Sulle funzioni epicicloidali e loro applicazione ad alcuni problemi di Fisica matematica.

Sulle funzioni epicicloidali

e loro applicazione ad alcuni problemi di F i s i c a matematica.

M e m o r i a di CATALDO AGOSTINELLI (a Torino).

Suato. - S i c o n s i d e r a l ' e q u a z i o n e d i f f e r e n z i a l e alle d e r i v a t e p a r z i a l i del 2 o o r d i n e i n d u e v a r i a b i l i ~, :? ( c o o r d i n a t e p o l a r i ) , che ~ la t r a s f o r m a t a d e l l ' e q u a z i o n e deZle v i b r a z i o n i d i u n a m e m b r a n a e l a s t i c a m e d i a n t e le f o r m u l e che ddmno la r a p p r e s e n t a z i o n e c o n f o r m e del c a m p o p i a n o r a c c h i u s o d a u n a epicicloide con n - 1 lobi (n ~ 1), con soli flessi, s o p r a u n cerchio d i r a g g i o u n i t a r i o . S i costruiscono quelle s o l u z i o n i di q u e s t a e q u a z i o n e , che vengono c h i a m a t e f u n z i o n i epieicloidali, le q u a l i si r i d u c o n o a l p r o d o t t o di u n a f u n z i o n e d i BESSEL di p r i m a specie di u n d a t o o r d i n e i n t e r o k p e r cos k% o p e r s e n k~, q u a n d o l' epicicloide t e n d s a u n cerchio.

_Per m e z z o di esse si r i s o l v o n o a l c u n i p~'oblemi a i l i m i t i che i n t e r v e n g o n o i n quello delle v i b r a z i o n i d i u n a m e m b r a n a e l a s t i c a con c o n t o r n o e p i e i c l o i d a l e fisso, i n quello d e l l a p r o p a g a z i o n e g u i d a t a d i onde e l e t t r o m a g n e t i c h e i n u n tubo c i l i n d r i c o i n d e f i n i t o a sezione e p i c i c l o i d a l e r i e m p i t o d i dielettrico omogeneo "isotropo, e i n quello d e l l a e o n d u z i o n e del calore i n u n c i l i n d r o e p i c i c l o i d a l e omogeneo i n d e f i n i t o che i r r a d i a ealore i n u n a m b i e n t e esterno a t e m p e r a t u r a costante.

§ 1. I n t r o d u z i o n e .

1. I problemi relativi alle vibrazioni di u n a m e m b r a n a con contorno epieicloidale fissata al suo orlo, alla conduzione del calore in un cilindro omogeneo di sezione epieicloidale, alia propagazione g u i d a t a di onde elettro- m a g n e t i c h e in u n tubo eilindrieo di sezione anch' esso epicieloidale, etc., condueono alla considerazione di sotuzioni di u n a d e t e r m i n a t a equazione differenziale del 2 ° ordine alle derivate parziali, con assegnate condizioni at contorno, soluzioni che danno luogo a nuove t r a s e e n d e n t i t h e gi'& in u n a n o t a lineea (') e h i a m a i funzioni epicicloidali,

Delia d e t e r m i n a z i o n e esplicita di dette funzioni, ta eui i m p o r t a n z a @ legata ai problemi di F i s i e a m a t e m a t i c a a cui ho aceennato, mi oeeupo ora in questo lavoro,

I1 eampo piano in cui esse sono definite ~ limitato da u n a epicieloide E o t t e n u t a facendo rotolare u n cerchio y di centro C e di raggio a, esterna- (l) C. ~LGOSTINELLI, S u l l a d e t e r m i n a z i o n e degli a u t o v a l o r i n e l p r o b l e m a delle v i b r a z i o n i d i u n a m e m b r a n a con c o n t o r n o ~pieicloidale fisso, ~ R e n d i c o n t i d e i l ' A c c a d e m i a ~Tazionale dei L i n c e i ,, serie V I I I , vol. Y I I , fasc. 6, (19~9). V e d i a n c h e : A. PIGbTEDOLI~ F r e q u e n z e d i v i b r a z i o n e d i u n a m e m b r a n a e l a s t i c a a contor~o epicicloidale fisso, ,, A n n a l i di lYIatematica ~, (~), 30, (1949), 231-307. I d e m , S u u n a e q u a z i o n e differel~ziale ehe si p r e s e n t a nel p r o b l e m a pelle v i b r a z i o n i d i u n a m e m b r a n a a c o n t o r n o e p i c i c l o i d a l e fisso, ~ Atti del Sem. )/Iatem. e fis. d e l l ' U n i v , di 1Kodena "7 vol. I V , (1949-50).

166 ~C. AGOSTINF-L~I: S u l l e f u n ~ o n i epiaicloidali e lore applicuzione, ecv.

m~nte sopra un altro cerehio P di raggio (n ~ 1)a, (n intero ~ 1), col centre 0 n e l l ' o r i g i n e di un sistema di assi cartesiani ortogonali O(xy). S u p p o s t o ehe la posizione iniziale C , di C sia s u t l ' a s s e O x e che un punto M interne a I"

e rigidamente collegato con y, sia pure ini~ialmente in una posizione Me di coordinate ( n a + b, 0), con 0 ~. b ~ a, dope la rotazione del punto C interne ad 0 di un angolo % le coordinate di M, ehe descrive una epicieloide chiusa E con n - 1 lobi e con soli flessi, saranno

(1,) x --- n a cos ¢p + b cos n % y - - n a sen ¢p -4- b sen n~.

Inoltre le equazioni che d~nno la r a p p r e s e n t a z i o n e conforme del campo interne alla epicicloide E descritta dal punto M, sul campo interne ad una circonferenza di raggio p - 1, r i s u l t a n o

(2~) ~e ---- n a p cos q0 + bp" cos n % y --- n a p sen q0 -~- bp" sen n%

2. Nel case d i u n a m e m b r a n a con contorno epicicloidale definite dalle ~1~).

fissa al sue orlo, lo spostamento w di un sue punto P(w, y), n o r m a l m e n t e al sue piano, per effetto della sua vibrazione, soddisfa alla nota equazione di D'ALEMBERT

la quale, q u a n d o si ponga

$~w ~2w 1 ~2w

I- - - --~ 0, ( V - ' - costante),

~02 3y ~ V" ~t "~

w --- u(oo, y) sen (k V t ÷ ~),

con )., 0¢ costanti, porge, per la determinazione della funzione u(x, y) l'equazione

(3,) ~ u ~a-- i -4- ~-~ + ),~u ~ 0, ~'u

con la condizione t h e la u si annulli al eontorno.

T r a s [ o r m a n d o l ' e q u a z i o n e (3~) m e d i a n t e ie (2,) essa diventa

~ u 1 3u I 3~u

(4i) ~---~ + ~ ~-~ + p-~ ~¢p--~ q - ),2n~a~[1 q- 2c~ "-~ cos (n q 1)~ q- c~p~('~-i~]u ~ O, eve b o - - - ~ L I1 p r o b l e m a delle vibrazioni della m e m b r a n a epicicloidale b

a

si riduce allora a quello di d e t e r m i n a r e delle soluzioni della (4~), regolari nel campo interne al cerehio di raggio p---1, e che si a n n u l l a n o per p - - 1 .

8. Se consideriamo era la propagazione di onde e l e t t r o m a g n e t i c h e in un tube cilindrico indefinite, la cui sezione retta abbia per profile l'epieicloide E dianzi definita, supposto riempito di dielettrico omogen+eo e i s o t r o p o di costante dielettrica e e di permeabiliti~ m a g n e t i c a ~, i vettori E, H , che r a p p r e s e n t a n o r i s p e t t i v a m e n t e il eampo elettrico e il eampo m a g n e t i t e entre il tube, soddi-

'C. A o o s w r f r ~ : Sulle ~u.nzioni epivicloidall e loro appl~cazione, etc. 167 sfano, come si sa: alle seguenti equa~ioni di MAXWELL

(5,)

3~

co - ~ ' rot E--:- o, ~t ' o r e % ~ la veloeit~ della l u t e .

Sulla parete del tubo, supposto p e r f e t t a m e n t e eonduttore, sarh nulla la c o m p o n e n t e tangenziale del campo elettrico, eio~

(5[) E A n = 0,

essendo "-nil v e r s o r e della n o r m a l e alla superfieie.

Con r i f e r i m e n t o a coordinate ~, % z, o r e Oz ~ 1' asse det cilindro epiei- cloidale, il q u a d r a t o ds ~ deW elemento lineare di spazio, in virtfi delle (2,) r i s u l t a

ds ~ = n~a~[1 q- 20? "-~ cos (n - - 1)~0 -4- ~ ( n - ~ ) ] ( d ~ -4- ~ d ~ ~) ~- dzL

In questo sistema di coordinate, detto P(y, % z) un punto interno a]

tubo e indicando con

- - 3P

E v = E X ~ ,

- - 3P

le componenti covarianti del campo elettrico e del eampo magnetico, le equa- zioni vettoriali (5~) porgono il seguente sistema di equazioni s e a l a r i :

(~,) (~H~ ~H~ t_ ~ ~,o

, ~ ( ~ H ~ _ ~ H o ~ _ ~F~ ~ (~Eo ~E~t_ ~ H ~

(6/)

nelle quali p e r breviti~ si b posto

(7,) R ~ = 1 + 2C~n--' C o s ( n - - 1)~ + c ~ ~`'~-', ₌

~-~ \ ~

~ ]'

mentre la eondizione {5,') alla s u p e r f i c i e d i v e n t a

- - 3 P

E A ~ = O ,

eiob

(81) E o --- 0, E~ --- 0, p e r ~ = 1.

