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Campo elettrico di una carica in moto rettilineo uniforme

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Academic year: 2021

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Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Elettromagnetismo

Campo elettrico di una carica in moto rettilineo uniforme

Quadrivettori e trasformazioni di Lorentz

Lezione n. 28 – 23.03.2021

(2)

La legge di Gauss

Possiamo adesso verificare che la legge di Gauss vale anche nel sistema S′

Ricordiamo che abbiamo derivato le leggi di trasformazione assumendo la validità della legge di Gauss

Pertanto si tratta di una verifica

Deve essere così!

Calcoliamo il flusso del campo E′ attraverso una superficie sferica centrata sulla carica

L'elemento di superficie è

Inoltre il campo è radiale

Otteniamo pertanto

(3)

La legge di Gauss

Dalle tabelle si ha

Otteniamo pertanto

E per finire Pertanto, anche se il modulo del

campo elettrico è diverso in punti

(4)

Ancora sulla misura della carica

Siamo adesso in grado di comprendere in modo più quantitativo le osservazioni e le cautele relative alla misura del valore di una carica in moto (dia. )

Avevamo infatti detto che la forza fra due cariche avrebbe potuto dipendere dal modulo della velocità e dalla direzione

Definiamo (in modo errato) il valore della carica in moto con la seguente procedura

Utilizziamo una carica di riferimento Q

Misuriamo la forza F fra q e Q

Definiamo il valore di q come

Alla luce di quanto studiato vediamo che la forza misurata (Q E ) è differente nelle posizioni 1 e 2

Abbiamo appena visto che il flusso del campo elettrico non dipende da β

Equivale a misurare il campo medio (o la forza media) su una sfera 137825

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Un campo variabile nel tempo

Abbiamo disegnato qualitativamente il campo elettrico di una carica in moto

Al tempo t = 0 la carica era nell'origine

Nei tempi successivi la carica occupa le posizioni x = vt

Se misuriamo il campo elettrico sempre nello stesso punto punto r vedremo un campo elettrico E che varia nel tempo

Ai tempi tj, j = 1,7 la carica in movimento occuperà le posizioni xj = vtj

Nel punto r il campo elettrico assumerà i valori Ej = E(r,tj)

Il campo in r, E(r,t), varia in modulo e direzione in funzione del tempo

(6)

Una carica che si mette in moto

Supponiamo di avere una carica a riposo

Ad esempio nell'origine

Disegniamo il suo campo elettrostatico

Supponiamo che improvvisamente, a t = 0

la carica si metta in moto con velocità uniforme v

Le variazioni di campo elettrico determinate dal fatto che la carica adesso si muove non possono essere percepite istantaneamente in tutto lo spazio

La perturbazione viaggia con la velocità della luce c

Al tempo t i punti nello spazio ad una distanza superiore a R = ct non possono sapere che la carica si è messa in moto

Per questi punti il campo deve essere ancora il campo elettrostatico della carica nell'origine

I punti più vicini di ct vedono il campo di una carica in moto

Lo "spessore" della regione di transizione dipende dal tempo che la particella ha

impiegato per passare dallo stato di riposo al moto rettilineo uniforme

Col passare del tempo la sfera di raggio ct diventa sempre più grande

(7)

Una carica che si mette in moto

La figura (presa dal libro di Purcell) mostra un disegno più accurato

È relativa a una carica negativa che si mette in moto

Le linee di campo fra la regione "interna" e la regione "esterna" sono state accuratamente raccordate

Si consulti il testo di Purcell per i dettagli

(8)

Una carica che si mette in moto

Abbiamo osservato che lo "spessore" della regione di transizione è determinato dal tempo che la carica elettrica ha impiegato per passare

Dalla condizione "a riposo"

Alla condizione "in moto rettilineo uniforme"

Quindi dipende dall'intervallo di tempo in cui è stata accelerata

La regione di transizione è una sfera di raggio ct

Il tempo t è il tempo trascorso da quando la carica è stata accelerata

Con il passare del tempo il raggio della sfera aumenta

L'informazione che la carica si è messa in moto "viaggia"

nello spazio e nel tempo

Come un'onda sulla superficie di un laghetto

Osserviamo che il campo elettrico nella "regione di transizione" cambia bruscamente la sua direzione

