— —
Gli angoli del parallelogramma ABCD hanno il seno uguale a 53 e le distanze del suo centro O dai lati sono
5 8
OM= eOP= . Calcola le lunghezze delle diagonali e l’area del parallelogramma. 10 17, ; 3 50
3
: 800D
— —
In un triangolo isoscele ABC l’altezza BH relativa al lato obliquo AC lo divide in due parti, AH e HC, con AH = 2HC. Determina gli angoli del triangolo. Discuti poi il problema nel caso più generale in cui
: :
AH HC=p q, con p e q numeri interi positivi.
, ; ,
2( )
arccos arccos arccos arccos
A B C C p q
q A B p q
p 3
1
3
= = = 1 =
+ = =
<W V W W W V + F
Problemi con equazioni, disequazioni, funzioni
—
Considera il triangolo rettangolo ABC che ha gli angoli acuti BV=60oeCW=30o e l’ipotenusa BC=a. Per il vertice A conduci una retta s esterna al triangolo e indica con BleCl le proiezioni ortogonali di B e C su di essa. Trova l’angolo CAClW , sapendo che il perimetro del trapezio BCC Bl l è 2 + 62+ 2 a
. [45o]
—
In una circonferenza di centro O e diametro AB=2r la corda MN è perpendicolare al diametro e lo divi- de in due parti che stanno nel rapporto 73 . Determina l’ampiezza dell’angolo al centro MONW =2x.
2 5
arcsen 21
; E
—
Nel rettangolo ABCD è inscritto il triangolo ABP, con il vertice P sul lato CD. Le misure dei lati del rettan- golo sono AB=a e AD=]2- 3ga. Determina l’angolo DAPW , sapendo che è valida la relazione
AP2+AD2=BP2. [60o]
—
Un triangolo LMN è inscritto in una circonferenza di raggio r = 5; la lunghezza del lato LM è 5 3. Deter- mina l’ampiezza dell’angolo MLNV in modo che risulti valida la relazione LN2-MN2=25 3.
[due soluzioni: 45o; 15o]
—
I lati obliqui di un trapezio isoscele hanno misura l e sono congruenti alla base minore. Determina gli angoli alla base maggiore, sapendo che la somma della base maggiore con il doppio dell’altezza è uguale
a ]1+2 2gl. [45o]
—
In un settore circolare AOB di raggio r e di ampiezza uguale a 90o traccia un raggio OP. Considera la pro- iezione ortogonale D di P sul raggio OB e il punto medio C del raggio OA. Determina l’angolo AOPW , sapen- do che è valida la relazione:
PC2+PD2= 1011r2. due soluzioni:cos AOP 5!1010
; W = E
—
Considera il triangolo rettangolo ABC inscritto in una circonferenza di diametro AB=2r: sul lato BC co- struisci il quadrato BPQC esternamente al triangolo. Sai che il trapezio ABPQ ha area S= 4+23 2 r2
:
quanto misura l’angolo BACW ? , (5 7)
8
3r arctg 2 +
: D
—
Determina gli angoli di un trapezio isoscele, sapendo che la base maggiore è AB=14, la base minore è CD=8 e il rapporto fra il quadrato della diagonale e il quadrato del lato obliquo è 9
37 . ; 3 3
2
r r
: D
—
Nel triangolo ABC il lato AC ha misura l, il lato BC ha misura 2l. Determina gli angoli del triangolo sapendo che fra i due lati noti e l’angolo AW intercorre la seguente relazione:
sen
BC 2AW-ACtg2AW =0.
[tre soluzioni: AW=90o,BV=30o;AW=30o,BV-14 477, o;AW=150o,BV-14 477, o]
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
— —
Traccia la tangente t nel punto B alla semicirconferenza di diametro AB=4. Considera un punto P sulla semi- circonferenza e indica con Q e R le sue proiezioni rispettivamente su AB e su t; determina PABW in modo che:
3 PQ PR AQ
2 + =5 . 6 21
33 arcsen r +
; E
— —
Due semicirconferenze di diametri AB=BC=2r sono tangenti esternamente in B. Presi i punti P sulla prima e Q sulla seconda in modo che PBQV =45o, calcola x=PBVA in modo che:
2 3
BQ+ PB= 2 AB.
