a) Quante sono le funzioni invertibili da X in X?

(1)

1

Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo-

sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[…] Sia A = {x, y, z}. Esiste una funzione bigettiva da P(A x A) in P(A) x P(A)?

[…] Sia X un insieme di cardinalità n > 1 e sia a un suo elemento.

a) Quante sono le funzioni invertibili da X in X?

b) Quante sono le funzioni iniettive da X in X?

c) Quanti sono i sottoinsiemi di X che non contengono a?

1. D OMANDA S ULLE F UNZIONI : ESISTE UNA FUNZIONE BIGETTIVA TRA QUESTI DUE INSIEMI F INITI …?

La risposta è sì se l'insieme P(A x A) e l'insieme P(A) x P(A) hanno lo stesso numero di elementi, altrimenti è no.

1. Quanti elementi ha P(A x A) ? AxA ha 3x3 = 9 elementi

Allora P(A x A) ha 2 ^ 9 elementi ( 2 elevato alla nove) = 512 elementi

2. Ora quanti elementi ha P(A) x P(A) ? P(A) ha 2^3 = 8 elementi

Allora P(A) x P(A) ha 8x8 = 64 elementi

Conclusione: Non esiste una funzione bigettiva da P(A x A) in P(A) x P(A).

2. D OMANDA S ULLE F UNZIONI E S UL C ALCOLO C OMBINATORIO

a) Le funzioni invertibili da X in X sono tutte e sole le funzioni bigettive da X in X, e queste sappiamo che sono n!

( Esercitazione N.2 del 31 ottobre 2006 riepilogo di pag. 9 , URL http://www.dima.unige.it/~baratter/2006.10.31_o.pdf )

b) le funzioni iniettive da X in X ( può utilizzare ad esempio il riepilogo di pag.9 ) sono n(n-1)(n-2)... (n-(k-1)), ma qua k=n, quindi sono

n(n-1)(n-2)... (1) = n!

Come vede i risultati di a) e b) coincidono , ciò dipende dal fatto che nel caso finito dire che una funzione da X in X è bigettiva equivale a dire che è iniettiva ( o che è surgettiva). Naturalmente da X in X !!!

c) Se cerchiamo i sottoinsiemi di X che non contengono a dobbiamo togliere l'elemento a dall'insieme X e considerare l'insieme X-{a} . Ora quanti sono i sottoinsiemi di X-{a} ? Sono 2^(n-1) , essendo n-1 il numero di elementi dell'insieme X-{a}.

R R

ISISPPOOSSTTAA

R R

IISSPPOOSSTTAA

(2)

2 […]ho un piccolo dubbio sulla prima relazione da verificare come d'equivalenza del settimo foglio di Esercizi ( http://www.dima.unige.it/~baratter/fogliex05.pdf : pagine 11-12 )

1.a) in Z x~y <=> x=y oppure x=-y

La mia risposta è che siccome la relazione è riscrivibile come in Z x~y <=> x=|y|

ho risposto che non è d'equivalenza, non verificandosi la proprietà simmetrica, ma quando ho letto sulle risposte che la relazione è riscrivibile come

in Z x~y <=> |x|=|y|

non ho capito bene in base a che cosa sia possibile mettere la x in modulo, visto che x=|y| vuol dire che x=y oppure x=-y, da cui si deduce che x=|y| è equivalente alla definizione della relazione.

3. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : R ELAZIONI D ’E QUIVALENZA E V ALORE A SSOLUTO

R R

IISSPPOOSSTTAA

Se lei scrive

in Z x~y <=> x=|y|

avrebbe che |y| è sempre positivo o nullo per definizione di valore assoluto e quindi anche x risulta essere positivo o nullo ! Ma allora x sarebbe un numero naturale e non assumerebbe mai valore negativo, mentre la relazione è data su Z !

E su Z si ha |x|=|y| <=> x=y oppure x=-y ( basta fare i 4 casi del segno

di x ed y per convincersene ).

(3)

3 […] riguardo all’esercizio 3.a) appartenente alla prova scritta del 11-01-2007:

come faccio a verificare la relazione d'equivalenza? Devo sostituire alle variabili numeri provando le proprietà riflessiva,simmetrica e transitiva?

