rispetto a

2 0

1

2 r kπ , in funzione dell’angolo di trasmissione nel

caso di incidenza TM e nella regione di campo lontano:

2 0 2 t( , ) y t T = πr k E θ θ 0 15° 30° 45° 60° 75° 90° 0 2 4 6 8 10 12 14

Angolo di trasmissione in gradi

M odu lo de l c am po t ra sm es so norm al iz zat o i n dB angolo d'incidenza = 0° a = 5*lambda d = 0 k0 = k2 M = 20 Sviluppo arrestato a m = 21 Fig. 3.3 Andamento della quantità T in funzione

dell’angolo di trasmissione nella regione di campo lontano

Nel secondo grafico (Fig. 3.4) è rappresentata la quantità

1 2 1 2 lim s( , ) y s r r S σ π H θ θ λ →∞ λ

= = , ovvero l’ampiezza del modulo quadro del campo

magnetico scatterato, normalizzato rispetto a

1

2 r

λ

π , nel caso di incidenza TE

e nella regione di campo lontano. Si può notare il perfetto accordo dei grafici per entrambe le implementazioni del metodo, sia nel caso di incidenza TE, sia di incidenza TM.

0 15° 30° 45° 60° 75° 90° -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15

Angolodi incidenza in gradi

A nd am ent o di S in dB

Angolo di scatter = - angolo di incidenza a = 1.1*lambda d = 1.6*lambda k0 = k1 = k2 Sviluppo arrestato a m = 5 Fig. 3.4 Andamento della quantità S in funzione

dell’angolo di incidenza, nella regione di campo lontano

3.4 PRINCIPIO DI EQUIVALENZA E TEOREMA DELLE IMMAGINI L’equivalenza dei campi è un principio tramite il quale sorgenti reali, come antenne e trasmettitori, vengono rimpiazzate con sorgenti equivalenti. Le sorgenti fittizie si dicono “equivalenti in una regione” poiché producono lo stesso campo delle sorgenti reali in quella regione. Il principio di equivalenza ha le sue origini nel 1936 per opera di S. A. Schelkunoff , che rielabora il principio di Huygens in una forma più rigorosa [7]. Il principio di equivalenza è basato sul teorema di unicità [1] il quale stabilisce che “un campo in una regione all’interno di un mezzo con perdite è univocamente

determinato dalle sorgenti all’interno della regione più le componenti tangenziali del campo elettrico sul bordo della regione, o le componenti tangenziali del campo magnetico sul bordo della regione, oppure dalle prime su una frazione del bordo della regione e dalle seconde sulla restante parte”.

Fig. 3.5 Rappresentazione schematica del principio di

equivalenza

Il campo in un mezzo senza perdite si può trovare come limite in cui le perdite vanno a zero, del campo corrispondente in un mezzo con perdite. Per questo teorema se sono note completamente le componenti tangenziali del campo elettrico e magnetico su una superficie chiusa, possono essere determinati i campi nella regione senza sorgenti. Le geometrie del problema e del suo equivalente sono mostrate in Fig. 3.6. Col principio di equivalenza i campi all’esterno di una superficie chiusa immaginaria S, sono ottenuti ponendo sulla superficie stessa densità di corrente magnetiche ed elettriche in modo che soddisfino le condizioni al contorno. Le densità di corrente sono scelte in modo da avere campi nulli nel volume V all’interno della superficie chiusa e campi uguali a quelli che si avrebbero in presenza delle sorgenti reali, all’esterno della superficie chiusa.

Queste condizioni portano alla scelta delle seguenti densità di corrente: 1 1 ˆ ˆ s s n n = × = − × J H M E

dove E1 e H1 sono i campi all’esterno della superficie chiusa. Tramite

questa formulazione del principio di equivalenza ( principio di equivalenza di Love ) si possono calcolare agevolmente i campi irradiati da una sorgente, se la scelta della superficie è effettuata in modo adeguato, semplicemente calcolando il campo irradiato da Js e Ms.

Fig. 3.6 Rappresentazione schematica delle formulazioni

PEC e PMC del principio di equivalenza

Le formulazioni PEC (Perfect Electric Conductor) e PMC (Perfect Magnetic Conductor) del principio di equivalenza si ottengono dalla formulazione di Love sostituendo alle sorgenti all’interno della superficie chiusa, un materiale conduttore elettrico perfetto o un conduttore magnetico perfetto, come viene illustrato in Fig. 3.6. Ciò impone

rispettivamente una densità superficiale di corrente elettrica o magnetica sulla superficie nulla. Queste formulazioni permettono calcoli più semplici in alcuni casi di interesse pratico. Per un descrizione del principio di reciprocità sono stati consultati [1] e [2]