168 C. A~os~rm~r~T: sulie ]un.vioni epielcloida~ e ioro app~cazione, etc.

Se supponiamo, come o r d i n a r i a m e n t e si fa in questo g e n e r e di questioni, ehe il campo elettromagnetieo sia armouico rispetto al tempo, e indichiamo con kc~ la pulsazione, e e h e s i propaghi net verso positivo d e l l ' a s s e z con u n a velociti~ eostante V ~ - - , possiamo porre, sotto f o r m a eomplessa

0~

F ~ - ~ e , ~).~(~*-~°), o r e ~(~, ~), ~('-~p, ¢~) sono i vettori iniziale (t = 0), e per z - - 0 .

E--= ~9, ~) e~(~°t-~)

del campo etettromaguetieo a l l ' i s t a n t e Allora, se indichiamo ancora con ~ ,

~,,

n~a.,R~ ~ \ - ~ -~ ] ---- i k ~ z ,

e le condi~ioni al contorno (8,) diventano

(10~) ~ ~- 0, ~ == 0,

1 ' ~($~ ~ = - i , , ~ g

per p = 1.

Dalle prime due delle (9,) e delle (9t') ponendo k ~ : k ~ t - - a ~, si ricava

i (11,)

gp ---.---~ k, - - -- ~p ~0 ]

e sostituendo helle r i m a n e n t i si ha ehe ~ , ed ~z devono verificare la mede- sima equazione differenziale (41) , con eondizioni al c o n t o r n o ehe per le (10~) e la 2 a delle (114) risultano

(i2,) g , - - 0, k~p - ~ - - - e - - - - 0, p e r 0 = 1.

Queste eoudizioni si possono r e n d e r e eompatibiti in due modi d i v e r s i : 1 ° P o n e n d o i d e n t i e a m e n t e ~----=0, e quindi E~.-~O (onde di tipo magnetico).

C. AGOSTIN]~I-~LI: Sulle ]unzioni epieicloidali e loro applicazione, eec. 169 In questo caso la e o m p o n e n t e ~z dal eampo elettromagnetico dovr~

verificare l ' e q u a z i o n e differenziale (4~) con l a cm~dizione al contorno

~:~ --- O, per ~ -~ 1.

Ottenuta la ~G le r i m a n e n t i date dalle

~13,)

eomponenti del eampo, per la (11,), saranno k~ 1 ~ ~---ik~ a ~

2 ° P o n e n d o i d e n t i c a m e n t e ~ ~ O, cio~ Hz ---- 0 (onde di tipo elettrico).

In tal caso la e o m p o n e n t e ~ del eampo elettromagnetico dovrh verifi.

care l ' e q u a z i o n e differcnziale (4~) con la condizione ai limiti 8z ---- 0, per ~ ~--- 1.

D e t e r m i n a t a la $z le altre componenti del campo, in virt~ della (11~) saranno date dalle

(14i)

$~ ---- - - ~ ;,-~ ~ , $~ = ~ i )-z_, ~ ,

• k~ 1 ~ : .k~ a ~

J f p ~ z ) ~

1. Consideriamo in[ine il p r o b l e m a della conduzione del calore in un cilindro omogeneo ir.definito a sezione epieicloidale) n e l l ' i p o t e s i t h e la tem- p e r a t u r a sia i n d i p e n d e n t e dalla coordinata z, e s u p p o n e n d o che irradi calore n e l l ' a m b i e n t e esterno a t e m p e r a t u r a costante u g u a l e a zero.

La t e m p e r a t u r a U in ogni punto P(x, y) interno al cilindro e in un istante generico t dovrh soddisfare a l l ' e q u a z i o n e differenziale

(15t) O~U ax--~ ~ -+- O~U 1 aU ~ O,

ay "~ k 0 at

o r e k o ~ u n a costante positiva d i p e n d e n t e dalla densit'~ del corpo e dalla eonducibilit~ interna, m e n t r e alla s u p e r f i e i e deve aversi

(16,) d V

dn ÷ h U - - O.

d U

essendo d-~ la derivata n o r m a l e (esterna) di U, ed h u n ' a l t r a eostante dipen.

dente dal potere emissivo alla superfieie.

A n n a I i di Maten~atica 22

170 C. AC~OST~'~,x: Sulle funzioni epieicloidali e loro applicazione, ecc.

P o n e n d o U---u(x, y)e - z ~ la (15~) si r i d u c e alla stessa equazione (3~) e la eondizione (16~) diventa

(16~') d u d-~-+- h u - - O.

Mediante la trasformazione definita dalle equazioni (2,) si ha, ehe la funzione u deve essere aneora soluzione d e l l ' e q u a z i o n e differenziale (4~). In quanto alia eondizione al eontorno, poieh~ netto n il versore della n o r m a l e e s t e r n a alla superficie, r i s u l t a

~ 3 P OP ~u

(17,)

la detta condizione d i v e n t a

(16"~) na---R ~--~ "+" h u = O, per ~ - - 1, o r e il valore di R ~ definito dalla (7,).

§ 2. L e f u n z i o n i ~ .

1. P e r la r i c e r c a di soluzioni d e l l ' e q u a z i o n e differenziale (4,), ehe per- m e t t a n o di risolvere i problemi preeedenti, poniamo per semplieit~

(1,) r - - ),na~, y ~ (),na),_ ~

e allora la detta equazione diventa

~ u 1 3u 1 3~u

~r ~ ÷ r ~--t- ~ ~-~ ~- [1 -~- 2"fr n-~ cos (n - - 1)~ -I- y~r2C'~-')]u - - O, ehe per y = 0 , cio~ c - - ' 0 , si r i d u c e alla

3~u 1 3u 1 ~ u

. . . -I- u ~ 0~

3r ~ + r ~ + r ~ ~o "~

ehe ammette soluzioni della, forma, regolari per r = O, Jh(r) cos k% Jh(r) sen k % essendo Jh(r) la f u n z i o n e di Bessel di 1 a specie e di ordine k, con k intero positivo o nullo.

P r o p o n i a m o c i allora di d e t e r m i n a r e soluzioni della (2~) che per " ( - - 0 si r i d u e a n o a J h ( r ) c o s k % o p p u r e J h ( r ) s e n k % ehe indicheremo r i s p e t t i v a m e n t e con ~(a)(r, ~, y), ed ~*(a)(r, % y).

A q u e s t e funzioni, come p u r e ad ogni loro combinazione lineare a coef- ficienti costanti, d a r e m o ora pifi p r o p r i a m e n t e il nome di funzioni epicicloidali.

C. A G O S ~ N ~ : : Sulle funzioni epie~cloidali e loro appl/icazione, etc. 171 I n c o m i n e i a n d o d a l l e p r i m e , se i m m a g i n i a m o la $(a~ s v i l u p p a t a in serie di p o t e n z e di y, a v r e m o u n o s v i l u p p o d e l l a f o r m a

oo

(3~) ~(a' ---- Ja(r) cos k~ + E~ y~/a)(r, ~).

1

S o s t i t u e n d o n e l l a (2~), e t e n e n d o con$o ehe la Ja(r) s o d d i s f a a l l ' e q u a z i o n e d i f f e r e n z i a l e

d~J~ 1 ( k ~)

d r

- ~ -~- r + 1 - - ~ J~ - - O, si h a

oo y~t/3~J `~) 1 3~/~' 1 3 ~ J ~ )

~ " \--~r:- + r ~r ~- r~ 3 ~ -l- $~(~), ÷ 2 y r ' - : J a ( r ) cos k ~ . c o s (n - - 1)¢~ +

GO CO

-t- y~r~("-i)Ja(r) cos k~ ~- 2r ~-~ cos (n - - 1)¢~. ~ / y ~ $ ~ + r ~(n-~) Y.~ ~ , ~ ---- O.

2 3

Q u e s t a d o v r h essere i d e n t i e a m e n l e v e r i f i c a t a q u a l u n q u e sia ~,; percib u g a a g l i a n d o a zero i c o e f f i c i e n t i d e l l e s u c c e s s i v e p o t e n z e di y, si h a il s i s t e m a

Or '~ ÷ r 3r -t r~ O~ ~ + ~ - t - 2 r n - : J a ( r ) . c o s k T . c o s ( n - - 1 ) ~ - ~ O ,

(I) ~ nt- r 3---r-- + r "~ 3T ~ + ~'(~) + r~(~-~'Ja(r) cos k~ -t-

-t- 2r '~-~ cos (n -- 1)~.$, (~) - - O,

. . . . 1 ) ~ . ~ _ : ÷

-+-r 3r + r ~ $ ~ + + cos - -

+ r ' ~ ' n - ' $ ~ u - - O, (7" ---- 3, 4, 5, ~..), che e o n s e n t e di e a l c o l a r e p e r via r i c o r r e n t e le f u n z i o n i Sj(~).