No, se sostuisce alle variabili dei numeri a caso proverà le 3 proprietà per QUEI numeri, ma non per TUTTI , come invece è necessario fare.

Il testo dell’esercizio è:

data in R

²

la corrispondenza (x,y)~(z,w) ⇔ 2(x-z)=5(y-w) , verificare che è una relazione d’equivalenza.

Proviamo la riflessiva, ossia proviamo che ogni elemento di R

²

è in relazione con se stesso:

(x,y)~(x,y) per ogni (x,y) ∈ R

²

. Cosa vuol dire (x,y)~(x,y) ?

(x,y)~( x , y)

Allora (x,y)~( x , y) se e solo se risulta 2(x-x) = 5(y-y) ossia 0=0 che è vero ! Quindi la proprietà riflessiva è provata per TUTTI gli elementi (x,y) del nostro insieme R

²

.

Proviamo la simmetrica : dobbiamo provare che se (x,y) ~ (z,w) allora (z,w)~(x,y) per tutti gli (x,y), (z,w) ∈ R

²

L’ipotesi è (x,y) ~ (z,w) che equivale a 2(x-z)=5(y-w).

La tesi è (z,w) ~ (x,y) che equivale a 2(z-x)=5(w-y).

Come si fa ad ottenere dall’uguaglianza 2(x-z)=5(y-w), l’uguaglianza 2(z-x)=5(w-y) ? Basta cambiare di segno ! Allora è vera la tesi.

Proviamo infine la transitiva: dobbiamo provare che se (x,y) ~ (z,w) e (z,w) ~(p,q) allora (x,y)~(p,q) per tutti gli (x,y), (z,w), (p,q) ∈ R

²

Ipotesi : (x,y) ~ (z,w) che equivale a 2(x-z)=5(y-w) (1) (z,w) ~(p,q) che equivale a 2(z-p)=5(w-q) (2)

Tesi : (x,y) ~ (p,q) che equivale a 2(x-p)=5(y-q) (3)

Come ottenere (3) da (1) e (2) ? Basta sommare membro a membro (1) e (2) per ottenere (3), allora la tesi è vera.

4. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : L’

ESERCIZIO

3

A

)

DELLA

P

ROVA

S

CRITTA

D

EL

a) Quante sono le funzioni invertibili da X in X?

1

sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[…] Sia A = {x, y, z}. Esiste una funzione bigettiva da P(A x A) in P(A) x P(A)?

[…] Sia X un insieme di cardinalità n > 1 e sia a un suo elemento.

a) Quante sono le funzioni invertibili da X in X?

b) Quante sono le funzioni iniettive da X in X?

c) Quanti sono i sottoinsiemi di X che non contengono a?

1. D OMANDA S ULLE F UNZIONI : ESISTE UNA FUNZIONE BIGETTIVA TRA QUESTI DUE INSIEMI F INITI …?

La risposta è sì se l'insieme P(A x A) e l'insieme P(A) x P(A) hanno lo stesso numero di elementi, altrimenti è no.

1. Quanti elementi ha P(A x A) ? AxA ha 3x3 = 9 elementi

Allora P(A x A) ha 2 ^ 9 elementi ( 2 elevato alla nove) = 512 elementi

2. Ora quanti elementi ha P(A) x P(A) ? P(A) ha 2^3 = 8 elementi

Allora P(A) x P(A) ha 8x8 = 64 elementi

Conclusione: Non esiste una funzione bigettiva da P(A x A) in P(A) x P(A).

2. D OMANDA S ULLE F UNZIONI E S UL C ALCOLO C OMBINATORIO

a) Le funzioni invertibili da X in X sono tutte e sole le funzioni bigettive da X in X, e queste sappiamo che sono n!

( Esercitazione N.2 del 31 ottobre 2006 riepilogo di pag. 9 , URL http://www.dima.unige.it/~baratter/2006.10.31_o.pdf )

b) le funzioni iniettive da X in X ( può utilizzare ad esempio il riepilogo di pag.9 ) sono n(n-1)(n-2)... (n-(k-1)), ma qua k=n, quindi sono

n(n-1)(n-2)... (1) = n!

