Indice
1. TEOREMA DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE ... 3
2. MEDIA PESATA ... 5
3. APPLICAZIONI ... 9
BIBLIOGRAFIA ... 15
1. Teorema delle probabilità composte
Abbiamo visto che, secondo lo schema delle scommesse (condizionate) coerenti, si è giunti alla seguente uguaglianza, valida per ogni E ed ogni H≠Φ:
.
Questa relazione viene chiamata teorema delle probabilità composte (facendo riferimento alla probabilità dell’evento composto E∧H).
Attraverso di essa abbiamo completato la valutazione delle probabilità relativo alle operazioni definibili in una famiglia di eventi.
Osserviamo che proprio per l’arbitrarietà di E ed H, se ora supponiamo E≠Φ, possiamo scrivere
,
confrontando le due espressioni del teorema delle probabilità composte, e considerando
che scommettere su (valendo la proprietà commutativa dell’intersezione di due eventi)
equivale per la coerenza a scommettere su ), otteniamo:
,
da cui se P(H)≠0 e P(E) ≠0 si ha:
.
Quest’ultima significativa espressione, ci dice che la probabilità di E supposto vero H si modifica rispetto a P(E) nella stessa misura della probabilità di H supposto vero E rispetto a P(H).
2. Media pesata
Consideriamo una partizione di Ω in H e HC, allora per un qualunque evento E si può scrivere:
E = E ∧ Ω = E ∧ (H ∨ HC) = (E ∧ H) ∨ (E ∧ HC).
Se si applicano il teorema delle probabilità composte e il teorema delle probabilità totali, per la coerenza scommettere sull’evento E comporta che occorre effettuare la stessa scommessa sull’evento (E ∧ H) ∨ (E ∧ HC), quindi deve essere:
P(E) =P[(E∧H) ∨ (E∧HC)] = P(EǀH)·P(H)+P(EǀHC)·P(HC).
Il risultato finale di questa espressione prende il nome di media pesata.
Vediamone subito un’interpretazione intuitiva: in presenza di una partizione di Ω in H e HC e di un determinato evento E, per valutarne la probabilità si può ragionare così: non sappiamo quale di due tra H e HC si verificherà, ma è certo che uno di essi lo farà, allora per valutare P(E) si può prima supporre vero H e valutare P(EǀH), poi supporre vero HC e valutare P(EǀHC), ma queste due probabilità andranno pesate (moltiplicate) per le rispettive probabilità che H e HC hanno di verificarsi, infine occorrerà sommare tra loro i due risultati per ottenere una media delle valutazioni.
Esempio.
Da un mazzo di 40 carte napoletane mischiate si estraggano due carte, consideriamo i due eventi seguenti:
H = “la prima carta estratta è un asso”
E = “la seconda carta estratta è un asso”
Valutare la probabilità di E.
Ovviamente, non sapendo quale dei due eventi H e HC si sia verificato non possiamo valutare direttamente la probabilità di E.
Procediamo, allora, secondo quanto stabilito dalla coerenza, applicando la media pesata.
Intanto valutiamo la probabilità di H. Supponendo le 40 carte equiprobabili e avendo nel
mazzo 4 assi, avremo P(H)= e di conseguenza P(HC) = 1−P(H) = .
Inoltre, sarà P(EǀH) = (poiché supposto che la prima carta sia un asso, i casi possibili
diventano 39 e i casi favorevoli ad E si riducono a 3) e P(EǀHC) = (poiché supposto che la prima carta non sia un asso, i casi possibili diventano 39 e i casi favorevoli ad E rimangono 4).
Pertanto, avremo
P(E) = P(EǀH)·P(H)+P(EǀHC)·P(HC) = + = .
Quindi P(E) = P(H) !
Questo risultato non deve sorprenderci, in quanto estraendo le due carte insieme e non guardandole abbiamo bisogno di “mediare” su due situazioni possibili che possono presentarsi: la prima è un asso oppure la prima non è un asso.
Mentre se sapessimo con certezza che la prima estratta è un asso la probabilità di E
sarebbe , viceversa se sapessimo con certezza che la prima non è un asso la probabilità di E
sarebbe .
Nel caso in cui abbiamo a che fare con una partizione di Ω in n eventi incompatibili , cioè tale che:
1. Hi∧Hj=Φ, con i=1,2,…,n, j=1,2,…,n e per i≠j;
2. H1∨H2∨…∨Hn = Ω;
allora la media pesata diventa:
P(E) = P(EǀH1)·P(H1)+ P(EǀH2)·P(H2)+…+P(EǀHn)·P(Hn) .