3.5 METODO PER IL CALCOLO DELLA BACK RADIATION

Si consideri come modello per l’antenna quello descritto nel capitolo 2. In particolare si faccia riferimento alla Fig. 2.5 per le dimensioni usate nelle simulazioni. Per il calcolo della back radiation il procedimento è stato il seguente:

a) Si è posta una sorgente fittizia nel volume di analisi, ovvero nel semispazio opposto alla direzione di massima irradiazione dell’antenna. a.1) Si è scelto di supporre infinita l’antenna nella direzione y. Questo

ha permesso di ridurre la complessità del problema da un problema a 3 dimensioni ad uno a 2. Questa nuova antenna infinita è stata “costruita” duplicando la struttura dell’antenna reale lungo la dimensione y.

a.2) Come sorgente fittizia per il teorema di reciprocità è stato scelto un filo di corrente, prima magnetica poi elettrica, infinito e parallelo all’asse y.

a.3) Per il calcolo del campo presente in una fessura tra i pannelli dell’antenna, prodotto dal filo di corrente, è stato usato il metodo descritto in 3.3.2

b) Tramite il teorema di reciprocità, si è calcolato il campo prodotto da un singolo radiatore reale, in corrispondenza del volume occupato dalla sorgente fittizia del teorema. In seguito si è applicato il principio di sovrapposizione degli effetti due volte. Prima su tutti gli elementi radianti, poi sulle due fessure per ricavare il campo totale presente nella zona di analisi.

b.1) I campi ottenuti sono stati corretti tenendo conto del fatto che l’antenna reale non è infinita ma è confinata in uno spazio finito. Segue una descrizione dettagliata, quando necessaria, dei passaggi descritti precedentemente in maniera sintetica.

Per il teorema di reciprocità è stata scelta una sorgente fittizia che illuminasse la fessura tra i pannelli dell’antenna in modo uniforme. Il campo irradiato da un filo infinito di corrente è funzione della sola distanza ρ del punto di analisi dal filo. Un filo disposto lungo l’asse y illumina quindi in modo uniforme la fessura nella dimensione y. Per un filo di corrente magnetica si ha ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ( 3 .6 ) 2 _ˆ e x p ( ) 4 2 _ˆ e x p ( ) 4 y y y z z x x x z y y _y M H E E E H H H E E j M j j M j φ φ ρ ρ φ _φ ω ε _{β ρ} π β ρ β _{β ρ} π β ρ = ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = = = = = = − − ⋅ = − ⋅ M i H i E i i i H i E i

Per un filo di corrente elettrica ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 (3 .7 ) 2 _ˆ e x p ( ) 4 2 _ˆ e x p ( ) 4 y y y z z x x x z y y _y I E H H H E E E H H j I j j I j φ φ ρ ρ φ _φ ω µ _{β ρ} π β ρ β _{β ρ} π β ρ = ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = = = = = = − − ⋅ = − ⋅ I i E i H i i i E i H i

Il campo incidente sulla fessura può essere quindi di due tipi, TE o TM a seconda che il campo elettrico o magnetico abbia componenti traverse alla fessura. I fronti d’onda di questo campo hanno una geometria localmente piana. Se la sorgente è sufficientemente distante dalla fessura ,il campo incidente sulla stessa può essere considerato uniforme su tutta l’interfaccia in z = 0. Quindi si può usare il metodo descritto nel capitolo 3.2. Affinché valga questa approssimazione, è necessario che la distanza ρ tra sorgente e fessura soddisfi la condizione:

2 (3.7b)a ρ

dove 2a a= ₃ =5mm è la dimensione della fessura lungo x nel caso in esame (confrontare Fig. 2.5). Da analisi svolte tramite il suddetto metodo, implementato al calcolatore, la penetrazione attraverso la fessura di un’onda polarizzata in modo TM è risultata trascurabile rispetto a quella di un’onda polarizzata in modo TE (confrontare il capitolo 4 per i risultati). Il filo percorso da corrente elettrica quindi non verrà considerato in questa analisi. A partire dalla conoscenza del campo incidente alla fessura in z = 0, utilizzando l’implementazione del metodo descritto in 3.3, si è ricavato il campo presente all’interno della fessura in ogni punto. La Fig. 3.7 illustra

l’applicazione del teorema di reciprocità è il calcolo del campo che penetra dalla fessura ed incide sul generico elemento radiante reale dell’antenna. E’ stata necessaria una conoscenza del campo in prossimità della fessura, all’esterno della stessa, poiché alcuni elementi radianti reali dell’antenna distano poco dalla fessura, si parla di valori paragonabili alla lunghezza d’onda. Non abbiamo potuto utilizzare quindi approssimazioni di campo lontano.

Fig.3.7 Vista laterale dell’antenna con particolare della

fessura.

