Lezione n°3

Lezione n

°

3

Richiami di Algebra vettoriale:

- Matrici ed Operazioni tra matrici

- Inversa di una matrice

- Risoluzione di un sistema di equazioni lineari

- Metodo di Gauss- Jordan

R. Cerulli – F. Carrabs

Lezioni di Ricerca Operativa

Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata

Università di Salerno

Matrici

Definizione (Matrice): Prende il nome di matrice di

ordine mxn una tabella di elementi ordinatamente

disposti su m righe ed n colonne.

Notazione:

Indicheremo le matrici con lettere

maiuscole A, B,…. o per esteso con la seguente

notazione:

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ë

é

=

34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

Matrici: Notazione

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

1

3

3

3

3

2

7

2

2

5

4

1

A

A è una matrice (3x4)

num. di righe

num. di colonne

generico elemento a

_ij

della matrice nella riga

i

e nella colonna

j

{ }

ij

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

1

3

3

3

3

2

7

2

2

5

4

1

A

a

1

a

2

a

3

Matrici: Notazione

a

₁

a

₂

a

₃

a

₄

÷

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

ç

è

æ

=

3

2

1

a

a

a

A

Oppure come insieme di vettori colonna:

A=(a

₁

, a

₂

, a

₃

, a

₄

)

A si può indicare anche come insieme

di vettori riga:

Matrici

•

Se m≠n la matrice si dice

rettangolare

; si dice

quadrata

se m=n.

•

In una matrice quadrata di ordine n gli elementi a

_ii

(i=1,…n) costituiscono la

diagonale principale

.

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

1

3

3

3

3

2

7

2

2

5

4

1

A

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

3

3

3

2

7

2

5

4

1

B

Moltiplicazione per uno scalare

{ }

_ij

mxn

A

=

a

k

scalare

{ }

ka

_ij

A

k

=

matrice (mxn)

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

1

3

3

3

3

2

7

2

2

5

4

1

A

2

=

k

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

2

6

6

6

6

4

14

4

4

10

8

2

1

3

3

3

3

2

7

2

2

5

4

1

*

2

kA

Esempio

Addizione tra matrici

Condizione necessaria: le matrici devono avere le stesse dimensioni

{ }

_ij

mxn

A

=

a

mxn

B

=

{ }

b

ij

C

B

A

+

=

{ }

ij

mxn

C

=

c

c

_ij

_{= a}

_ij

_{+ b}

_ij

_{∀i = 1,...,m ∀j = 1,...,n}

þ

ý

ü

î

í

ì

=

1

2

4

1

2

2 x

A

þ

ý

ü

î

í

ì-=

1

0

1

1

2

2 x

B

A + B

2 x 2

=

0 5

2 2

!

"

#

$

%

&

Esempio:

1,...,p

j

1,...,m

i

b

a

c

n

k

kj

ik

ij

=

"

=

"

=

å

=

1

Moltiplicazione tra matrici

{ }

_ij

mxn

A

=

a

nxp

B

=

{ }

b

ij

Condizione necessaria

Ciascun elemento di C è il

prodotto interno di una

riga di A ed una colonna

Moltiplicazione tra matrici

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

1

0

2

5

2

4

1

1

1

3

3x

A

_ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

1

1

0

3

0

5

2

3x

B

Esempio

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

=

1

11

5

19

1

3

2

3

C

x

AB

Moltiplicazione tra matrici

Da ricordare:

1. Il prodotto AB è definito solo se

n=q

. AB è allora una

matrice

mxp

2. Il prodotto BA è definito solo se

m=p

. BA è allora una

matrice

qxn

3. NON necessariamente vale la proprietà COMMUTATIVA

{ }

_ij

mxn

A

=

a

qxp

{ }

ij

b

B

=

þ

ý

ü

î

í

ì

=

1

2

4

1

2

2 x

A

þ

ý

ü

î

í

ì-=

1

0

1

1

2

2 x

B

AB

¹

BA

Alcune matrici particolari

ï

ï

ï

þ

ïï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ïï

ï

í

ì

=

1

...

