Prova scritta di Matematica del 23/01/2008: Primo Esercizio.
(1) Si determini
(A) lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
2qsin(x
2)
.
(A1) lim
x→0+
(
π2− arccos(x)) − x √ 1 − x
2x
2q1 − cos(x)
.
(B) lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
2qlog(1 + x
2)
.
(B1) lim
x→0+
(
π2− arccos(x)) − x √ 1 − x
2x
2√
e
x2− 1 . (C) lim
x→0+
arcsin(x) − x(1 + log(1 − x
2)) sin(x)(1 − cos(x)) . (C1) lim
x→0+
arcsin(x) − xe
−x2log(1 + x)(1 − cos(x)) . (D) lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − xe
−x2log(1 + x)( √
1 + x
2− 1) . (D1) lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x(1 + log(1 − x
2)) sin(x)( √
1 + x
2− 1) .
Possibili Soluzioni: Gli esercizi proposti richiedono tutti il calcolo di limiti di forme indeterminate e possono essere risolti tramite l’uso iterato del Teorema di De L’H¨ opital. Allo scopo di semplificare le espressioni in gioco, nelle soluzioni riportate di seguito si cerca di fare uso quando possibile dei limiti notevoli.
(A) Il limite proposto si presenta nella forma indeterminata
h00i. Prima di utilizzare il Teorema di De l’H¨ opital osserviamo che ` e possibile operare una semplificazione. Infatti, essendo noto che lim
x→0+ sin(xx22)= 1, si ha
lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
2qsin(x
2)
= lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
2x · lim
x→0+
v u u t
x
2sin(x
2) = lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
3.
Utilizzando il Teorema di De l’H¨ opital su tale ultima espressione otteniamo
lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
3=
(H)lim
x→0+
√ 1
1−x2
− √
1 − x
2+
√x21−x2
3x
2.
Per calcolare tale ultimo limite ` e sufficiente raccogliere a fattor comune a numeratore l’espressione
√1−x1 2risultando
lim
x→0+
√ 1
1−x2
− √
1 − x
2+
√x21−x2
3x
2= lim
x→0+
√ 1 1 − x
21 − 1 + x
2+ x
23x
2= 2
3 .
(A1) Quasi identico ad (A) (si ricordi che arcsin(x) =
π2− arccos(x) per ogni x ∈ [−1, 1]). Utilizzando il limite notevole lim
x→0+ 1−cos(x)x2=
12otteniamo infatti
lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x √ 1 − x
2x
2q1 − cos(x)
= lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x √ 1 − x
2x
2x · lim
x→0+
v u u t
x
21 − cos(x)
= √
2 · lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x √ 1 − x
2x
3(=
0 0
).
Utilizzando il Teorema di De l’H¨ opital su tale ultima espressione e procedendo come in (A) otteniamo
lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x √ 1 − x
2x
3=
(H)lim
x→0+
√ 1
1−x2
− √
1 − x
2+
√x21−x2
3x
2=
= lim
x→0+
√ 1 1 − x
21 − 1 + x
2+ x
23x
2= 2
3 da cui concludiamo che il limite proposto vale
2√ 2 3
.
(B) Si utilizza il limite notevole lim
x→0+ log(1+xx2 2)= 1 ottenendo
lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
2qlog(1 + x
2)
= lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
2x · lim
x→0+
v u u t
x
2log(1 + x
2) =
= lim
x→0+
arcsin(x) − x √ 1 − x
2x
3(=
0 0
) =
(H)lim
x→0+
√ 1
1−x2
− √
1 − x
2+
√x21−x2
3x
2=
= lim
x→0+
√ 1 1 − x
21 − 1 + x
2+ x
23x
2= 2
3 .
(B1) Si utilizza il limite notevole lim
x→0+e
x2−1x2
= 1 ottenendo lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x √ 1 − x
2x
2√
e
x2− 1 = lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x √ 1 − x
2x
2x · lim
x→0+
s
x
2e
x2− 1
= lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x √ 1 − x
2x
3(=
0 0
) =
(H)lim
x→0+
√ 1
1−x2
− √
1 − x
2+
√1−xx2 23x
2=
= lim
x→0+
√ 1 1 − x
21 − 1 + x
2+ x
23x
2= 2
3 .