Come vede i risultati di a) e b) coincidono , ciò dipende dal fatto che nel caso finito dire che una funzione da X in X è bigettiva equivale a dire che è iniettiva ( o che è surgettiva). Naturalmente da X in X !!!

c) Se cerchiamo i sottoinsiemi di X che non contengono a dobbiamo togliere l'elemento a dall'insieme X e considerare l'insieme X-{a} . Ora quanti sono i sottoinsiemi di X-{a} ? Sono 2^(n-1) , essendo n-1 il numero di elementi dell'insieme X-{a}.

R R

R R

2 […]ho un piccolo dubbio sulla prima relazione da verificare come d'equivalenza del settimo foglio di Esercizi ( http://www.dima.unige.it/~baratter/fogliex05.pdf : pagine 11-12 )

1.a) in Z x~y <=> x=y oppure x=-y

La mia risposta è che siccome la relazione è riscrivibile come in Z x~y <=> x=|y|

ho risposto che non è d'equivalenza, non verificandosi la proprietà simmetrica, ma quando ho letto sulle risposte che la relazione è riscrivibile come

in Z x~y <=> |x|=|y|

non ho capito bene in base a che cosa sia possibile mettere la x in modulo, visto che x=|y| vuol dire che x=y oppure x=-y, da cui si deduce che x=|y| è equivalente alla definizione della relazione.

3. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : R ELAZIONI D ’E QUIVALENZA E V ALORE A SSOLUTO

R R

Se lei scrive

in Z x~y <=> x=|y|

avrebbe che |y| è sempre positivo o nullo per definizione di valore assoluto e quindi anche x risulta essere positivo o nullo ! Ma allora x sarebbe un numero naturale e non assumerebbe mai valore negativo, mentre la relazione è data su Z !

E su Z si ha |x|=|y| <=> x=y oppure x=-y ( basta fare i 4 casi del segno

di x ed y per convincersene ).

3 […] riguardo all’esercizio 3.a) appartenente alla prova scritta del 11-01-2007:

come faccio a verificare la relazione d'equivalenza? Devo sostituire alle variabili numeri provando le proprietà riflessiva,simmetrica e transitiva?

No, se sostuisce alle variabili dei numeri a caso proverà le 3 proprietà per QUEI numeri, ma non per TUTTI , come invece è necessario fare.

Il testo dell’esercizio è:

data in R

la corrispondenza (x,y)~(z,w) ⇔ 2(x-z)=5(y-w) , verificare che è una relazione d’equivalenza.

Proviamo la riflessiva, ossia proviamo che ogni elemento di R

è in relazione con se stesso:

(x,y)~(x,y) per ogni (x,y) ∈ R

. Cosa vuol dire (x,y)~(x,y) ?

(x,y)~( x , y)

Allora (x,y)~( x , y) se e solo se risulta 2(x-x) = 5(y-y) ossia 0=0 che è vero ! Quindi la proprietà riflessiva è provata per TUTTI gli elementi (x,y) del nostro insieme R

.

Proviamo la simmetrica : dobbiamo provare che se (x,y) ~ (z,w) allora (z,w)~(x,y) per tutti gli (x,y), (z,w) ∈ R

L’ipotesi è (x,y) ~ (z,w) che equivale a 2(x-z)=5(y-w).

La tesi è (z,w) ~ (x,y) che equivale a 2(z-x)=5(w-y).

Come si fa ad ottenere dall’uguaglianza 2(x-z)=5(y-w), l’uguaglianza 2(z-x)=5(w-y) ? Basta cambiare di segno ! Allora è vera la tesi.

Proviamo infine la transitiva: dobbiamo provare che se (x,y) ~ (z,w) e (z,w) ~(p,q) allora (x,y)~(p,q) per tutti gli (x,y), (z,w), (p,q) ∈ R

Ipotesi : (x,y) ~ (z,w) che equivale a 2(x-z)=5(y-w) (1) (z,w) ~(p,q) che equivale a 2(z-p)=5(w-q) (2)

Tesi : (x,y) ~ (p,q) che equivale a 2(x-p)=5(y-q) (3)

Come ottenere (3) da (1) e (2) ? Basta sommare membro a membro (1) e (2) per ottenere (3), allora la tesi è vera.

4. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : L’

3

)

P

S

D

11.01.2007

Nella definizione questo x corrisponde a z

Nella definizione questo y

corrisponde a w