12 5 r
: D
— —
Determina i lati AC e CB nel triangolo ABC in cui sono noti: AB=10 cm, BACW =45o, ABCV =30o. Considera un punto P appartenente al lato AC e, posto PBVA=x, risolvi la seguente equazione:
PA PB 3
5 2 3 3
= +
+ ] g.
Esprimi poi la funzione f x( ) 2 PA
= 10 e rappresentala su un periodo completo, indipendentemente dal problema geometrico.
5( ) , 10( 1) ; 15 ; ( ) 1
[AC= 6- 2 cm CB= 3- cm x= o f x =cotgx+ ]
— —
Data la semicirconferenza di diametro AB=2r, sia C il punto medio dell’arco AB%. Considera sull’arco BC$ un punto P, traccia la tangente in P che incontra la retta AB nel punto Q e, posto PABW =x, determina PQ QBe in funzione di x. Risolvi, nei limiti imposti dal problema, l’equazione:
QB+PQ=]1+ 3gr. Rappresenta poi la funzione ( )x
OQ f PQ
= 2 su un periodo completo ed evidenzia la parte relativa al problema.
2 ; 2
1 1 ; ; ( ) 2 , 0
cos sen
PQ r x QB r x x 6 f x 2 x x
1
tg r con # 1 r4
= = b - l = =
: D
— —
Dato il quadrato ABCD di lato l=1, costruisci una semicirconferenza di diametro AB esterna al quadrato.
Considerato sulla semicirconferenza un punto P, con ABPV =x, determina l’espressione della funzione:
f x( )=PC2+PD2.
Rappresenta la funzione su un periodo completo ed evidenzia la parte relativa al problema. Individua la situazione geometrica corrispondente al valore massimo della funzione.
( ) 3 2sen2 ; 0 ; massimo ;
f x x #x# r2 r4 5
= + =b l
: D
— —
È dato il triangolo ABC tale che il lato AB=2a e la mediana a esso relativa CM=a. Determina, in funzione dell’angolo CABW =x, il perimetro del triangolo ABC. Rappresenta la funzione ottenuta ed evi- denzia la parte relativa al problema. Descrivi la situazione geometrica corrispondente al valore massimo del perimetro. [ ( )f x =2 2asen(x+45 )o +2acon0o1 1x 90 ;o
massimo=(45 ; 2 (o a 2+1)), triangolo rettangolo isoscele]
— —
Data la semicirconferenza di centro O e raggio unitario, prolunga il diametro AB di un segmento BC=1 e congiungi il punto C con i punti P e Q della semicirconferenza tali che COQW =2 $COPW . Indicato con x l’angolo COPW , determina l’espressione della funzione:
( ) 2
f x QP
QC PC
2
2 2
= $- .
Rappresenta il grafico di f x( ) ed evidenzia il tratto relativo al problema. Indipendentemente dal problema geo- metrico, risolvi la disequazione f x( )#0.
( ) cos , ;
f x 4 x 2 01 #x 2r 32 2k #x# 34 2k
r r r r
= + + +
: D
— —
Sono dati il quadrato ABCD di lato l=1 e in esso l’arco di circonferenza BD%, di centro C.
Considera un punto P appartenente all’arco BD% e poni DC PW =2x. Determina l’espressione analitica della funzione y=AP2-BP2.
Verifica che la funzione può essere espressa come y= -2cos2x+1 e rappresentala graficamente nei limiti imposti dal problema.
323
324
325
326
327
328
329
330
— —
Sia ABCD un quadrilatero inscritto in una circonferenza di raggio r, con AB e BC corde consecutive di lunghezza uguale al raggio.