Abbiamo applicato la formulazione PEC del principio di equivalenza dei campi sulla superficie della fessura in z=-Ld, si è ottenuto un valore per la

densità di corrente superficiale fittizia presente su questa superficie:

s = - 2 ˆz × s

M i E dove Es è il campo elettrico all’interfaccia, ottenuto

utilizzando congiuntamente la Semispazio posteriore Semispazio anteriore Ex+Ez Hy z = -Ld x Ld z z = 0

Polarizzazione del campo incidente Campo elettrico incidente parallelo all’interfaccia in z = 0:

Ex(z = 0)

PEC PEC

Campo elettrico parallelo all’interfaccia in z = -Ld:

ovvero l’equivalente della (3.4) per il problema di incidenza TE e la (3.5), invocando la continuità dei campi all’interfaccia tra fessura e spazio libero. A causa delle dimensioni molto piccole della fessura, si è potuta considerare la densità di corrente all’interfaccia come se fosse interamente concentrata in un filo di corrente magnetica M = a3⋅Ms posizionato in

z=-Ld e x=0, ovvero nel mezzo della superficie considerata. Facendo

irradiare questo filo e calcolando i campi in corrispondenza del generico elemento radiante, si è raggiunta la conoscenza di ogni incognita nel teorema di reciprocità. Da qui è seguita l’applicazione del teorema stesso ed il risultato finale. Riprendiamo la (3.3) che riporto per comodità :

Nel problema in esame J1 ed M1 compongono l’insieme di sorgenti reali,

ovvero la somma dei dipoli magnetici elementari con cui sono stati modellati i patch. Essendo l’antenna in esame infinita, anche il numero di elementi è infinito, come il range di valori assunti dall’indice i. Se [ , , ]x z y_{i i i}

è la posizione dell’i-esimo fra i dipoli magnetici elementari paralleli all’asse y, abbiamo 1 0 e 1 1 ( i) x( )i z( )i ˆy i y y M rect x z y δ δ − = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆

∑

J M i , dove ( ) x xi

δ è la delta di Dirac tridimensionale applicata nei punti x x= _i ; δ_z( )z_i è

la delta di Dirac tridimensionale applicata nei punti z z= _i e _rect(y yi)

y

−

∆ è la

funzione gate tridimensionale centrata in y= y_i e di dimensione ∆y. Notare

che z_i = −L_d ∀ i Invece per i dipoli relativi all’altra polarizzazione

abbiamo: _{1 0 e 1 1 (} i_{) ( ) ( )} ˆ y i z i x x x M rect y z x δ δ − = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆

∑

J M i . L’insieme di 1 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ' ( ) ' (3.3) V ⋅ − ⋅ dv = V ⋅ − ⋅ dv

∫∫∫

E J H M

∫∫∫

E J H M

in [ , ]x z0 0 e infinito lungo y. In questo caso J2 =0 e M2=M2⋅δx( )x0 ⋅δz( )z0 ⋅ˆiy.

H2 ed M2 sono i campi prodotti dalla sorgente fittizia in corrispondenza del

volume occupato dagli elementi reali. Confrontando le (3.6) si vede che il campo elettrico E2, dovuto al filo equivalente di corrente magnetica in

z=-Ld, in corrispondenza dell’elemento i-esimo, ha componenti lungo z e x

ma non lungo y. Al contrario il campo magnetico relativo H2 ha come

unica componente non nulla quella lungo y. Il prodotto scalare nella (3.3) tra il generico dipolo magnetico elementare disposto lungo x e il campo H2

è quindi nullo per ogni i. Il contributo di questi dipoli alla penetrazione attraverso la fessura è quindi nullo per la polarizzazione TE. Alla luce delle precedenti osservazioni, la (3.3) si può riscrivere in questo modo:

posso dividere la sommatoria ( )

i

∑

i in una doppia sommatoria: 480

1

( )

j l=

∑∑

i .

L’indice l ‘conta’ i dipoli magnetici elementari disposti su una stessa riga, ovvero aventi la stessa coordinata y = y0. Questi sono in numero di 240x2

poiché le colonne su cui sono disposti i patch sono 240 ed ogni patch è modellato con 2 dipoli per la polarizzazione considerata. L’indice j ‘conta’ le righe su cui sono stati disposti gli elementi radianti. Essendo la dimensione dell’antenna infinita lungo y, il numero di righe ed il range di

1 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ' ( ) ' (3.3) V ⋅ − ⋅ dv = V ⋅ − ⋅ dv

∫∫∫

E J H M

∫∫∫

E J H M 1 1 2 0 0 0 2 2 1 ˆ ˆ ( 0 ( ) ( ) ) ' ˆ ˆ [ 0 ( ) ( ) ( ) ] ' (3.9) y x z y V y x i z i y V i H M x z dv y y H M rect x z dv y δ δ δ δ ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ ∆

∫∫∫

∑

∫∫∫

E i i E i i 2 2 1 0 0 1 2 2 ( , ) ( , ) (3.9b) y i i i y M H x x z z dy M H x x z z dy ∆ +∞ −∞ ∆ − = = =

∑

= =

∫

∫

Posso scrivere allora: Con 480 ₂ 1 ( , ) r i i l H H x x z z = =

∑

= = .