2. L a p r i m a d e l l e (I) si pub s o r i v e r e

3r ~ -~ r 3 ~ q r "z 3V 2 -I-~(~)-;-r~-~Jh(r)[c°s(k + n--1)V-I-c°s(k--(n--ll)v]---O' e p o n e n d o

$i <~' ---- $~k~(r} cos (k + n - - 1 ) ~ . $~)~(r) cos (k - - (n - - 1))%

si h a n n o p e r $(~:)i(r)ed $ ~ ( r ) l e e q u a z i o n i d i f f e r e n z i a l i

dr.~ -~ r d r ~ ' ~ " I- 1 - - r ~ $(iI')1 -I- r ' - ~ Ja(r) ~- O,

~,2 - - ~ ~ + 1 1 (k - - n ~- 1)~]~(~,) ] ~ i ~ + r n _ ~ j k ( r ) ---- O.

d r ~ q r d r r 2

172 C. Aoos~r~nhL:: Sulle f u n z i o n i epicictoidali e loro app~eazione, ecc.

C e r c a n d o di q u e s t e soluzioni d e l l a f o r m a

o o

con A~(r), Bh(r) f u n z i o n i i n e o g n i t e di r, t e n e n d o e o n t o d e l l ' e q u a z i o n e differen- ziale delle f u n z i o n i di BESSEL e delle note relazioni r i e o r r e n t i che legano q u e s t e funzioni, si t r o v a f a c i l m e n t c

•(k)

~ - - 4 n ( k - - 1) [J~(r) + J~_,(r)] - - ~-n J ~ _ d r )

o(k) r n + ~ r n

~'~ -'-:- - - 4 n ( k ÷ 1 ) [ 4 ( r ) + J~+,(r) ---- - - 2n 4 + , ( r ) , e p e r t a n t o

r n

(4~) ~'~) - - - - [ J a _ , ( r ) . cos (k + n -- 1)~ - - J , + , ( r ) . cos (k - - (n - - 1)~0].

3. S o s t i t u e n d o o r a n e l l a s e e o n d a d e l l e ti) in l u o g o di ~(~) il v a l o r e tro- vato, si ha, p e r la d e t e r m i n a z i o n e d e l l a f u n z i o n e $~(~, l ' e q u a z i o n e d i f f e r e n z i a l e

3~¢~) 1 b6~ (~) 1 ~ < ~ )

~r

---~'. + r- ~-~r + r ~ - - ~ -{- &~(~) "-{- r~:~-°J~(r{" cos k~ -{--

r ~ n - - i

+ ~ { J k - , ( r ) " [cos(k +2(n ^- 1 ) ) ; ~ + c o s k ~ ] - - J ~ + , ( r ) [ e o s k ~ + c o s ( k - - 2 ( n - - 1 ) ) ~ ] } = 0 , e p o n e n d o

::~ 2(n 1))q0 + ~2~(r) cos

~2 '~) --= $~)~(r) cos kcF + ~ , , t r ) c o s (k + -- ~k) (k - - 2(n - - 1))%

si o t t i e n e il s i s t e m a

d ' ~ 1 k"\ ,I,) r ~ n _ ~ j ~ r ' ' - ~ d r ~ + r d r

~ 2 2 ~ 2 3

d r ' + -r - - + d r 1 - - r z ~"~ -~- ~ J a _ , = 0,

d r ' r d r r ~ 2 n

r ( J h - i + J k + , ) , la prima, di I n virtfi della f o r m u l a r i e o r r e n t e Jh(r)---~-~

q u e s t e e q u a z i o u i d i v e n t a k "~

dr'- r d r r ] ~

+ 1 + (n ^- = 0,

C. AGOSTL~E~I: Sulle funzioni epicictoidali e loro appbicazione, ecc. 173

c h e s m m e t t e la s o l u z i o n e

r 2 n + t

4n ~ Ja(r).

~(k) po- O s s e r v i s m o o r s e h e l ' e q u a z i o n e i n _~rJ 0 si o t t i e n e d s q u e l l a in ~ , n e n d o k - - 1 a l p o s t o di k, 2 u al p o s t o di n, e 2n~(#~ al p o s t o di ~ t "(~)" R i c o r - d a n d o il v a l o r e di rff') si d e d u c e p e r c i b

~(~) - - r : n

~ - 2 . 4 n ~ Ja_,(r).

r~ (k) c a m b i a n d o k

Cosi p u r e l ' e q u a z i o n e i n ~ 3 rjk) si o t t i e n e d s q u e l l s i n ~ i n k + 1, n in 2n, e d ~(e) i n --2ng~e~ ; q u i n d i

(# r ~"

N e s e g u e

r TM

(52) ~(~)~- 2.4n': [Ja_2(r)eos(kd-2(n--1))~-- 2Jh(r)cosk~ +Jh+2(r)cos(k--2(n 1))9].

C o n o a l c o l i p e r f e t t a m e n t e a n a l o g h i si r i e a v a

r TM

t~ (a) - - 23.3 ! n~ { J ~ _ 3 ( r ) . e o s (k + 3(n - - 1))9 -- J a + J r ) c o s (k - - 3(n - - 1))cp - - - - 3 [ J A _ d r ) c o s (k + n - - 1)~p - - g~+jr) c o s (k - - (n - - 1))¢p] 1,

r 4 n

~ 4 {/~) ~ 2 ' . 4 ! n ~ 1 J k - , c o s (k -t~ 4 ( n - - 1))9 + Ja+4 c o s (k - - 4 ( n - - 1})~p - -

- - 4[J~_2 cos (k -+- 2(n - - 1)):p -+- Ja+~ cos (k - - 2(n - - 1))¢p] -+- 6 J a cos kcp I •

4. P r e n d i a m o o r a i n c o n s i d e r a z i o n e l ' e q u s z i o n e g e n e r i e a del s i s t e m a (I}, I c a l c o l i p r e c e d e n t i m o s t r a n o c h e s a r a in g e n e r a l e

~j(a) ~ rlnF.(a)tr

~,¢P)

ove ~_.j ~,, ~o) ~ somma di prodotti della forma

Jh~h(r}oos(k--h(n--1))%

JA-h{r) cos {k +

h(n-

~ione differenzis]e

~- r ~ + r ~ ~v ~ ÷ 1 r~ ]

2 1 F(kt

+ r- c o s (n - - 1)cp.F}~)l -I- ~ j - 2 ---~ 0,

- t -

174 C. AC~OSTINI~IJbI: Sulle funzioni e~ieieloidal~ e loro a~)pl~eaz.lone, eev.

l a q u a l e , p e r j = 2 h ( p a r i ) , e p e r j = 2h + 1 ( d i s p a r i ) , p o r g e

(63

~ " ~ h _ I _ + .

~r ~ r Or r ~ ~

~'A., 2 h - ] - I

~r ~ r

+ .(1 + 4h~n2~(~)--~-)z'~ +

2 1 ^{~ , ~}

+ r - c o s ( n - - 1 ) ~ . F(~'~_~ + ~ ~, :~(~_~) = 0 ,

~'~(~) ( (2h + 1)~n~_l~,

1 ~'~+---~ + 1 +

2 1

+ r- c o s ( n - - 1 ) ~ . F ~ + --r. i~(~_~ - - 0.

(7..,)

P o n e n d o

h

F(k) 2a --- ahoJh(r) c o s k~ ^{+ Y~} [ah,J~_~i(r) c o s (k + 2i(n - - 1))~ +

1

+ a ' ~ J ~ ÷ , , ( r ) c o s (k - - 2i(n - - 1))¢p],

h

F(~) = Y., [b~,4-,,,+,,(r) 2 h - I - t c o s (k + (~i + 1 ) ( . 1))~ +

0

__]_. ! , _ _

b a,Ja+¢,,+,,(r) c o s (k (2i + 1)in - - 1))V], o v e l e a, a', b, b' s o n o c o e f f i c i e n t i c o s t a n t i d a d e t e r m i n a r e , si h a

h - - 1

2 c o s ( n ^{- -} 1)¢p. ~(~) ~-. ~ h - , - - Ei { b h - i , ~ J h _ , ~ + t ) [ c o s (k + (2i + 2)(n + 1))¢~ +

0

+ c o s (k #- 2i(n - - 1))~] + b'h_,, ~ J a + ( , , + ~ ) [ c o s (k - - 2 i ( n - - 1))~ + + c o s (k - - (2i + 2)(n - - 1 ) ) ~ ]

},

2 c o s (n - - 1 ) ~ . F ! klu~ - = a a 0 J a [ c o s (k + n - - 1)¢¢ ~- c o s (k - - (n - - 1))q0] +

h

+ E, { ah,J~_,,[ c o s (k + (2i + 1)(n - - 1))¢~ + c o s (k + (2i - - 1)(n - - 1))¢~] +

1

+ a'n,Ja+~,[cos (k - - (2i - - 1)(n - - 1))¢~ + c o s (k - - (2i + 1)(n - - 1))~] }.

