Campo elettrico di una carica in moto rettilineo uniforme

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Elettromagnetismo

Campo elettrico di una carica in moto rettilineo uniforme

Quadrivettori e trasformazioni di Lorentz

Lezione n. 28 – 23.03.2021

La legge di Gauss

• Possiamo adesso verificare che la legge di Gauss vale anche nel sistema S′

• Ricordiamo che abbiamo derivato le leggi di trasformazione assumendo la validità della legge di Gauss

• Pertanto si tratta di una verifica

• Deve essere così!

• Calcoliamo il flusso del campo E′ attraverso una superficie sferica centrata sulla carica

• L'elemento di superficie è

• Inoltre il campo è radiale

• Otteniamo pertanto

La legge di Gauss

• Dalle tabelle si ha

• Otteniamo pertanto

• E per finire Pertanto, anche se il modulo del

campo elettrico è diverso in punti

Ancora sulla misura della carica

• Siamo adesso in grado di comprendere in modo più quantitativo le osservazioni e le cautele relative alla misura del valore di una carica in moto (dia. )

• Avevamo infatti detto che la forza fra due cariche avrebbe potuto dipendere dal modulo della velocità e dalla direzione

• Definiamo (in modo errato) il valore della carica in moto con la seguente procedura

• Utilizziamo una carica di riferimento Q

• Misuriamo la forza F fra q e Q

• Definiamo il valore di q come

• Alla luce di quanto studiato vediamo che la forza misurata (Q E ) è differente nelle posizioni 1 e 2

• Abbiamo appena visto che il flusso del campo elettrico non dipende da β

• Equivale a misurare il campo medio (o la forza media) su una sfera 137825

Un campo variabile nel tempo

• Abbiamo disegnato qualitativamente il campo elettrico di una carica in moto

• Al tempo t = 0 la carica era nell'origine

• Nei tempi successivi la carica occupa le posizioni x = vt

• Se misuriamo il campo elettrico sempre nello stesso punto punto r vedremo un campo elettrico E che varia nel tempo

• Ai tempi t_j, j = 1,7 la carica in movimento occuperà le posizioni x_j = vt_j

• Nel punto r il campo elettrico assumerà i valori E_j = E(r,t_j)

• Il campo in r, E(r,t), varia in modulo e direzione in funzione del tempo

Una carica che si mette in moto

• Supponiamo di avere una carica a riposo

• Ad esempio nell'origine

• Disegniamo il suo campo elettrostatico

• Supponiamo che improvvisamente, a t = 0

la carica si metta in moto con velocità uniforme v

• Le variazioni di campo elettrico determinate dal fatto che la carica adesso si muove non possono essere percepite istantaneamente in tutto lo spazio

• La perturbazione viaggia con la velocità della luce c

• Al tempo t i punti nello spazio ad una distanza superiore a R = ct non possono sapere che la carica si è messa in moto

• Per questi punti il campo deve essere ancora il campo elettrostatico della carica nell'origine

• I punti più vicini di ct vedono il campo di una carica in moto

• Lo "spessore" della regione di transizione dipende dal tempo che la particella ha

impiegato per passare dallo stato di riposo al moto rettilineo uniforme

• Col passare del tempo la sfera di raggio ct diventa sempre più grande

Una carica che si mette in moto

• La figura (presa dal libro di Purcell) mostra un disegno più accurato

• È relativa a una carica negativa che si mette in moto

• Le linee di campo fra la regione "interna" e la regione "esterna" sono state accuratamente raccordate

• Si consulti il testo di Purcell per i dettagli

Una carica che si mette in moto

• Abbiamo osservato che lo "spessore" della regione di transizione è determinato dal tempo che la carica elettrica ha impiegato per passare

• Dalla condizione "a riposo"

• Alla condizione "in moto rettilineo uniforme"

• Quindi dipende dall'intervallo di tempo in cui è stata accelerata

• La regione di transizione è una sfera di raggio ct

• Il tempo t è il tempo trascorso da quando la carica è stata accelerata

• Con il passare del tempo il raggio della sfera aumenta

• L'informazione che la carica si è messa in moto "viaggia"

nello spazio e nel tempo

• Come un'onda sulla superficie di un laghetto

• Osserviamo che il campo elettrico nella "regione di transizione" cambia bruscamente la sua direzione