(C) Essendo noto che lim
x→0+ sin(x)x= 1, lim
x→0+ 1−cos(x)x2=
12, utilizzando il Teorema di de L’H¨ opital otteniamo
lim
x→0+
arcsin(x) − x(1 + log(1 − x
2))
sin(x)(1 − cos(x)) = lim
x→0+
arcsin(x) − x(1 + log(1 − x
2))
x
3· lim
x→0+
x
sin(x) · lim
x→0+
x
21 − cos(x)
= 2 · lim
x→0+
arcsin(x) − x(1 + log(1 − x
2))
x
3(=
0 0
) =
(H)2 · lim
x→0+
√ 1
1−x2
− (1 + log(1 − x
2)) +
1−x2x223x
2.
Raccogliendo a fattor comune l’espressione
1−x1 2e utilizzando i limiti notevoli lim
x→0+√ 1−x2−1
x2
= −
12e lim
x→0+ log(1−xx2 2)= −1 concludiamo che il limite proposto ` e uguale a
2 lim
x→0+
1 1 − x
2√ 1 − x
2− 1 + x
2− log(1 − x
2)(1 − x
2) + 2x
23x
2= 2 3 lim
x→0+
√ 1 − x
2− 1
x
2− lim
x→0+
log(1 − x
2)
x
2(1 − x
2) + 3
!
= 2 3 (− 1
2 + 1 + 3) = 7 3 .
(C1) Essendo noto che lim
x→0+ log(1+x)x= 1, lim
x→0+ 1−cos(x)x2=
12, utilizzando il Teorema di de L’H¨ opital otteniamo
lim
x→0+
arcsin(x) − xe
−x2log(1 + x)(1 − cos(x)) = lim
x→0+
arcsin(x) − xe
−x2x
3· lim
x→0+
x
log(1 + x) · lim
x→0+
x
21 − cos(x)
= 2 · lim
x→0+
arcsin(x) − xe
−x2x
3(=
0 0
) =
(H)2 · lim
x→0+
√ 1
1−x2
− e
−x2+ 2x
2e
−x23x
2.
Aggiungendo e togliendo 1 a numeratore, raccogliendo a fattor comune l’espressione
√ 11−x2
e utilizzando i limiti notevoli lim
x→0+ 1−√ 1−x2
x2
=
12e lim
x→0+e
−x2−1x2
= −1 concludiamo che il limite proposto ` e uguale a
2 · lim
x→0+
√ 1
1−x2
− e
−x2+ 2x
2e
−x23x
2= 2
3
lim
x→0+
√ 1
1−x2
− 1 − (e
−x2− 1) + 2x
2e
−x2x
2
=
= 2 3 lim
x→0+
√ 1 1 − x
21 − √
1 − x
2− (e
−x2− 1) √
1 − x
2+ 2x
2e
−x2√ 1 − x
2x
2!
=
= 2 3 lim
x→0+
1 − √ 1 − x
2x
2− lim
x→0+
e
−x2− 1 x
2√ 1 − x
2lim
x→0+
2e
−x2√ 1 − x
2!
= + 2 3
1
2 + 1 + 2
= 7 3 (D) Essendo noto che lim
x→0+ log(1+x)x= 1, lim
x→0+√1+x2−1
x2
=
12, utilizzando il Teorema di de L’H¨ opital otteniamo
lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − xe
−x2log(1 + x)( √
1 + x
2− 1) = lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − xe
−x2x
3x log(1 + x)
x
2( √
1 + x
2− 1) =
= 2 lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − xe
−x2x
3(=
0 0
) =
(H)2 lim
x→0+
√ 1
1−x2
− e
−x2+ 2x
2e
−x23x
2.
Per il calcolo di tale ultimo limite si pu` o procedere come in (C1) ottenendo come risultato il valore
73. (D1) Essendo noto che lim
x→0+ sin(x)x= 1, lim
x→0+√ 1±x2−1
x2
= ±
12, lim
x→0+ log(1±xx2 2)= ±1, utilizzando il Teorema di de L’H¨ opital otteniamo
lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x(1 + log(1 − x
2)) sin(x)( √
1 + x
2− 1) = lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x(1 + log(1 − x
2)) x
3x sin(x)
x
2( √
1 + x
2− 1) =
= 2 lim
x→0+ π
2
− arccos(x) − x(1 + log(1 − x
2))
x
3(=
0 0
) =
(H)2 lim
x→0+
√ 1
1−x2
− 1 − log(1 − x
2) +
1−x2x223x
2=
= 2 3
"
lim
x→0+
√ 1 1 − x
21 − √ 1 − x
2x
2+ lim
x→0+
log(1 − x
2)
−x
2+ lim
x→0+
2 1 − x
2#
= 2 3
1
2 + 1 + 2