S o s t i t a e n d o n e l l a p r i m a d e l l e (62) , e t e n e n d o c o n t o d e l l ' e q u a z i o n e d i f f e - r e n z i a l e d e l l e f u n z i o n i d i B E S S ~ L , si h a

4h2n 2 ~

h j , a _ , , ] ( 2i(n 1))~ t + 4na'h, [ n(h2 - - i~)r + i(k + 2i) ja+~, +

+ - COS k -+- - - -2

r

h ] i h-1

+ r- J ' a + , ~ c o s (k - - 2i(n - - 1))~ + r ~o' t b h - , , , J a _,2,+,,[cos (k + (2i + 2)(n--1))cp +- + cos(k+2i(n--1))~] ~ b'h_~, ~ J k + ( ~ , + j ) [ c o s ( k - 2 i ( n - 1))~+cos(k--12i+2)(n--1))~]} +

1 1 k-1

+ - ~ a a - , , oJ, c o s k ~ + ~z El [ a h - , . , J a - , , c o s (k + 2i(n - - 1))¢p +

+ a ' n _ , , ,J'~+~i c o s (k - - 2i(n - - 1))~] = 0.

C. AGOSTLNELiLI: S u l l e f u n z i o n i epieicloidali e loro app~i'cazione, ecc. 175 U g u a g l i a n d o a zero i c o e f f i c i e n t i di cos k% cos (k + 2 i ( n - - 1))%

cos ( k - 2 i ( n - 1))% (i = 1. 7, ..., h) si o t t e n g o n o le e q u a z i o n i

( 4 h 2 n 2 4 h n ~ 1 1

a ~ , ~ - T i - Jh + - - r g ' h ] + r ( b n - , , , J h - t + b'h_,, 0Jh+,) + ~ a h - , , 0Jh = 0,

~nah" q [ n ( h ' - - - i ~ ) - - i ( k - - J h - ~ , + r , h - ~ ] + r [ b ~ - , , ~ - J k - , ~ , - ~ , 1

+ ~ a a _ , , i J k - , , = O, 1 (i -= 1, 7, ..., h - - 1),

(8~) 4 n a ] h ( 2 h - - k) J h _ , h + h J ' h _ , h r~ + r l b h - - " h - - f l h - - ( ' ~ - - " = O '

, ~ n ( h 2 - - i 2 ) + i ( k + 2 i ) h , ] 1 , , +

1 ,

+ ~ Z a h _ , , ~ J k ÷ = i = 0 , ( i = 1 , 2 , . . . , h - - l ) , h , ] l b ,

4 n a ' ~ a [h(2h + k) Jh+*h ⁺

[ r ~- r J h+,~ + h - , , ~ , - , J a + , ~ - , "-- O,

le q u a li d o v r a n n o r i d u r s i a d e l l e ident~itg. T e n e n d o c o n t o d e l l e f o r m u l e r i c o r r e n t i d e l l e f u n z i o n i di BESSEL la p r i m a d e l l e e q u a z i o n i (8~) si p u b s c r i v e r e [ 4 h n ( h n - k)aho + a~_~, 0 + 2 k b ' ~ _ , , 0] J~r + (4hna~o + b,,_~, o - - b'~,_, , o)J~_~ = 0 e a, v r e m o p e r c i b

2 '

(9e) I 4 h n ( h n - - k ) a ~ , o + a ~ _ , , o + k b ~ - , , o = O, 4 h n a ~ o + bu_,, o - - b'~_:, 0 = 0.

Cosi p u r e t a s e c o n d ~ d e l l e (8.~) d i v e n t a

I 4 n [ n ( h ~ - - i ~) - - i(k - - 2i) + h(k ~ 2 i ) a ~ + a h _ , , ~ + 2(k - - 2 i ) b , _ , , , } a ~ - ~ ' +

r

+ (b~_,, ~_~ - - b~_~, ~ - - 4 n h a ~ i ) J a _ ~ i _ , = O, d a c u i s e g u e

4 n [ n ( h 2 - - i ~) - - i(k - - 2 i ) + h(k - - 2 i ) ] a ~ + a ~ _ , ,~ + 2(k - - 2 i ) b ~ _ , ,~ : O, (10~)

!

4 n h a ~ i + b ~ _ ~ , ~ - - b ~ _ ~ , ~ _ ~ = O , ( i = 1 , 2 . . . . , h - - 1).

N e l l o s t e s s o m o d o d a l l a t e r z a d e l l e (82) si h a

(11~! - - 4 n h a ~ + b~_~, ~_~ = O,

e d a l l e r i m a n e n t i e q u a z i o n i si d e d u c e (10:') }

(11

7 ° ! !

4 n [ n ( h ~ ~ i ~) + i(k + 2i) -- h(k + 2i)]a'~ + 2(k + z)b ~_~,~ + a h - , , g = O,

' t" ~' - - 0 ( i - - - - 1, 2, h ~ 1)

4 n h a ' h h ÷ b' h - - t , h - - I ~ O. - -

176 C. A G O S T r ~ F ~ : Sulle f u n z i o ~ epieicloidali e loro "app~icazione, ecv.

C o n p r o c e d i m e n t o a n a l o g o , s o s t i t u e n d o n e l l a s e e o n d a d e l l e (6~) i n l u o g o di Fl,~+~, F 'k) F 'kl eh, 2~,--t le e s p r e s s i o n i . c h e si d e d u c o n o d a l l e (7.~), u g u a g l i a n d o q u i n d i a zero i e o e f f i e i e n t i d e i t e r m i n i i n c o s (k + (2i ÷ 1 ) ( n - - 1 ) ) % e eos (k - - ( 2 / ÷ 1)(n - - 1))% p e r i - - O, 1, 2, ..., h - - 1, h, si o t t e n g o n o le r e l a z i o n i

- - ~ - - 2 n ( 2 h + 1) j , ] 1

bao n~(~2h + 1)2 1) 2 n ( k 1) j~_~ + _ ~_~ + ( a a o ~ + aalJ~-~) +

ba-1, oJ~-~ "---

+ 0

7 -

] 2(2h + 1)n _ ]

bh~ n~((2h + t)2 - - (2i + 1) )r ~+ 2 n ( 2 i + 1)(2i - - k + l) j~_(~+l) + r J'~-(u~+a)]+

b ~ | 2 n ( 2 h + 1)(2h + 1 - - k)

L

2(2h + 1)n _, ] 1

r J a-{ua+~}] + r aaaJk-~a ---O, b,o[n:((2h + 1) 2 - - 1) + 2 n ( k + 1)

~,2 Jk-~-I -{-

[

1 ,

+ r~ b k . 1,o.Ik+l ~ O, b,mIn3((2h + 1) 3 - - {2i + 1) 3) + 2n(2i + 1 ) ( 2 i + 1 + k} j~+2~+1 + _ _

r 2

1 1 b,

~ - [a'mJk,_~ ~ + a ' h , i + l J k + 2 { i + l ) ] + ~-- h - - l , i ~ t ~ + ~ i + l ~ O~

r r ~

2n(2h r + 1 } j,k+.z~+1] + (i ---- 1, 2, ..., h - - 1), b, hh[2n(2h[ + i)(2hr 2 + 1 + k) Jk+,a~+, + 2n(2hr + 1)J'~+eh+l]j + . r l a'hhJk+2h --- O.

P o i c h ~ q u e s t e d o v r a n n o e s s e r e v e r i f i c a t e i d e n t i c a m e n t e , t e n e n d o c o n t o

~t| solito d e l l e f o r m u l e r i e o r r e n t i f r a le f u n z i o n i di

BESSEL,

(1~.~)

4 n h [ n ( h + 1) + k - - 1]bao + ba_l, o + 2(k - - t)ah~ = 0, aho ~ 2 n ( 2 h + 1)bho - - ahl - - 0,

4 n ( h - - i)[n(h + i + 1) - - (2i + 1 - - k)]bm + bh-a,~ + 2(k - - 2i - - 1)ah,~+~ - - 0, ah~ - - a~, ~+1 - - 2n(2h + 1)bh~ - - O, (i : 1, 2, ..., h - - 1), ahh - - 2n(2h + 1)bhh - - O,

(12./)

4 n h [ n ( h + 1) - - (k + 1)]b'ho ~- b'a-l,o + 2(k + 1)a'al : 0, aho - - a'hl + 2 n ( 2 h + llb'~o - - 0,

4 n ( h - - i}[n(h ÷ i ÷ 1) ~ (k + 2i + 1)]b'a~ + b'h-J,~ ÷ 2(k + 2 i + 1)a'h,~+l = 0, a'hi - v~'h,~+i ÷ 2 n ( 2 h + 1)b'm - - 0 , (i ----1, 2, ..., h ~ 1), a'hh + 2n12h + 1}b'hh - - 0.

(~. AGOSTIN~ILI: S u l l e f u n z i o n i e p i c i c l o i d a l i e l o r o a p p l i c a z i o ~ e , ecc. 177 O s s e r v i u m o o r a c h e d a l l e f o r m u l e c h e d h n n o ~ ) , ~(~), r i s u l t a b ' m - " - - bin , e d a q u e l l e c h e d ~ n n o ~.~(~, ~4 (~), si h a a'h~ = ah~.