Da campo radiale diventa più o meno perpendicolare al raggio

Un campo elettrico trasversale alla direzione di propagazione

Vedremo che è presente anche un campo magnetico

La perturbazione dei due campi è un'onda elettromagnetica che propaga

(9)

Una carica che si ferma

Si verifica un fenomeno analogo se una carica in moto rettilineo uniforme si arresta

Al di fuori di una sfera di raggio ct il campo elettrico è quello di una carica in moto che si muove con velocità costante

Per r > ct il campo elettrico non sa che la carica si è fermata a t = 0

(10)

Una carica che si ferma

Anche in questo caso nella regione di transizione il campo è trasversale

Un onda sferica che si allontana dall'origine

Il raccordo fra le linee di campo all'interno della sfera e quelle all'esterno si fa utilizzando la legge di Gauss

Consideriamo il cammino in figura

Il tratto EA è perpendicolare al campo di una carica ferma in x = 0

Il tratto ABCD segue una linea di campo

Il tratto DF è perpendicolare al campo radiale di una carica in moto

Il flusso attraverso la superficie chiusa ottenuta da una rotazione intorno all'asse x è nullo

Il contributo proviene solo dalle superfici generate da EA e DF

Il flusso è nullo attraverso ABCD

Il calcolo permette di calcolare

(11)

Quadri-vettori

Abbiamo visto che nel passaggio da un sistema di riferimento all’altro la posizione e il tempo di un evento si trasformano “mescolandosi”

Lo spazio e il tempo non sono quantità indipendenti

Sono le componenti di una grandezza fisica nuova

Il quadri-vettore posizione (ct, x, y, z )

Introduciamo adesso una notazione più efficiente

Cambiamo nome alle coordinate spaziali

Introduciamo la coordinata temporale

Infine introduciamo le grandezze

A questo punto possiamo riscrivere le trasformazioni di Lorentz in una forma più compatta ed elegante

In forma matriciale

(12)

Quadri-vettori

Sappiamo inoltre che la trasformazione di

Lorentz, per costruzione, lascia invariata la quantità

Nella nuova notazione la quantità invariante è

Infatti, calcoliamo

Sostituiamo le quantità trasformate

Le due quantità sono uguali se γ22β2 = 1 = γ2(1  β2)

Si verifica facilmente

È il determinante della matrice

La Trasformazione di Lorentz ha determinante 1

(13)

Componenti Covarianti e Controvarianti

Le componenti del quadri-vettore che abbiamo definito sono le componenti controvarianti del quadri-vettore posizione

Vengono indicate con un indici in alto

Nella Teoria della Relatività si usano anche le componenti covarianti

Si indicano con un indice posto in basso

Sono definite come xμ = ( ct,−x, −y, −z )

Tramite i due tipi di componenti la quantità invariante è

Questa espressione ricorre molto spesso e pertanto è abitudine comune sottintendere la sommatoria

L’indice μ è detto muto o saturato

Gli indici saturati DEVONO sempre essere

Prende il nome di modulo quadrato

del quadrivettore e si indica

(14)

Componenti Covarianti e Controvarianti

Per passare facilmente dalle componenti

covarianti a quelle controvarianti si definisce il tensore metrico gμν

Le precedenti relazioni fra xμ e xμ si esprimono adesso semplicemente

Il modulo quadrato del vettore si può anche scrivere come

Analogamente si definisce il prodotto scalare di due quadri-vettori

È facile verificare che anche il prodotto scalare è invariante per trasformazioni di Lorentz

Un’utile espressione è il tensore gμν con indici covarianti e controvarianti

(15)

Trasformazioni di Lorentz

Abbiamo visto che in una trasformazione di Lorentz lungo l’asse x le

componenti del quadri-vettore tempo-posizione si trasformano secondo la legge

Il prodotto matriciale indicato si può esprimere in forma tensoriale

Notare le posizioni degli indici μ e ν e i segni degli elementi della matrice che corrisponde a questa disposizione degli indici