Posto CADW =x, calcola l’area A x( ) del quadrilatero e determina poi per quale valore di x si ha ( )
A x = r
4 3 2 +3 2
. A x( ) r sen cosx x sen x x; x
2 3
2
1 3
4 12
2 2 r 0 5
r
= b + + l = =
; E
— —
È dato il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di raggio r. L’angolo in A è di 3
r, quello in B è tale che ABDV è doppio di DBCV . Determina l’espressione analitica della funzione
f x( )
AD AB
DC
= + BC ,
dopo aver posto DBCV =x. Trova per quali valori di x si ha f x( ) 3 1 2 .
( ) ( ), ;
f x 23 cotg2x cotgx con01 1x r r3 4 1 1x r3
= +
; E
— —
È data una semicirconferenza di diametro AB=2r. Inscrivi in essa il triangolo ABC e traccia la bisettrice dell’angolo CABW che interseca la circonferenza in D e il lato CB in T. Indicato con 2x l’angolo CABW , deter- mina, al variare di x, il rapporto y
TD
= AT e calcola per quale valore di x tale rapporto è 1.
; ;
y sen
x x x
1 2 0 4 3
arcsen 3
2 1 # r
= - =
; E
— —
Sono dati il triangolo equilatero ABC di lato l e la semiretta di origine A che incontra il lato BC nel punto P.
Su tale semiretta, considera il punto S proiezione di C e il punto T proiezione di B. Indicato con x l’angolo BAPW , determina la funzione f x( )
AB CS BT
2
2 2
= +
. Dimostra che la condizione f x( ) 4
# 3 è sempre verificata nei limiti imposti dal problema geometrico.
( ) cos sen ,
f x = 4- 2x-4 3 2x 0#x# r3
; E
— —
È data la semicirconferenza di diametro AB=4r e centro O. Sul raggio perpendicolare ad AB considera un punto C tale che CP,CO, con P punto appartenente alla semicirconferenza. Indica con H la proiezione di P su AB.
a) Esprimi la funzione f x( )
PH CP OH
= +
, con x=CPOW .
b) Determina le limitazioni per x e trova per quali valori di x si ha f x( )21. c) Calcola f 6b l.r
d) Determina il perimetro del quadrilatero CPHO quando x 3
= r.
) ( ) ; ) 0 , ; ) ; )
cos
f x sen x
x x x r
1 2
1 2
3 8 3 3
2 3 5 3
a b # # r r 1 # r c d
= +
+ +
] + g
; E
— —
Considera il quadrato ABCD di lato 2r e costruisci, internamente a esso, una semicirconferenza di diametro AB. Considera un punto P variabile sulla semicirconferenza.
a) Indica con x l’angolo PABW e con K e Q le proiezioni di P rispettivamente su CD e su CB. Determina le soluzioni dell’equazione
PQ PK
4
= 3.
b) Esprimi la funzione f x( )=PK+PQ al variare di P sulla semicirconferenza e, posto r = 1, rappresentala in un periodo evidenziando la parte relativa al problema.
c) Per quale posizione di P la funzione raggiunge il minimo valore e per quale il massimo?
.
)x 2; )y 3r r 2sen 2x ; )min x , x
4 8 2
a arctg b r c per r max per r
= = - b + l = =
: D
331
332
333
334
335
336
— —
È dato il segmento AB=2l. Dal suo punto medio M conduci una semiretta in modo che formi con MB un angolo acuto variabile di ampiezza x. Sia K la proiezione ortogonale di B sulla semiretta.
a) Risolvi, nei limiti imposti dal problema, l’equazione:
AK2+KB2= 25l2.
b) Verifica che la funzione f x( )=AK2+KB2 può essere espressa con y=3l2+l2cos2x. c) Poni l=1 e rappresenta la funzione g x( ) ottenuta da f( )x con una traslazione di vettore
v 2r; 3
- -
b l. a)x r3; )c y cos2x
= = -
: D
— —
In una circonferenza di centro O e raggio r, è data la corda AB congruente al lato del triangolo equilatero inscritto. Conduci la tangente in B e considera su di essa un punto C appartenente allo stesso semipiano di O rispetto alla retta AB.
a) Indicato con x l’angolo BACW , calcola il valore di x per cui l’area del triangolo ABC vale 3 4 r 3 2. b) Rappresenta in un periodo la funzione
( ) f x AC
= BC ,
evidenziando il tratto relativo al problema. )x 30 ; ) ( )f x 3 senx, 0 x 60
a = o b = 2 3 con o# 1 o
; E
— —
È data la semicirconferenza di diametro AB=2r e centro O. Nel triangolo ABC in essa inscritto poni BACW =x. Sulla semiretta OC considera il punto P tale che OC=CP.