C o s l f a c e n d o p e r i ~ - - l , 2 , . . . , h, le e q u a z i o n i {12.~), (12.~'), si r i d u c o n o a l l e s e g u e n t i

(13~')

D a

bh--l,O aho - - 2 h n '

bh--1, i--1 a~,~ = 2 n ( h + i) '

(9~), (10~), (li~), (10.~'}, (11,'),

4 h n ( h n - - k)aao + a ~ _ l , o - - 2 k b a _ l , o - - O, 2 h n a h o + b ~ - l , o - " O,

4 n ( h - - i ) [ n ( h -.- i) ÷ k - - 2i]ah~ ÷ ah--l,~ -4- 2(k - - 2i~bh_l,~ - - O,

4 n h a a ~ + b a - 1 , ~ - - b h - 1 , i - 1 " " O, (i --~ 1, 2, . . . , h - - 1), 4 n h a h h - - b h - 1 , ~ - 1 - - O,

4 n ( h - - i ) [ n ( h .4- i) - - (k -4- 2 i ) ] a ~ ÷ a h - l + ~ ~ 2(k -4- 2 i ) b h _ l , ~ - - O,

( / - - 1 , 2, .... h - - l ) , 4 n h [ n ( h + 1) ÷ k 4- 1]bao 4- b~_~,o + 2(k - - 1)ahl ~ O,

aho a a t - - 2 n ( 2 h + 1)bho ~ O,

4 n ( h - - i ) [ n ( h + i ~ 1) - - (2~ + 1 - - kt]bhi + b h - l , , + 2(k - - 2i ~ 1 ) a h , , ÷ l - - O,

ahi - - ah, i+t - - 2 n ( 2 h + 1)bh~ : O, (i -= 1, 2; ..., h - - 1},

ahh - - 2 n ( 2 h + 1,bhh ---- O,

4 n h [ n l h + 1) - - (k + 1)]bh~ + b~_~,o - - 2(k + 1 ) a ~ -~ O,

4 n ( h - - i)[n(h + i + 1 ) - (/c + 2i + 1)]bhi -*- ba_~, i - 2ik + 2i + 1)a~, i+1 ---- O,

(i=~, 2,..., h--a).

q u e s t e si r i c a v a

bh--l,O bh-~,o

a a _ ~ , o - - 2 h n b ~ _ ~ , o , aa~ - - 2 n ( h + t } ' bao - - 4 h n ~ ( h + 1) ' h - 1 b~_~, ~_~

a~_~,,~ - - - 2 n ( h ~ i)b~_~, ~_~, b~_~, ~ - - h -4- 1

bh_~, ~ _ _ h - - i

(14:) ah,~+l ---- 2 n ( h + i -4- 1) - - 2 n ( h + i ~ 1)th + i ) b h - l , ~ - l ,

b h - 1 , ~ bh--l, i--1

bh~ - - - - 4n2( h _ i ) ( h + i + I) - - 4n2(h + i + 1)(h ÷ i ) '

1 1

ah~ - " " ~ b a - a , a - 1 , bhT~ "-- 8 n 2 h ( 2 h -4- 1) b h - l , a - l '

d a l l e q u a l i s e g u e a n c h e

a a , ~ + a _ h - - 1 ( i ~ O , 1, 2 , . . . h - - l ) ; bh~

(i - - l , 2, . . . , h ~ 1),

1

2 n ( h + i + l ) ' ( i : O , 1, 2, ..., h).

An~ali di Matemat~ca 23

178 C. AC~0ST~N~ : SuUe f u n z i o n i cpieicloidali e lore applicazione, ecc.

Q u e s t e f o r m u l e r i e o r r e n t i p e r m e t t o n o di e s p r i m e r e i e o e f f i e i e n t i a m , ba~, p e r m e z z o di a~0 e si o t t i e n e

h(h - - 1)(h - - 2)... (h - - i + 1) _

a ~ = ( - 1) ~ . . . ~, , ~ o , (h + 1)(h + 2) ... (h + i~

b~ - - ( - - 1) 4 h(h - - 1){h - - 2)... (h - - i + l) aao, (i - - 1, 2. h};

b ~ ⁼ aho

2 n ( h + 1)"

D a l l e p r i m e d u e d e l l e (14:) si h a a n c o r a 1

aao = 4hZn z a h - 1 , 0 e q u i n d i

a l e

a~o - - ( - - I) ~-~ 4~_~(h ! ) ~ n ~ _ , •

M a dall' e s p r e s s i o n e 15~) d e l l a f u n z i o n e ~ ( a ) r i s u l t a e h e 6 a l e - - - 4 n ~ , 1

n e s e g u e

e p e r t a n t o i n f i n e

ahi

1

a~o - - ( - 1}a 2Z~n2a(h !).~,

( - 1) ~+~

(2nt~a(h + i)!(h - - i)! ;

S o s t i t u e n d o n e l l e e s p r e s s i o n i (7,)

( - t) t+h

(2n)~h+'(h + i + I) I(h - - i) !'

( i - - 0 , 1, 2,..., hi.

di ~v~a, e ~ i ir~ l u o g o d e i coeffi- c i e n t i ahi, bh~ i v a l o r i e r a trovati, e r i c o r d a n d o c h e 6 a ' h l - - a a ~ , b ' h ~ = - - b h ~ , (i = 1, 2, ..., h), b'~o . . . . bho, e r i c o r d a n d o i n o l t r e c h e si a v e v a ~/k)__ r~.FSl:)(r, "~t, si o t t i e n e f a c i l m e n t e

(15,)

~(~.) ( - - 1 ) h r 2a"t 1 h •

2h = (2n)~a ... i ih-!? ~ , J , ( r i c o s k ~ ~ Z,, (n--~):ta-4-~,'~ I_-~,!)' . , . [ J a - v ( r ) c o s (k ~2i(n--1))~ ~- + Jk+~,(r) cos (k - - 2i(n - - 1)}¢~] I

2 h q - 1 - - ( - - 1 ) h r (2h+l'" ~, - - ( - - 1)' [Jk-,2~+~)(r) cos ( k + { 2 i + l ) ( n - - 1 ) ) ~ -

t2n) ~h+~ ( h - - l ) ! ( h + i + l ) !

J~+(2,+,)(r) cos (k - - (2i + 1 ) i n - 1))~o]

d a l l e q u a l i s e g u o n o in p a r t i c o l a r e i v a l o r i di ~:(~', ~3° (~), $4 (k), gi/~ c a l e o l a t i d i r e t t . a m e n t e .

C. A~OST~STE~I: Sulle funzioni epieicloidali e lore applicazione, ecc. 179 5. R i t o r n i a m o e r a M l ' e s p r e s s i o n e (3~) d e l l e f u n z i o n i 8 (k), s o l u z i o n i d e l l ' e - q u a z i o n e d i f f e r e n z i M e (2,) e h e p e r " F - - 0 si r i d u c o n o a Jh(r)cos kcp, a b b i a m o , in virtfi d e l l e (15.2) ,

o o (30

0 1

o~ (yr,~2a+, h ( - - 1)'

-- Jh(r) cos k~p ÷ Eh ( - - 1) ~ \~-~] Z~

o o ( h - - i ) ! { h ÷ i ÷ l ) !

• [Jk-(-, ~+~)(r) cos (k ÷ (2i ÷ 1)(n - 1))S0 - - Za+(~i+~)(r) cos (k - - (2i ÷ 1)(n - - 1))~p] ÷

1 \-~-~] ~ Ja(r) cos k~ + E~l (h - - i) .~ (h + i) I"

• [J~_2~(r) cos (k + 2i(n - - 1))¢p -t- Ja+~,(r) cos (k -- 2 i ( n - - 1))¢p] I ,

¢

c h e si p u b s c r i v e r e

~(k) ---[l ÷ ~h ~ ( ~ ) ' ~ h l J , ( r ) e o s k ~ ÷

+ E~o ~ ( h - - i l ~ ( h . + i + [ 4 _ ( ~ + , ) o o s ( k + ( 2 i + l ) ( n - - 1 ) ) ~ - - - - J~+(~+,~ cos (k - - (2i ÷ 1)(n - - 1))~p] ÷ + Z~ Za~ ( h ' i ) ! (h+i)! \ - ~ [ J a _ ~ c o s ( k .~2i(n--l))~+Ja+~cos(k--2i(n--1))~].

C a m b i a n d o h e l l e u l t i m e d u e s o m m e h i n h ÷ i, si h a a n e h e

÷ E% E~ ( - - 1)~ [rr"~ 2(~+',+~

0 , h ! ( h + 2i + 1 ) ] \ N - ] [J~_,,~+,, cos ( k ÷ (2i + 1)(n - - 1)Fp - - - - Ja+(~+~) cos (k - - (2i + 1)(n - - 1))qo] ÷ + E~ E~o h I (h ÷ 2i) i \ - ~ ] [ J a - ~ cos (k ÷ 2i(n - - i))¢p +

÷ J ~ + ~ cos (k - - 2i(n - - 1))¢pJ e r i c o r d u n d o c h e

(_

risulta ( ~ ' r ' )

~k) - . Jo -~- J~(r) cos kcp ÷

(yr")

÷ ~ J ~ + ' - n [Jh_<~+,)(r) cos (k + (2i ÷ 1)(n -- 1))~p - -

0

--

Jk+(~+.(r)

~.. r . fYr"~ 2i(n 1))¢p + J~+~(r) cos (k 2i(n - - l})¢p].