Un ulteriore aspetto importante è il seguente: supponiamo di avere una partizione di Ω in E ed EC, allora per il teorema delle probabilità composte, avremo
1 = P(ΩǀH)= P[(E∨EC) = =
;
da cui segue
P(ECǀH) = 1 – P(EǀH).
Pertanto, vale per le probabilità condizionate allo stesso evento H , quanto vale per le probabilità di un evento e del suo contrario. Potremmo interpretare questo risultato osservando che se si è nello stesso stato di informazione (che sia Ω o che sia H) le relazioni tra probabilità condizionate continuano ad essere le stesse di quelle delle probabilità non condizionate (che poi, appunto, è la stessa cosa che dire condizionate a Ω !).
Più in generale, dati due eventi A e B incompatibili, si ha:
P[(A∨B) .
Infine, sapendo come poter calcolare la probabilità dell’intersezione di due eventi qualsiasi, attraverso il teorema delle probabilità composte, possiamo valutare la probabilità dell’unione di due eventi E ed H compatibili attraverso la seguente condizione di coerenza:
P(E∨H) = P(E) + P(H) – P(E∧H).1
Questa relazione che si ottiene ragionando opportunamente sui relativi guadagni, ha un’interpretazione intuitiva molto semplice: l’area di due eventi E ed H compatibili, rappresentabili quindi attraverso due insiemi che hanno un’intersezione non vuota, è data dalla somma delle due aree di E ed H , a cui va tolta l’area che hanno in comune, perché altrimenti verrebbe contata due volte.
1 Si riconosce facilmente che quando E e H sono incompatibili risulta P(E
∧
H)=0; ritornando così alla relazione già stabilita (per la coerenza) in riferimento a eventi incompatibili : P(E∨H)=P(E)+P(H).3. Applicazioni
Forniamo, ora, un certo numero di applicazioni degli argomenti trattati in precedenza a campi di interesse con i quali possiamo imbatterci quotidianamente.
Cominciamo con il considerare la seguente situazione: prendiamo un campione di 100 persone, di cui sappiamo che “mediamente” 45 sono fumatori e che tra i fumatori l’80% è affetto dalla malattia ai polmoni X, mentre tra i non fumatori lo è solo il 30%. Scegliamo una persona a caso e indichiamola con A, qual è la probabilità che A sia affetto dalla malattia X? Indichiamo con E l’evento “A è affetto dalla malattia X”.
Nel procedere per dare una risposta al quesito è essenziale introdurre correttamente gli eventi da considerare, le eventuali operazioni tra di essi, stabilire i dati di cui siamo in possesso e solo successivamente passare alle valutazioni delle probabilità.
Pertanto, oltre all’evento E, già introdotto, possiamo considerare gli eventi H = “A è un fumatore” e HC = “A non è un fumatore”.
Allora, l’evento E potrà verificarsi sia se si verifica H che se si verifica HC e per quanto già visto sarà:
E = (E ∧ H) ∨ (E ∧ HC).
Per cui, per arrivare a valutare P(E), occorre valutare P(E∧H) e P(E∧HC).
Vediamo, ora, i dati di cui siamo in possesso.
P(H) = ; P(HC) = ; P(EǀH) = ; P(EǀHC) =
Quindi, applicando il teorema delle probabilità composte e quello delle probabilità totali, risulterà:
P(E) = P(E∧H) + P(E∧HC) = P(EǀH)·P(H)+P(EǀHC)·P(HC) = + · =
= 0, 525.
In definitiva, in base ai dati conosciuti (qui ottenuti da valutazioni frequentiste, basate sul fatto che interessano solo quanti eventi si verificano e non quali), la probabilità che una persona scelta a caso tra 100 sia affetta dalla malattia X è pari a 0,525, cioè di poco superiore al 50%.
Consideriamo, ora, il seguente problema: il Comune marino X deve decidere se tenere acceso il depuratore D (che ha un costo di esercizio) oppure no. Naturalmente tutto ciò è legato al tasso di inquinamento della costa facente parte del Comune.
Allora, per descrivere la situazione, consideriamo l’evento E = “il depuratore D è in funzione”, e gli eventi H = “la costa supera il tasso di inquinamento consentito” e HC = “la costa non supera il tasso di inquinamento consentito”.
Come al solito, l’evento E potrà verificarsi a seconda di due circostanze: il depuratore è in funzione e la costa è inquinata, oppure il depuratore è in funzione e la costa non è inquinata.