Verifica che PA2+PB2=10r2. Risolvi poi, nei limiti geometrici imposti dal problema, la disequazione PB
PA22 $2. Determina il valore del rapporto PB PA
2 2 per x
6
= r. 0 x arccos ;
2 1
12 5
3
# # 7
: D
— —
Data la semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r, considera su di essa il punto C tale che, indi- cato con a l’angolo OACW , sia cos
53
a = . Considera su BC un punto P. Posto BOPW =x, determina la fun- zione f x( ) che rappresenta il perimetro del triangolo OPB e risolvi, nei limiti imposti dal problema, l’equa- zione f x( ) 5 r
= 12 . f x( ) r coscos sensen , ,
x x
x x x x
3 3 3 4 1 con # # a0 2 a
= +
+ +
b l =
: D
— —
È dato il triangolo isoscele ABC di base AB=2a e lati obliqui AC=CB=5a. Calcola le funzioni gonio- metriche seno, coseno e tangente degli angoli a adiacenti alla base. Traccia la semicirconferenza di diametro AB esterna al triangolo e considera su di essa un punto P, con BAPW =x.
Verifica che la funzione
y AB
PC PB
2
2 2
= +
può essere scritta nella forma y 4 sen( x ) 27
2
5 2 a1
= + - . In quale relazione sono gli angoli a e a1? Calcola per quale valore di x la funzione ha valore massimo (trova per x un valore approssimato).
[a e a1 angoli complementari; x = 50,77o]
— —
In una circonferenza di raggio r traccia la corda AB lunga come il lato del triangolo equilatero inscritto e la tangente alla circonferenza nel punto B.
Sul minore degli archi AB, considera il punto P e indica con il punto H l’intersezione della semiretta AP con la tangente in B.
Posto PABW =x, determina, nei limiti geometrici del problema, per quali valori di x è risolta l’equazione:
(AP+PB)$BH= 3r2.
Risolvi in R la disequazione AH$HB e verifica che i valori di x ammessi dal problema fanno parte delle
soluzioni. [x = 30o; - 60o + k360o 1 x # 60o + k360o]
— —
È dato il trapezio isoscele ABCD tale che le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, la base maggiore AB=2a e DABW =60o. Sulla base maggiore AB considera il punto P e poni ADPW =x.
Considera la funzione f(x) che esprime il perimetro del triangolo APD e trova, tenendo conto dei limiti del problema, per quali valori di x si ha:
f x( )$3a. [60o#x#90o]
337
338
339
340
341
342
343
— —
È dato il triangolo ABC tale che AB=a, CABW =60o, ABCV =2x. Traccia la bisettrice dell’angolo ABCV che incontra il lato AC nel punto P, considera la funzione f x( ) A
AP
= C e, nei limiti imposti dal problema,
risolvi la disequazione f x( )#1+ 3. [0o1 #x 45o]
— —
Il triangolo ABC è inscritto nella circonferenza di raggio r e ha l’angolo CABW =a tale che cos 5 a = 4. Posto ABCV =x e indicato con M il punto medio di AB, calcola per quali valori di x si ha:
CM AC r
25 4
19 9
2- 2= 2. x
4
= r
: D
— —
Data la circonferenza di diametro AB=2r, considera su AB il punto H e costruisci il triangolo equilatero AEF che ha AH come altezza.
Dal punto E conduci la parallela ad AB che incontra in L la circonferenza (L è da parte opposta di A rispetto al segmento EF). In funzione di BALW =x, determina EF, EL. Calcola poi l’angolo x tale che EF=EL.