+ 7 ' [ J h _ , , I r ) c o s (k + - -

180 C. AC~OST~N~I: Sullc funzion,~ epiekgo~dali e loro a'~ml~cazionc, ecv.

R i e o r d a n d o inoltre che per p intero ~ J _ ~ ( x ) = (--1)PJ~(w) e quindi J _ ~ - - J,~, J_,~+~) -- --- J~+~, si ha a n e o r a

~ ) -" Y'~ Ja_,.~(r)J~ --n- cos (k + 2i(n - - 1))~ +

eio~ infine

(16~) ~(k) = E ~ Jk_~(r).J~ cos (k ÷ p(n - - 1))%

-oo k = 0 , 1, 2,...

il eui seeondo m e m b r o ~ u n a serie a s s o l u t a m e n t e e o n v e r g e n t e per ogni valore di r, come si riconosce f a e i l m e n t e in base alle note espressioni delle funzioni di BESSEI~. Essa dk, in u n a f o r m a e s t r e m a m e n t e semplic% le soluzioni dell'e- quazione differenziale (2~) delle funzioni epicicloidali che p e r y - - 0 si ridu- cono alle funzioni Ja(r)cos k%

I n virtil delle posizioni (1~)

n

p o n e n d o allora p e r semplieitk

Jv'k)(~, X) = Jk_~(Xna~)J~(Xca~"~

(1Lt

la (16~) d i v e n t a

~"'(~, % x) = ~ g~'~)(e, ~) c o s (k + p ( n - 1))%

[ -ao ~ = O, i, 2, ...

la quale e s p r i m e le soluzioni d e l l ' e q u a z i o n e differenziale (41), che p e r c - - 0 si ridueono alle Jk(Xna~).cos k%

6. Essendo U0, Uj, C.~, ... costanti arbitrarie abbiamo ora dell' equazione differenziale (41) la soluzione pill generale

(102) ~(~, % x) = z~ ck~ ~) = zk ~ c~J~'~'(e, ~) oo~ (k + p ( n - 1))~.

0 0 - - c ~

O r d i n a n d o l a nella f o r m a

c o

~(0, ~ x) = z , F~(p, x) cos s%

O

C. AGOSTINE~/LI: Sulle funzion~ epicicloidali e loro appl~cazione, ecc. 181 risulta

- - ~)J-p (0, - - ( - - 1)~Cpl,-1~J~,(kna~)J~Xcao'),

0 0

co

~p(,-1)[Jq-p 10, o_(.~+p~(~, X)], (q = 1, 2, 3, ...), 120~) Fq(,,_l)(X, p) = EPo '~ ~(p(,~-l)). X) + ,(~(--V}~.

r[~ ~ ( P t ~ - - l l - ~ - k l l - ~.) - I - C t ' ' " r i ( P + l l l ~ - - l l - - k ) "

( q = 0 , 1, 2,...; k = l , 2, .... n - - 2 ) , e la (19~) d i v e n t a

9, x) = F0(0, ),) + X) c o s q ( n - - + 1

n - - 2

0

che si pub considerare la s o m m a delle n - - 1 funzioni e p i c i c l o i d a l i : (21~) Eo = Fo(~, X) + Eq F~(,_~l(p, X) cos q(n - - 119,

1 o~

(22~) Ek = Eq Fq(~-~)+~(p, X) cos (q(n - - 1) + k)%

o

la p r i m a delle quali, cio/~ Eo, si ottiene dalla (19~t, a n n u l l a n d o le costanti arbitrarie @(,~_~+~ ( p - - O , l, 2, ... ; k = 1, 2, ..., n - 2). Ciascuna delle rima- n e n t i E~, per un dato valore d e l l ' i n d i e e k ehe va da 1 ad n ~ 2 , si ottiene a n n u l l a n d o tutte le eostanti arbitxarie ad eeeezione delle @(--~i+~ {p--O, 1, 2, ...).

P o s s i a m o scrivere d u n q u e

(23~) ~(P, 9, k ) : Eo(p, % X ) ÷ ~k E~(~, % ~).

1

k - - ' ~ - -

n - - 1 Osserviamo che nel caso di n d i . p a r i , 2 n - - 1

, la terza delle (20~) porge in particolare 2

intero'; allora per

0 - - ( p & q ~ - l ) "

§ 3. L e f u n z i o n i ~,(k) e s o l u z i o n e g e n e r a l e

d e l l ' e q u a z i o n e d l f f e r e n z i a l e d e l l e f u n z l o n i e p i e i c l o i d a l l . 1. Cerchiamo ora soluzioni d e l l ' e q u a z i o n e (2~) ehe p e r y----0 si r i d u c o n o alle J~(r)sen k % o r e Jk b a l solito la funzione di BESSEL di p r i m a specie di ordine k, con k iutero positivo, e che i n d i e h e r e m o con ~*(~). I m m a g i n a n d o

182 C. AGOSTIN~[.~I: S u l l e ~un.zioni epieicloidol~ e l o r e apiflie~azi¢~ne, eve.

la ~,(k) s v i l u p p a t a in serie di potenze di y, a v r e m o u n o s v i l u p p o del tipo

OD

(la) ~,(k) ^_. Jk(r) sen kcp ÷ ~ T ~ t *(~)

1

S o s t i t u e n d o q u e s t a e s p r e s s i e n e al posto di u n e l l a d e t i a e q u a z i o n e diffe- renziale, t e n e n d o eonto d e l l ' e q u a z i o n e d i f f e r e n z i a l e delle funzioni di BESSEL, e u g u a g l i a n d o a zero i c o e f f i c i e n t i delle s u c c e s s i v e p o t e n z e di T, si o t t i e n e il s i s t e m a

02~l*(l'_____. ) 1 ~ i *(k) 1 02~i *(k)

~r 2 ÷ _ _ _ ÷ ÷ ~ ,(k) ÷ 2 r ~ - ~ j ¢ ( r ) sen kcp. cos (n - - 1)~ - - 0, r Or r ~ ~ 2

~2~ ,(k) 1 ~ ,(k) 1 ~2~.,(~ r~-(n-~J~(r)

~r ~ ~ - r - - - ~ r ÷ r ~ ~¢~ ÷ ~ * ( ~ ÷ s e n k T ÷

(II) + 2r "-~ cos (n - - 1)~.~, *(~) - - 0,

~2~ ,~,) 1 ~,*(~:) 1 0 2 ~ *(~) 2 r " - ~ ( n - - 1 ~-~¢'*(~

~ r

~ . . . -~ - -r ~r - ÷ r 2 3¢~ 2 ÷ ~ j * ( ~ ) ÷ c o s ~ t - ~ ÷

÷ , ,~_~ = 0 , (j----3, 4, 5...).

L a p r i m a di q u e s t e e q u a z i o n i si p u b s c r i v e r e

~ * ( ~ ) . ~ 1 ~ * ~ ) ~ 1 ~ , * ~ ) . + . ~ ,(k) + r , - ~ j ~ ( r ) [ s e n ( k ~ n - 1 ) ¢ ~ ÷ s e n ( k - - ( n - - 1 ) ) ~ ] - - 0 ,

~r ~ r ~r r ~ ~¢~-

d a l l a quale, con calcoli a n a l o g h i u q u e l l i con cui ~ s t a t a d e t e r m i n a t a la s o l u z i o n e 6~(~') d e l l a p r i m a deUe e q u a z i o n i (1}, § 2, si t r o v a la soluzione

r ~

6~*(~' - - - - [J~_,(r) sen (k + n - - 1)~ - - J~+,(r) sen (k - - (n - - 1))T].

- - 2n

Cost p u r e d a l l a s e e o n d a delle (II) si r i c a v a la s o l u z i o n e

~,(k) _ r~" [J~_~(r) sen (k ÷ 2 ( n - - 1))~-- 2Jk(r) sen k ~ ÷ Jk+~(r) sen ( k - - 2 ( n - - 1)):~]

2 . 4 . n ~

e d a l l a terza, p e r j - - 2h ed j - - 2h ÷ 1, si h a n n o le s o l u z i o n i

r2,~h t (h~)~ h { _ 1 ) ~

I ( h - - i ) ! ( h ÷ i ) !

• [4_~,(r) sen (k ÷ 2 i ( n - - 1))¢~ ÷ 4+~,(r) sen (k - - 2i(n - - 1))¢~] i '

o.(k} (k ÷ ( 2 i + 1))n - - 1 ~ - -

¢o2h+1 - - (-- 1) 'r(2h+i''~ E.

o'

- - 4+(u+i)(r) s e n (k - - (2i + 1)(n - - lt)¢p'.

I valori di q u e s t e f u n z i o n i d i f f e r i s c o n o da q u e l l i delle e o r r i s p o n d e n t i f u n z i o n i ~ j ( k ) d e l § 2, con lo s c a m b i o del c o s e n o col seno.

C. A a o s T r ~ : Sulle funzion~ epieieloidati e lore app~icazione, etc. 183 S o s t i t u e n d o n e l l a (13) a b b i a m o d u n q u e

CO CO

• ,. 2 h + i P- $ {k)

~.ck) __ Jk(r) sen k~ + ~h f ~ h + l +- Zn Y 2 ~ h ( ~ ) --

0 1

o N ' ( h - - i ) i ( h + i + 1)!