• Da campo radiale diventa più o meno perpendicolare al raggio

• Un campo elettrico trasversale alla direzione di propagazione

• Vedremo che è presente anche un campo magnetico

• La perturbazione dei due campi è un'onda elettromagnetica che propaga

Una carica che si ferma

• Si verifica un fenomeno analogo se una carica in moto rettilineo uniforme si arresta

• Al di fuori di una sfera di raggio ct il campo elettrico è quello di una carica in moto che si muove con velocità costante

• Per r > ct il campo elettrico non sa che la carica si è fermata a t = 0

Una carica che si ferma

• Anche in questo caso nella regione di transizione il campo è trasversale

• Un onda sferica che si allontana dall'origine

• Il raccordo fra le linee di campo all'interno della sfera e quelle all'esterno si fa utilizzando la legge di Gauss

• Consideriamo il cammino in figura

• Il tratto EA è perpendicolare al campo di una carica ferma in x = 0

• Il tratto ABCD segue una linea di campo

• Il tratto DF è perpendicolare al campo radiale di una carica in moto

• Il flusso attraverso la superficie chiusa ottenuta da una rotazione intorno all'asse x è nullo

• Il contributo proviene solo dalle superfici generate da EA e DF

• Il flusso è nullo attraverso ABCD

• Il calcolo permette di calcolare

Quadri-vettori

• Abbiamo visto che nel passaggio da un sistema di riferimento all’altro la posizione e il tempo di un evento si trasformano “mescolandosi”

• Lo spazio e il tempo non sono quantità indipendenti

• Sono le componenti di una grandezza fisica nuova

• Il quadri-vettore posizione (ct, x, y, z )

• Introduciamo adesso una notazione più efficiente

• Cambiamo nome alle coordinate spaziali

• Introduciamo la coordinata temporale

• Infine introduciamo le grandezze

• A questo punto possiamo riscrivere le trasformazioni di Lorentz in una forma più compatta ed elegante

• In forma matriciale

Quadri-vettori

• Sappiamo inoltre che la trasformazione di

Lorentz, per costruzione, lascia invariata la quantità

• Nella nuova notazione la quantità invariante è

• Infatti, calcoliamo

• Sostituiamo le quantità trasformate

• Le due quantità sono uguali se γ²γ²β² = 1 = γ²(1  β²)

• Si verifica facilmente

• È il determinante della matrice

• La Trasformazione di Lorentz ha determinante 1

Componenti Covarianti e Controvarianti

• Le componenti del quadri-vettore che abbiamo definito sono le componenti controvarianti del quadri-vettore posizione

• Vengono indicate con un indici in alto

• Nella Teoria della Relatività si usano anche le componenti covarianti

• Si indicano con un indice posto in basso

• Sono definite come xμ = ( ct,−x, −y, −z )

• Tramite i due tipi di componenti la quantità invariante è

• Questa espressione ricorre molto spesso e pertanto è abitudine comune sottintendere la sommatoria

• L’indice μ è detto muto o saturato

• Gli indici saturati DEVONO sempre essere

Prende il nome di modulo quadrato

del quadrivettore e si indica

Componenti Covarianti e Controvarianti

• Per passare facilmente dalle componenti

covarianti a quelle controvarianti si definisce il tensore metrico g^μν

• Le precedenti relazioni fra x^μ e x_μ si esprimono adesso semplicemente

• Il modulo quadrato del vettore si può anche scrivere come

• Analogamente si definisce il prodotto scalare di due quadri-vettori

• È facile verificare che anche il prodotto scalare è invariante per trasformazioni di Lorentz

• Un’utile espressione è il tensore g^μν con indici covarianti e controvarianti

Trasformazioni di Lorentz

• Abbiamo visto che in una trasformazione di Lorentz lungo l’asse x le

componenti del quadri-vettore tempo-posizione si trasformano secondo la legge

• Il prodotto matriciale indicato si può esprimere in forma tensoriale

• Notare le posizioni degli indici μ e ν e i segni degli elementi della matrice che corrisponde a questa disposizione degli indici