Altre forme della matrice

sottointesa la somma dell’indice contratto ν

x y

z

S x′

y′

z′

S′

(16)

Trasformazioni di Lorentz

L’invarianza del prodotto scalare ci permette di trovare alcune proprietà che caratterizzano una trasformazione di Lorentz

Introducendo le coordinate nel sistema S'

Si ottiene

In conclusione

Moltiplicando ambo i membri per gβσ si ottiene

Esercizio: verificare che

in forma matriciale

(17)

Tempo proprio

Dal momento che le trasformazioni di Lorentz sono lineari è evidente che

Se xμ e yμ sono quadri-vettori anche la loro somma xμ + yμ o la loro differenza xμ  yμ è un quadrivettore

Se xμ è un quadri-vettore e a uno scalare allora axμ è anch’esso un quadrivettore

Il termine scalare si riferisce a grandezze che non cambiano in una trasformazione di Lorentz

Ad esempio c, la carica, la lunghezza a riposo, la massa a riposo …

Le considerazioni precedenti ci permettono di definire, a partire da xμ l’importante quadri-vettore dxμ quadri-vettore che è la differenza di due punti infinitamente vicini dello spazio-tempo

È di particolare importanza il modulo di dxμ

Lo scalare dτ è chiamato tempo proprio

Coincide con il tempo ordinario nel sistema di riposo della particella (β = 0) È opportuno sottolineare che dτ è invariante

(18)

Trasformazione della velocità

Sappiamo che la velocità della luce è invariante per trasformazioni di Lorentz (secondo postulato di Einstein)

Ovviamente questo vale solo per c

Come cambia la velocità di un punto P cambiando sistema di riferimento ?

Consideriamo i soliti sistemi S e S' (in moto con velocità v) e scriviamo le leggi di trasformazione del differenziale dxμ

Il vettore xμ descrive il moto del punto

La velocità di P in S è (ricordiamo che dx0 = cdt)

La velocità v è in direzione dell’asse x ( x1 )

In forma vettoriale la relazione trovata diventa

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Trasformazione della velocità

Un calcolo analogo per le altre componenti

In forma vettoriale

Osservazioni

La leggi di trasformazione della velocità sono molto diverse da quelle di xμ

In particolare osserviamo che cambia anche la componente perpendicolare a v

È facile verificare che se |u'| = c anche |u| = c

La velocità della luce è la stessa nei due sistemi

È facile verificare che se in un urto la quantità di moto (non relativistica) è conservata nel sistema S non lo è nel sistema S'

E per la terza componente

(20)

Quadri-velocità

Le considerazioni precedenti implicano che la velocità non è parte di un quadri-vettore

Vorremmo un quadri-vettore che contenesse le informazioni della velocità

Ricordiamo che xνdescrive il moto di un punto ed è un quadri-vettore

Anche il differenziale dxν è un quadri-vettore

Il differenziale dτ è un invariante (è uno scalare)

Pertanto è un quadri-vettore anche la grandezza

Ricordiamo l’espressione che abbiamo trovato per dτ

Esaminiamo le componenti di ην

Vediamo che la velocità ordinaria compare nella parte spaziale del quadrivettore ed è moltiplicata per il fattore relativistico γ

Calcoliamo il modulo della quadri-velocità

(21)

Quadri-momento

La quadri-velocità ην può essere utilizzata per costruire un quadrivettore di importanza centrale nella teoria relativistica

Moltiplichiamo la quadri-velocità ην per lo scalare moc2

La grandezza mo è la massa della particella quando questa è a riposo

Otteniamo un quadrivettore

Utilizzando l’espressione esplicita per le componenti di ην = (γ, γv/c)

Osserviamo che le dimensioni di p0 e di pk sono le stesse

In particolare hanno le dimensioni di un’energia

Una definizione della parte spaziale che mantiene le dimensioni della meccanica classica è

Si verifica sperimentalmente che il quadrivettore appena definito ha le proprietà della quantità di moto e dell’energia

Il quadri-momento totale di un sistema di particelle isolate si conserva

Infine, calcoliamo il modulo di pν

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