• [ 4 - ( ~ , . , ) ( r ) sen (k + (2i ÷ 1 ) ( n - 1))~p - - 4 + ~ ÷ , ) ( r ) sen ( k - - (2i ~ 1)(n -- 1))¢~] +

t a (-- 1)'

,~

+

, \ 2 n ] ~ . , (h - - i) .~(h + i) t.

• [J~_,~(r) sen (k + 2i(n - - 1))¢p + J~+,~(r) sen (k - - 2i(n - - 1))¢p] I,

e con t r a s f o r m a z i o n i a n a l o g h e a q u e l l e e f f e t t u a t e nel p a r a g r a f o p r e c e d e n t e , r e l a t i v e alle f u n z i o n i ~'~), si o t t i e n e

(.%) ~*~" = z, J~-p(rV~

Questa, p e r ogvi valore i n t e r o positi~o o n u l l o di k, ~ d u n q u e s o l u z i o n e d e l l ' e q u a z i o n e d i f f e r e n z i a l e {2~) e la serie c h e la e s p r i m e ~ assolut, a m e n t e c o n v e r g e , r e p e r ogni v a l o r e di r. E s s a si pub s e r i v e r e a n e h e

+ c ~

(3~) ~*'~'{~, % ) , ) : E, J,(~'(~, X ) s e n (k + p ( n - 1))¢p

- - C O

ove le J,(~)(,o, k) sono d e f i n i t e d a l l a (17~).

2. I n d i c a n d o con Co*, C~*, C.,*, .... n u o v e c o s t a n t i a r b i t r a r i e a b b i a m o ora d e l l ' e q u a z i o n e d i f f e r e n z i a l e (4,) la n u o v a s o l u z i o n e

oo co + c o

$*(p, % ),) "-- Ek Ck*~ *'k, - - Ek C~,* Y,~, j~(k>(p, k) sen (k + p ( n - - 1))¢p.

o 0 - - c o

O r d i n a n d o l a nella f o r m a

(4'~) 6*(p, % ),) = E~ Fs*(p, k) sen s~

t

r i s u l t a

(5~)

c o

* / ~ , rr(P(n--D1

Fq(,_~(p, X) = ~ ,-',(--1)t~'q-v (~,

X)-

0 c o

][flq{n--1)+k --- ~ p [tQ. *, TIP(n-'l)+kll ~ ~) - - C * T((P-~l)(n--ll--k)~

O L'-'Pln--l)+k~ q--P ~ ' { P + l ) ( " - - l l - - k ° - - ( P + q + l ) ( ~

~')]'

( q - - O , 1, 3 .... ; k = l , 2 , . . . , n - - 2 ) .

i84 C. Aaos~'r~,~t,%~ : Sulle funzioni cl)icicloidati e loro appticaz~one, ecc.

Si p u b s c r i v e r e p e r t a n t o

o o

$*(~, 9, )')----~q F~(~-~)(0, ).) sen q(n - - 1)9 -+- *

1

÷ Eoq EI~ F~(._,,+,;(~, X)sen ( q ( n - - 1) ÷ k)%

e p o n e n d o

si h a a n c h e (9a)

ove le Eo* ,

.~q[,_~)(¢, ),) sen q(n - - 1)9, E~:*)(~, 9, ~) -- Eq/~(._~)+~(~, k) sen (q(n - - 1) ÷ k)%

0

(k -- 1, 2, .... n -- 2),

9, z ) = 9, ) , ) + 9,

1

E~* sono a n c o r a f u n z i o n i e p i c i c l o i d a l i che si o t t e n g o n o rispetti-

(10~) F(,q+ :~)(~_,)(~, ),) e d a l l a (Sa) si h a

v a m e n t e d a l l a (43) a n n u l l a n d o u u a p r i m a volta t u t t e le c o s t a n t i ar~bitrarie C~,~-l)+k ( p - - 0 , 1, 2 , . . . ; k ' - l , 2,..., n - - 2), e u n a s e c o n d a volta t u t t e le c o s t a n t i a r b i t r a r i e ad eccezione delle Cp(,~-~)+k c o r r i s p o n d e n t i ad u n dato v a l o r e d e l l ' i n d i c e k da 1 ad n - - 2 .

n - - 1

0 s s e r v i a m o c h e p e r n d i s p a r i , d a n d o a k il valore 2 , che ~ intero, r i s u l t a ~ vpt~-i~+ ~ n-i~_ C(p÷1)(~- lt- ~ ~ * n-i la s e c o n d a delle {5.~) p o r g e

) )

!

(11~) E~_*I(~,~ 9, ; ~ ) - EoqF~q+~),~_l>(~,. )~)sen(q ÷ ( n - - 1)~,~.

3. R i u n e n d o i r i s u l t a t i di q u e s t o p a r a g r a f o con q u e l l i del p a r a g r a f o p r e c e d e n t e , si ha c h e l a soluzione g e n e r a l e d e l l ' e q u a z i o n e d i f f e r e n z i a l e (4~), r e g o l a r e p e r ~ - - 0 , s v i l u p p a t a in serie di FOURIER d e l F a r g o m e n t o % r i s u l t a (123} u(,a, % )~) - - Ek Z , j ck){~, k)[C~ cos t k ÷ p ( n - - 1))9 ÷ Ck* sen i k ÷ p ( n - - oo 1))~]

0 - - o O

t h e si p u b s c r i v e r e a n c h e

o o

(12'~) u(~, 9, )~) - - F,(~, ),) ÷ Zq [Fq(,~-ll(f~, )~) cos q(n - - 1):p ÷

1

n - - 2

F~(.~-I)(~, ),) sen q ( n - - 1)9] + Zoq ~k [Fq(,~--l)+k(~, k) cos ( q ( n - - 1) + k)¢ + + .Fqo~_l)+1:(~ , k) sen (q(n - - 1) + k)9],

C. AGOSTm~I: Sulle funzioni epieicloidali e loro applicazio~e, eve. 185 nella quale |e funzioni F ed F * hanno le espressioni innanzi definite. Essa si pub seindere nella somma

(13~) u(p, % )`)----Eo(p, % )`)+ Eo*(p, % )`)+ Y~, [Ek(t~, % )`t + E*(p, % )`)]

i eui termini sono tutti funzioni epicieloidali~ sono ciob soluzioni dell'equa- zione differenziale (4t}.

§ 4. A l c u n e l d e n t l t k n o t e v o l l .

1. P r e n d i a m o in considerazione la funzione epicieloidale ottiene dalla (16~) per k - - 0 , e ehe si pub serivere

I14t

(2~t

~c0>, ehe si

o

~,0> __ Jo(r)j °

\--n--I

P e r la nora f o r m u l a di NEU~IANN (.2)

(30

J o ( W ~ ~ y~ - 2xy cos u) = Jo(X,)J°fy) + 2 ~ ]~(x)J~(y) cos p0,

1

"( r l l

ponendo x - - r, y = --n-' 0 = ~: + (n - - 1)% ]a (1,) porge

~<0,=j<, r ~ + v ~ + 2 ~ , n c o s ( n - - 1 ) ~ ,

/

cio~, essendo r ~ ),nap, y - olO, na) "-~, so si pone

C~-

(3D si h a

(4,) ~ ( " - - Jo()`naPx ).

Ora nella m i a nota citata nel § 1, avevo m e s s a la soluzione generale d e l F e q n a z i o n e differenziale (4i) sotto la forma

15,) u(p, % )`) 1 ~ JkO.naPx) ~ [k\[v\~ c . . ~

: ⁺ x ' o'ts)t ) P ^- "

.[A~ cos (k + j ( n -- 1))~ + Bh s e n (k + j ( n ^-- 1))~],

con A0, A~, Ba costanti arbitrarie, la quale per A 0 - 2, A a - - B k - - 0 , ( k - 1, 2, 3, .,.), d~t proprio la (44).

(2) C. ~UMANN, Theorie der Bessel' schen Functionen, Leipzig 1867.

A n n a l i d i Mate~natic.a 2 t

186 C. Ac, O S T ~ I : Sulle funzioni epieicloidali e lore apptieazione, ec~;.

(6,}

~. P e r c ~ 0 fi X ' - 1 , e l a (54) porge

1 o~

u ~ ~ AoJo(;~na~) + Za JaO, nae)[Aa cos k~o + B , sen k~o]

1

l a q u a l e si r i d u c e a JA(Xna~) cos k'~ --- Ja(r) cos k% p o n e n d o Aa - - 1 e a n n u l - l a n d o le r i m a n e n t i c o s t a n t i a r b i t r a r i e

]~e s e g u e ehe a n n u l l a n d o n e l l a (54) t u t t e le e o s t a n t i a r b i t r a r i e , ad eece.

zione di A k , c h e si p o n e u g u a l e ad 1, si h a la f u n z i o n e e p i c i c l o i d a l e e h e a b b i a m o i n d i e a t a c o n 6ca~. Cio~, r i e o r d a n d o la (16~) r i s u l t a , i n d u e m o d i d i v e r s i ,

~j]\n /

+co

= Z~ 4_~O.na~)J~O.ca~') cos (k + p ( n - - 1))~.

- - c o

P o n e n d o kna~----x, ) , c a ~ ' : y, si h a la n o t e v o l e i d e n t i t ~

(7,) J , i V ~ ~ + y~ + 2xy cos tn---:-f)~)v k [ k ~ ~ . .