, ( ), ;
sen sen
EF=2r 2x EL=2r:12 - 2x-30o con0o#x#30o x=15o
: D D
— —
È dato il triangolo ABC tale che BV=2CW e AC=2b. Considerato l’angolo in CW come variabile x, determina l’espressione di AB e BC. Verifica che, nei limiti imposti dal problema geometrico, vale l’uguaglianza
AB+BC=4bcosx
e determina il valore di x per cui BC= 34 3b. AB cos ,BC cos ( cos );
x b
x
b 4 2x 1 x 6
= = - = r
: D
— —
Considerato il triangolo ABC avente i lati CA=a Ce B=2a, si costruisca da parte opposta a C, rispetto alla retta AB, il triangolo rettangolo ABD il cui cateto BD sia uguale alla metà del cateto AB.
Si studi come varia l’area del quadrangolo ADBC al variare dell’angolo AC BW e si calcoli il perimetro di detto quadrangolo quando la sua area è massima. (Esame di maturità scientifica, Sessione ordinaria, 1988, quesito 3)
( ) sen cos , , ( ) ;
S x a x x 4 x S x x a
5 0
4
3 3
2
1 5 5 2 2
con massima per
2 # #r r
= - + = + +
b l c + m
: E
— —
Si conduca internamente a un angolo retto AOB una semiretta OC che forma con OA un angolo AOCW =x; presi rispettivamente su OA e OB due punti M ed N, tali che OM=1, ON= 3, siano Ml ed Nl le rispettive proiezioni di M ed N su OC. Detto P il punto medio di Ml l, si determini x in modo che risulti massima N l’area del triangolo NOP. (Esame di maturità scientifica, Sessione ordinaria, 1975, quesito 3)
( ) (cos sen cos ), , ( )
S x 43 2x 3 x x con0#x# r2 S x massima perx r6
= + =
; E
— —
a) È data la semicirconferenza di centro O e diametro AB=2 e la corda CD= 2, con C più vicino a B.
Costruisci il quadrilatero ABCD e determina l’area f(x) in funzione dell’angolo AODW =x.
b) Determina il dominio e il codominio di f(x) e i punti di intersezione con gli assi cartesiani, indipenden- temente dal problema geometrico.
c) Rappresenta graficamente f(x) evidenziando il tratto relativo al problema e indica il massimo e il minimo.
) ( )f x 2 sen x , x ; )D: ,C: ; , ( k ; ),
2
4 2
1 0
2 2
1 2
2
1 2 2 0
a r con # # r b R
r r
= + + - +
b l ; +
; E
; , ( ; ); )max: ; ,min:( ; ), ; 2 k
3 2 0 0 1
4 2
1 2 0 1
2 1 c
r r r r
+ +
b l c m b lE
— —
In un trapezio isoscele ABCD la base minore CD e i lati obliqui hanno lunghezza l, gli angoli acuti hanno ampiezza
3
r. Sia P un punto del lato obliquo BC, H la sua proiezione su AB. Posto PABW =x: a) esprimi la funzione f x( )
PH
= PC ;
b) calcola per quale valore di x risulta PC=PH;
c) indipendentemente dal problema geometrico studia il dominio e il segno della funzione f(x).
) ( )f x 21 ( x 3), 0 x 6 ; )12; )x k , ( )f x 0 k x 6 k
a = cotg - con 1 # r b r c ! r $ per r1 # r + r
: D
344
345
346
347
348
349
350
351
— —
In una circonferenza di raggio r è assegnata la corda AB con distanza r 2
3 dal centro O. Sul maggiore dei due archi AB% considera un punto P e poni BAPW =x.
Trova l’espressione analitica della funzione f(x) perimetro del triangolo APB e indipendentemente dal pro- blema geometrico risolvi la disequazione f x( )20.