• Altre forme della matrice

sottointesa la somma dell’indice contratto ν

x y

z

S x′

y′

z′

S′

Trasformazioni di Lorentz

• L’invarianza del prodotto scalare ci permette di trovare alcune proprietà che caratterizzano una trasformazione di Lorentz

• Introducendo le coordinate nel sistema S'

• Si ottiene

• In conclusione

• Moltiplicando ambo i membri per g^βσ si ottiene

• Esercizio: verificare che

in forma matriciale

Tempo proprio

• Dal momento che le trasformazioni di Lorentz sono lineari è evidente che

• Se x^μ e y^μ sono quadri-vettori anche la loro somma x^μ + y^μ o la loro differenza x^μ  y^μ è un quadrivettore

• Se x^μ è un quadri-vettore e a uno scalare allora ax^μ è anch’esso un quadrivettore

• Il termine scalare si riferisce a grandezze che non cambiano in una trasformazione di Lorentz

• Ad esempio c, la carica, la lunghezza a riposo, la massa a riposo …

• Le considerazioni precedenti ci permettono di definire, a partire da x^μ l’importante quadri-vettore dx^μ quadri-vettore che è la differenza di due punti infinitamente vicini dello spazio-tempo

• È di particolare importanza il modulo di dx^μ

• Lo scalare dτ è chiamato tempo proprio

• Coincide con il tempo ordinario nel sistema di riposo della particella (β = 0) È opportuno sottolineare che dτ è invariante

Trasformazione della velocità

• Sappiamo che la velocità della luce è invariante per trasformazioni di Lorentz (secondo postulato di Einstein)

• Ovviamente questo vale solo per c

• Come cambia la velocità di un punto P cambiando sistema di riferimento ?

• Consideriamo i soliti sistemi S e S' (in moto con velocità v) e scriviamo le leggi di trasformazione del differenziale dx^μ

• Il vettore x^μ descrive il moto del punto

• La velocità di P in S è (ricordiamo che dx⁰ = cdt)

• La velocità v è in direzione dell’asse x ( x¹ )

• In forma vettoriale la relazione trovata diventa

Trasformazione della velocità

• Un calcolo analogo per le altre componenti

• In forma vettoriale

• Osservazioni

• La leggi di trasformazione della velocità sono molto diverse da quelle di x^μ

• In particolare osserviamo che cambia anche la componente perpendicolare a v

• È facile verificare che se |u'| = c anche |u| = c

• La velocità della luce è la stessa nei due sistemi

• È facile verificare che se in un urto la quantità di moto (non relativistica) è conservata nel sistema S non lo è nel sistema S'

E per la terza componente

Quadri-velocità

• Le considerazioni precedenti implicano che la velocità non è parte di un quadri-vettore

• Vorremmo un quadri-vettore che contenesse le informazioni della velocità

• Ricordiamo che x^νdescrive il moto di un punto ed è un quadri-vettore

• Anche il differenziale dx^ν è un quadri-vettore

• Il differenziale dτ è un invariante (è uno scalare)

• Pertanto è un quadri-vettore anche la grandezza

• Ricordiamo l’espressione che abbiamo trovato per dτ

• Esaminiamo le componenti di η^ν

• Vediamo che la velocità ordinaria compare nella parte spaziale del quadrivettore ed è moltiplicata per il fattore relativistico γ

• Calcoliamo il modulo della quadri-velocità

Quadri-momento

• La quadri-velocità η^ν può essere utilizzata per costruire un quadrivettore di importanza centrale nella teoria relativistica

• Moltiplichiamo la quadri-velocità η^ν per lo scalare m_oc²

• La grandezza m_o è la massa della particella quando questa è a riposo

• Otteniamo un quadrivettore

• Utilizzando l’espressione esplicita per le componenti di η^ν = (γ, γv/c)

• Osserviamo che le dimensioni di p⁰ e di p^k sono le stesse

• In particolare hanno le dimensioni di un’energia

• Una definizione della parte spaziale che mantiene le dimensioni della meccanica classica è

• Si verifica sperimentalmente che il quadrivettore appena definito ha le proprietà della quantità di moto e dell’energia

• Il quadri-momento totale di un sistema di particelle isolate si conserva

• Infine, calcoliamo il modulo di p^ν