. . . . . . . . . . . ,~ - , y , (k + j ( n - - 1))~

[x ~ + y~ + 2 x y cos (n - - 1)~o]*/~ o ~ l j ) x cos -~-- +co

= Zp Jh_~(~c).J~{y) cos (k + p ( n - - 1))% (k - - 0, 1, 2, ...).

- - G O

Da q u e s t a , p e r k - - - 0 , si h a in p a r t i e o l a r e la f o r m u l a la (7,) e percib u n a general~zzazione di q u e s t a f o r m u l a .

P e r ~0 = 0 la {74) p o r g e a n e o r a +co

Jk(x + y ) - Zp J~_~(x)J~tv) ,

- - C O

e h e ~ u n a nora f o r m u l a di K. ~EUMAN~ e SC~[L)~FLI i3).

di ~EUMA~'-~ ;

3. D a l l a (5~) a n n u l l a n d o t u t t e le e o s t a n t i a r b i t r a r i e , salvo B h , che si pone u g u a l e a d 1, si o t t i e n e l a f u n z i o n e e p i c i c l o i d a l e 6*(a~, c h e p e r e ~ 0 si r i d u c e a l l a Jh(),na~) s e n k~ = dh(r) sen k%

R i c o r d a n d o a l l o r a la (2~), si h a la n u o v a r e l a z i o n e

_ . - - _~.

X ~ o ~ \3/~n /

+co

. - k k " (k + p ( n - - 1))%

- - E~ Ja_~( na~)gT~( ca~ ) s e n

- - ( 3 0

eve X h a il v a l o r e d e f i n i t e d a l l a {34).

(s} Vecli p e r os. ]~. T. WHITTAKER e G. ~{. ~rATSON, Modern A~olysis, Chap. X V l I C a m b r i d g e U n i v e r s i t y Press, (1946).

C. AGOSTrSEL~L~ : Sulle funzioni epicicloidali e lore applicazione, etc. 187 P o n e n d o a l l o r a ).na~ : x, ~va~= = y, si h a 1' a l t r a i d e n t i t k

J~(V0~ ~ + y~ -+- 2 x y cos ( r ~ - 1} ) E , ( k . t o ~ _ S y l s e n l k k

(84} [x ~ + y~ + 2 x y cos (n - - 1}~]~/'~ o ~ \ j / + j ( n - - i))~ ---

= % J ~ - ~ ( ~ ) J ~ l u ) sen (k + p ( n - - 1))%

t h e ~ u n a n u o v a f o r m u l a r e l a t i v a alle f u n z i o n i di BESSEL.

E s s a p e r k - - 0 si r i d u c e all' i d e n t i t ~ 0 --- 0.

4. S o m m a n d o la (7,) con la (84} m o l t i p l i e a t a per l ' u n i t k i m m a g i n a r i a i, si d e d u c e a n c o r a la f o r m u l a

(9~)

• [a~ 2 q - y~ + 2 x y cos (n - - 1)q~]~/~ ~ x~ ~- ~y~e"J("-~)~ ---- q-co

: E~ Jk_~(oe)J~(y)e'~"-"¢, ( i - - - V - I},

~CO

che si s c i n d e in a l t r e d u e u g u a g l i a n d o le parti r e a l i e le p a t t i i m m a g i n a r i e dei d u e m e m b r i , cio~

(10,)

(x ~ ~_ y2 +. 2 x y cos (n - - 1)~)~/2 o Es xa-~Y~ s e n j ( n - - 1)~0 ---- +o~E~ . 1 t cos p ( n - 1)~

Ja-~{°~)~v(Y) ( sen p ( n - 1)¢p"

M o l t i p l i c a n d o a m b o i m e m b r i d e l l a (10~) u n a v o l t a p e r cos q(n - - 1 ) % u n a s e c o n d a volta p e r sen q(n - - 1 ) % e i n t e g r a n d o r i s p e t t o a q~ d a 0 a 2u, si d e d u c o n o le d u e f o r m u l e i n t e g r a l i

J k - q(oe)Jqly) -t- Jt,+q(x}J_q(y) =

2rt

l [ ' J k ( V x 2-~ y ' ~ + 2 x y c o s ( n - - 1 ) ~ - ) ~ k a i j

. . . ~ Y,~( .~x - y cosj(n--1)cpcosq(n--1)T.d~

= f f J - [ ~ - ~ -!- 2 a r y e o s ( n - - 1)~] / o \3]

0

Jk_q(x)Jq{y) - - Jk+q(oe)J_ q(y) ----

I / ' J ~ ( V x 2 q - y ~ q - 2 x y c o s ( n ~ l ) ~ ) ~ / k \ a s ~ . . .

= } ] ~x ~ ~_ ~ ~_ ~ y ~ - o - s ~ ~ ] ~ / ~ 2s / .)x - y s e n h n - ~ ) ~ . s e n q l n - ~ ) ~ . a %

0

dalle q u a l i s o m m a n d o m e m b r o a m e m b r o si ha a~iehe

2r¢

__ 1 /'J~(Voe 2 q-y~- q - 2 x y c o s (n - - i)¢~) (114) Z~-q(oc}gq (u) -- ~ j ~X ~ 7~ y2 q_ - ~ y e - ~ ~-- ~)~]-~

0

• ~'o' x * - ~ cos (q ^{- -} j)(n ^{- -} 1)~. d~.

188 (3. A(~OSTIN~-~I: Sulle funzioni epieieloidali e lore wpp~icazione, ecc.

5. O s s e r v i a m o i n f i n e e h e f a c e n d o n e l l a (9,} ( n - - t)~0 = ~ , si h a in parti- 7~

c o l a r e F i d e n t i t ~

+ ~

J~l V~c" + y~) (~ + iyt~ ~ , i~j~_~(x)j~(y).

(x ~ + y~)~l'~ = - ~

P o n e n d o in q u e s t a m = r cos O, y = r sen 0 e u g a a g l i a n d o s e p a r a t a m e n t e le p a r t i r e a l i e le p~rti i m m a g i n a r i e d e i d u e m e m b r i , si o t t e n g o n o le al~re i d e n t i t ~

Jk(r} cos kO ~ J~(r cos O)Jo(r sen 0) 4- Y.~ (-- l!PJ.z~(r sen 0)[J~_~(r cos 0~ + d~+~(r cos 0)],

t c o

d~(r) s e n k0 - - ~ ( - - 1)PJ~+~{r sen 0)[J~_~+~(r cos 0) + J~+(~+~)(r cos 0)].

0

§ 5. l o t ' r o b l e m a a l l l m l t i .

A u t o s o l u z i o n l t h e s i a n n u l l a n o ~1 c o n t o r n o e p i c i c l o i d a l e . 1. L a r i s o l u z i o n e del p r o b l e m a delle v i b r a z i o n i d i u n a m e m b r a n a epici- cloidale, in b a s e a l l ' a c c e l i i i a t a r a p p r e s e n t a z i o n e c o n f o r m e del c a m p o . l i m i t a t o d a l l ' e p i c i c l o i d e sul c e r c h i o d i raggio ~ ~ 1, richiede, c o m e si ~ gi/~ visto nel § 1, n. 2, la d e t e r m i n a z i o n e di a u t o s o l a z i o n i d e l l ' e q t t a z i o n e d i f f e r e n z i a l e (4,) r e g o l a r i e n t r e il detto c e r c h i o e che si a n n u l l a n o al contorno, cio~ p e r ~ = 1.

Di q u e l l a e q u a z i o n e a b b i a m o la sohlzione r a p p r e s e n t a t a d a l l a f o r m u l a (23~

c o m e s o m m a de!Ie f u n z i o n i e p i c i c l o i d a l i Eo(~, % ),), Elc(~, % ).1, (k---1, 2 .... , n - 2), d e f i n i t e dalle (21~). (22~). Affinch~ q u e s t ~ soluzione sia n u l l a p e r ~----1, e p e r ogui v a l o r e di "% d o v r ~ e s s e r e

E e l 0 , E~----0, ( k ~ l , 2,..., n - - 2 ~ , per ~ - ~ 1 . L a E 0 ~ 0 p e r ~ ~ 1, i m p l i c a t h e sia

Fo(1, ~ ) = O, F~,,,_~)(1, ~ = O, (q = 1, 2, 3 .... ).

Si ha cosi il s i s t e m a di i n f i n i t e e q u a z i o n i l i n e a r i o m o g e n e e nelle c o s t a u t i

~ r b i t r a r i e C~(,,_~), (p --- 0, 1, 2, ...) :

oo

,..jp(n__l)eJ _ p ( L ~ 0

, -

T ~, _~q+p)~, ;~)] = 0, (q -~ 1, 2, 3, ...).

0

L a compatibilit/~ di q u e s t e e q u a z i o n i p o r t a alla c o n s i d e r a z i o n e delF equa- ziolie che si o t t i e n e u g u a g l i a n d o a zero il d e t e r m i l i a n t e di o r d i n e infiliito dei c o e f f i c i e n t i e che s c r i v i a m o s i n t e t i c a m e n t e cosi

J ~ - l ) ) ( l ' )') --- O,

II X ) - )4

eve nelle orizzontali ~ p = 0, 1, 2, 3,..., e nelle v e r t i c a l i ~ q = 1, 2, 3, ....