( ) [( )sen cos ], ;
f x r 2 3 x x 1 0 x 56 k x k
6 2 2
con # # r r 1 1
r r r
= + + + - + +
: D
— —
Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza di raggio r e AB BC,A CB 3
= V = r. Posto AC DW =x:
a) dimostra che AD+CD=BD; b) esprimi la funzione f x( )
BD
= CD e trova per quali valori di x risulta f x( ) 2
= 1 ;
c) indipendentemente dalle limitazioni del problema, trova il dominio di f(x) e risolvi la disequazione ( )
f x 1 -2 3.
( ) , ; ;
f x x
x x x
3
3 0 3 6
b) tg
tg con 1 1 r r
= +
- =
=
: ;
D x 2 k x 3 k 4 k x 2 k 2 k x 23 k
c) ! r / ! 1 1 0 1 1
r r
r r
r r
r r
r r
r
+ - + + + + + D
— —
In un triangolo equilatero ABC di lato l, la retta s è perpendicolare al lato BC in un suo punto H. Sia P il punto di s, nel semipiano non contenente il triangolo, tale che BP=l; posto CBPV =x:
a) determina la funzione f(x) che esprime la somma dell’area del triangolo BPH con il doppio di quella del triangolo equilatero di lato BH e disegna il grafico corrispondente;
b) trova il massimo di f(x) e risolvi la disequazione ( ) 3 f x $ 2 l2.
) ( )f x l4 (sen2x 3cos2x 3), 0 x ; ) : ; l ( 3) , x
2 12 4 2 0
a 2 con # # r b max r 2 # # r6
= + + b + l
; E
— —
In una circonferenza di centro O e raggio r conduci una corda PQ congruente al lato del quadrato inscritto.
Traccia un diametro con estremi A, B appartenenti al maggiore dei due archi PQ% (B più vicino a Q) e poni BOQW =2x.
a) Scrivi l’espressione analitica della funzione f x( )= 2PB-2AQ . b) Disegna il grafico e determina eventuali massimi e minimi.
c) Senza tener conto delle limitazioni imposte dal problema, risolvi la disequazione f x( )$ 2r. ) ( )f x 2 2rsen x , x ; )min: ; ,max: ( ; ); )r k x k
4 0
4 4 0 0 2
12 5
12
a r con # # r b r c # #13
r r r r
= b - l b l + +
< F
— —
Nella semicirconferenza di diametro AB=2r la corda AC forma un angolo assegnato BAC 4
= r
W . Consi-
dera un punto D dell’arco BC$, indicando con E la sua proiezione sulla corda BC, con F quella sul prolunga- mento di AC.
a) Poni CBDV =x e determina la funzione f x( )
BC DE DF
= +
.
b) Scrivi l’espressione s(x) dell’area del rettangolo CEDF. Per quale x risulta massima? Quante soluzioni ha l’equazione s x( )= 22-1r2
? a)y sen2 ,x con0#x#r4 ; ) ( )b s x r2(cos2x cos22 ),x x r6 , 2
= = - =
: D
— —
È dato un triangolo ABC in cui l’angolo BACW =2a ha il coseno uguale a 25
7 e la bisettrice AD misura a.
a) Poni ADBW =x e dimostra che, nell’ambito delle limitazioni del problema, l’area di ABC può essere espressa dalla funzione ( )
16 9
f x x
12a cotg2
2
= - ; determina poi il triangolo con area minima.
b) Scrivi l’espressione analitica della funzione ( ) ( )
g x BC
f x 25 96
$ 2
= , disegna il grafico e determina il massimo.
) 4 a; ) ( )g x cos x,max: ; 3
25
7 2
2 25
a isoscele con area 2 b r 32
= - b l
: D
352
353
354
355
356
357
— —
È data una semicirconferenza di diametro AB= 3l; conduci la tangente in A e fissa su di essa il punto C, appartenente al semipiano della semicirconferenza, tale che AC=l. Sulla semicirconferenza considera un punto P e poni PABW =x.
a) Determina le funzioni f x( )=PB2+PC2eg x( )=2PA2+4AC2.
b) Traccia i grafici di f(x) e g(x) evidenziando la parte relativa al dominio del problema.
c) Risolvi la disequazione f x( )$g( )x senza tener conto dei limiti del problema.