Supponiamo, che in base alle analisi fatte riguardanti l’inquinamento della costa, abbiamo
che mediamente la probabilità dell’evento H è P(H) = e quindi P(HC) = , mentre
supposto che la costa sia inquinata la probabilità che il depuratore funzioni è del 15%, cioè P(EǀH) =
, e viceversa supposto che la costa non sia inquinata la probabilità che il depuratore funzioni è
del 90%, cioè P(EǀHC) = .
Per cui, nuovamente, si ha
P(E) = P(E∧H)+P(E∧HC) = P(EǀH)·P(H)+P(EǀHC)·P(HC) = · + · = = = 0,7125.
Se al contrario avessimo P(H) = e P(HC) = , con gli altri dati invariati, risulterebbe P(E)
= 0,3375.
Riportiamo, infine, un’ulteriore interessante applicazione relativa all’affidabilità.
Un’impresa produce freni a disco per auto, di cui mediamente il 4% difettosi. Viene effettuato un controllo di qualità sui pezzi prodotti con un test che ha un’affidabilità del 98%
relativamente ai pezzi regolari (non difettosi) e del 97% relativamente ai pezzi difettosi, valutare la probabilità dell’evento E = “il test riconosce il pezzo come difettoso”.
Intanto, introduciamo gli eventi H = “il pezzo è difettoso” e HC = “il pezzo non è difettoso”.
Per quanto detto prima, abbiamo che P(EǀH) = e P(EǀHC) = .
Per cui poiché P(H) = e P(HC) = otteniamo, con la solita media pesata,
P(E) = P(EǀH)·P(H)+P(EǀHC)·P(HC) = = 0,058 .
Esercizi.
1. In un’urna ci sono 70 palline rosse su 100 e le rimanenti bianche. Ogni volta che viene estratta una pallina ne viene tolta un’altra dello stesso colore. Valutare la probabilità che le prime due palline estratte siano entrambe bianche.
2. In una stazione in media il 55% dei viaggiatori sono pendolari e di questi l’80% sono uomini, mentre lo sono solo il 40% dei non pendolari.
Qual è la probabilità che un viaggiatore scelto a caso sia una donna?
3. Una cartoleria vende giornalmente 50 penne, di cui mediamente 45 biro e 5 stilografiche.
Scelti a caso due acquirenti, stabilire qual è la probabilità che
a. Nessuno abbia acquistato una biro
b. Almeno uno abbia acquistato una stilografica
4. Un test per stabilire la presenza di una certa malattia X ha un’affidabilità del 95% sia per i malati che per i sani. Se solo lo 0.4% della popolazione soffre di questa malattia, si calcoli la probabilità che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata.
5. Una ditta produce impianti di illuminazione di due tipi: uno da interni e uno da esterni. Sul totale della produzione, che è costituita per il 70% da impianti da interni e per il 30% di
impianti da esterni, risultano mediamente difettosi lo 0.3% di quelli da interni e lo 0.2% di
quelli da esterni.
Valutare la probabilità che un cliente acquisti un impianto difettoso.
Soluzioni
1. H = “la prima pallina estratta è bianca”, E= “la seconda pallina estratta è bianca”.
P(E) = P(EǀH)·P(H)+P(EǀHC)·P(HC) = · + · = 0,297
2. F = “il viaggiatore è donna”, H = “il viaggiatore è un pendolare”.
P(F) = P(FǀH)·P(H)+P(FǀHC)·P(HC) = + · = = 0,38
3. B1 = “il primo acquirente compra una biro”, B2 = “il secondo acquirente compra una biro”, S1 = “il primo acquirente compra una stilografica”, S2 = “il secondo acquirente compra una stilografica”, E = “nessuno dei due acquirenti compra una biro”, H =
“almeno uno compra una stilografica”.
a. P(E) = = P( )·P( = = 0,008.
b. P(H) = P(S1) + P(S2) – P(S1∧S2) = P(S1) + P(S2)2 – P(S2 ) = = = 0,90.
4. Siano H = “il paziente soffre della malattia X”, con i=1,2,3; S = “il test riconosce il paziente come sano”.
2 Si osservi che, come nell’esempio relativo all’estrazione di due carte contemporaneamente da un mazzo formato da 40 carte e agli eventi “la prima carta è un asso” e “la seconda carta è un asso”, è naturale che sia P(S2) = P(S1).
S =(S∧H)∨(S∧HC), P(S) = P(SǀH)·P(H)+P(SǀHC)·P(HC) = + + · = 0,9464.
5. E = “un cliente acquista un impianto difettoso”, H = “l’impianto acquistato è da interni”.
P(E) = P(EǀH)·P(H)+P(EǀHC)·P(HC) = · + · = 0,0027.