Poiché il campo generato da un filo infinito di corrente ha fronti d’onda cilindrici, nel nostro caso si ha un campo H2 uniforme al variare di y al

secondo membro della (3.10). Trasformo inoltre la rappresentazione del dominio di integrazione al primo membro della (3.10) come una somma infinita di integrali finiti. Scelgo come indice per la sommatoria lo stesso scelto precedentemente, ovvero uno che ‘conta’ le righe di elementi sull’antenna. Evidentemente il nuovo dominio di integrazione è la separazione Ly tra le righe degli elementi sull’antenna. Si può scrivere

allora:

Inoltre a causa della simmetria del problema, anche il campo H1 non

dipenderà dalla coordinata y, scriviamo perciò

2 480 2 1 0 0 1 2 1 2 ( , ) ( , ) (3.10) y i i j l y M H x x z z dy M H x x z z dy ∆ +∞ −∞ ₌ ∆ − = = =

∑∑

= =

∫

∫

2 2 1 0 0 1 2 ( , ) (3.10b) y r j y M H x x z z dy M H dy ∆ +∞ −∞ ∆ − = = =

∑

∫

∫

2 1( 0, 0) 1 (3.11) j r j j j Ly M

∑

∫

+ H x x z z dy M y= = = ∆

∑

H 2 y 1( 0, 0) 1 r (3.12) j M L

∑

H x x z z= = =M yH∆

La simmetria del problema suggerisce anche che H1 ed Hr non dipendano

da j, quindi posso eliminare la dipendenza da j e scrivere :

La (3.13) rappresenta l’espressione del campo che intendevamo trovare.

Fig.3.8 Vista laterale dell’antenna con illustrazione del filo

fittizio e di una sorgente reale

E’da notare che Hr dipende linearmente da M2 quindi l’intensità del filo

infinito di corrente magnetica può essere scelta in modo arbitrario. La

quantità M y∆ è stata scelta in modo da avere una potenza

2 y 1( 0, 0) 1 r (3.12b) M L H x x z z= = =M yH∆ 1 1 0 0 2 ( , ) r (3.13) y M yH H x x z z M L ∆ = = = θ z

Elemento radiante reale sulla faccia anteriore dell’antenna Semispazio posteriore

Semispazio anteriore Filo di corrente magnetica in un punto

di coordinate [x,z] Distanza del filo dal centro della fessura = ρ

complessivamente irradiata dall’antenna di 1 Watt. Sono state usate per questo calcolo le informazioni nell’articolo [3] circa una stima sulla direttività di quest’antenna e l’espressione del campo irradiato da un dipolo magnetico elementare reperibile in [1]. Variando la posizione [ , ]x z_{0 0} della

sorgente fittizia nel teorema di reciprocità non si fa altro che valutare il campo dovuto alle sorgenti reali in punti diversi dello spazio. La sorgente fittizia si comporta in pratica come una ‘sonda’ per il calcolo del campo della sorgente reale. Si è ottenuta una descrizione completa dei campi nel semispazio posteriore dell’antenna: z>0, tramite una correzione dei risultati imposta dal fatto che l’antenna reale non è composta da un numero di elementi radianti infinito, ne’ è di dimensioni infinite. Nella fattispecie abbiamo calcolato i valori di campo tramite scansioni circolari sul semipiano ottenuto considerando z>0 nel piano xz a varie distanza dal centro di fase dell’antenna infinita. Abbiamo inoltre calcolato il campo prodotto dall’antenna infinita nella direzione di massima irradiazione a distanze pari al raggio delle circonferenze usate per le scansioni. La normalizzazione delle scansioni circolari rispetto al campo nella direzione di massima irradiazione ha fornito dei pattern normalizzati di campo vicino per l’antenna. Il profilo di questi pattern non dipende dalla geometria dell’antenna nella dimensione y poiché sono stati effettuati sul piano xz. L’antenna di dimensioni finite allora produrrà gli stessi pattern normalizzati di campo. Questo significa che il campo effettivo dell’antenna reale si può ottenere dai pattern normalizzati tramite un opportuno fattore di scala. Questo fattore di scala è il campo prodotto dall’antenna reale nella direzione di massima irradiazione calcolato ad una distanza dal centro di fase pari al raggio della circonferenza di scansione. Ci è bastato quindi

massima irradiazione per avere la conoscenza completa della back radiation in campo vicino dell’antenna SAR 2000.