) ( )f x l (4 3sen2x g x), ( ) l (7 3cos2x), 0 x 2 ; ) 2 k x 32 k
a 2 2 con # # r c r # #
r r r
= - = + + +
: D
— —
Nella semicirconferenza di diametro AB=2r e centro O è inscritto il quadrilatero ABCD nel quale il lato CD è congruente al raggio. Posto l’angolo BOCW =2x:
a) determina x in modo che il perimetro del quadrilatero ABCD valga (3+ 3)r; b) rappresenta la funzione f x( ) 2r
perimetroABCD
= su un intero periodo e indica l’arco di curva relativo al problema;
c) descrivi la situazione geometrica nella quale il perimetro raggiunge il suo valore massimo;
d) risolvi la disequazione f x( )#1 senza tener conto delle limitazioni del problema.
0 ( ); ) sen ;
x x 3 y x 3 23
a) e r situazioni limite b r
= = = b + l+
: ) ; ) 65 2k x 2k
2
c trapezio isoscele d r+ r# #3r+ rD
— —
Sui due lati di un angolo retto di vertice O, si considerano due segmenti OM e ON tali che OM=1 e ON= 3. Dopo aver tracciato una semiretta r interna all’angolo, indica con Ml e con Nl le proiezioni rispettivamente di M e di N su r. Sia P il punto medio di M Nl l e S il punto di intersezione tra r e la parallela a OM passante per N.
a) Indica con A1 l’area del triangolo PNS e con A2 quella del triangolo ONS e determina, al variare dell’an- golo MONW l=x, la funzione f x( )
A A
2
= 1.
Rappresenta f(x) in un periodo ed evidenzia la parte relativa al problema.
b) Individua la situazione geometrica corrispondente al valore minimo della funzione.
) ( )f x 4 sen x , 0 x ; )min: ; 3
6
3 2
3 2 12
5
12 9 2 3
a r 1 1 r b
r
= - b - l c - m
; E
— —
Nella semicirconferenza di diametro AB=2 e centro O, è condotta la semiretta contenente il raggio OQ per- pendicolare ad AB. Considerato il generico punto P della semicirconferenza indica con H la sua proiezione su AB e con L il punto della semiretta OQ tale che l’angolo HPWL sia diviso in due parti congruenti dal raggio OP.
a) Esprimi la misura di OL in funzione dell’angolo x=OP LW , indicando anche il corrispondente dominio.
b) Determina per quali valori di x la misura di OL è maggiore del raggio.
c) Posto x 6
= r, determina gli angoli formati dalle diagonali del quadrilatero OHPL.
)OL cos , ; ) ; ) ,
x x x
2 1 0 2 3 2 2 7
5
2 7
a 1 1 r b r 1 1 r c arcsen arcsen 5
a b r
= = c m = - c m
; E
— —
Un triangolo ABC ha l’angolo BV doppio dell’angolo CW e il lato AC è lungo b.
a) Determina ABeBC in funzione dell’ampiezza x dell’angolo CW. b) Risolvi, limitatamente al problema, la disequazione AB$b 22 .
c) Trova il valore di CW per cui BC=b. ) , ( )
; ) ; )
cos cos
AB cos
x
b BC
x
b x
2 2 x
4 1
4 3 5
a 2 b r # 1 r c r
= = -
; E
— —
È dato il trapezio rettangolo ABCD la cui base minore AB misura l, l’angolo ABCV = 32r e la diagonale 3
AC= $l. Sull’altezza BH considera il punto P tale che PC DW =x. In funzione di x determina f x( )
l PD2 PB2
= -2
e verifica che f x( )20 nei limiti imposti dal problema.
Indipendentemente dal problema geometrico, risolvi la disequazione f x( ) 3
$ 4.
( ) 3 , 0 ;
f x 2 x 4 x k x k
1
3 6 2
tg # # r r # 1
r r
r
= + + +
; E
358
359
360
361
362
363