0

0

0

....

0

...

1

0

0

0

...

0

1

0

0

...

0

0

1

nxn

I

Matrice Identita’

A

A

I

A

I

A

mxn

mxm

nxn

mxn

=

=

ï

ï

ï

þ

ïï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ïï

ï

í

ì

=

a

...

0

0

0

....

a

...

a

0

0

a

...

a

a

0

a

...

a

a

a

nn

3n

33

2n

23

22

1n

13

12

11

nxn

A

Matrice Triangolare

superiore

Trasposta di una matrice

Data una matrice A= { a

_ij

} (mxn), la sua matrice

TRASPOSTA A

t

_{è una matrice (nxm) ottenuta invertendo le}

righe con le colonne:

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

1

1

0

3

0

5

2

3x

A

þ

ý

ü

î

í

ì

=

1

0

0

1

3

5

3

2

T

x

A

Trasposta di una matrice

Proprietà

A

A

T

)

T

=

(

1.

T

T

T

_A

_B

B

A

+ )

=

+

(

2.

(quando la somma è definita)

T

T

T

_B

_A

AB

)

=

(

Matrici partizionate

Una matrice A (mxn) possiamo anche vederla

partizionata

in

sottomatrici.

ï

ï

þ

ï

ï

ý

ü

ï

ï

î

ï

ï

í

ì

=

44

43

42

41

34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11

4

4

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

x

A

ï

ï

þ

ï

ï

ý

ü

ï

ï

î

ï

ï

í

ì

=

44

43

42

41

34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11

4

4

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

x

A

11

A

A

12

21

A

_A

₂₂

þ

ý

ü

î

í

ì

=

A

A

A

A

22

21

12

11

4

4x

A

hanno dimensione 3x2

11

A

A

₁₂

21

A

A

₂₂

hanno dimensione 1x2

Operazioni elementari

Data una matrice A (mxn) è possibile definire alcune operazioni

sulle righe e sulle colonne utili a risolvere un sistema di

equazioni lineari.

Operazioni elementari

sulle righe (colonne) di una matrice

sono:

-

SCAMBIO:

scambio della riga i con la riga j

-

MOLTIPLICAZIONE:

moltiplicazione di una riga per uno

scalare (diverso da zero).

-

SOSTITUZIONE:

sostituzione della riga i con la somma della

riga i e della riga j moltiplicata per uno scalare

Inversa di una matrice

nxn

A

una matrice quadrata, se esiste

nxn

B

I

AB

=

I

BA

=

B è detta matrice inversa di A

matrice quadrata tale che

Da ricordare:

- l’inversa di una matrice A (se esiste) è UNICA ed è indicata con A

-1

- se una matrice ammette l’inversa allora è detta matrice

NON SINGOLARE

- una matrice quadrata è non singolare se e solo se le righe sono

linearmente indipendenti o equivalentemente se e solo se le colonne

sono linearmente indipendenti

Calcolo dell

’

_{inversa di una matrice}

L’inversa di una matrice quadrata A può essere calcolata

attraverso un numero finito di operazioni elementari nel

seguente modo:

1.

Si considera la nuova matrice (A,I)

2. Si effettuano una serie di operazioni elementari sulle righe e

sulle colonne di questa nuova matrice in modo tale che:

Ø

A diventi la matrice identità I

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

1

1

2

1

1

1

2

A

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

1

0

0

2

1

1

0

1

0

1

2

1

-0

0

1

1

1

2

ï

ï

ï

þ

ï

ï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

1

0

2

1

2

3

2

3

0

0

1

2

1

2

3

2

5

0

0

0

2

1

2

1

2

1

1

Considero la nuova matrice

Divido la prima riga per 2.

Aggiungo la nuova riga ottenuta

alla seconda.

Sottraggo la riga ottenuta dalla

terza

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

esempio (2/3)

ï

ï

ï

þ

ï

ï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

1

0

2

1

2

3

2

3

0

0

1

2

1

2

3

2

5

0

0

0

2

1

2

1

2

1

1

Moltiplico la seconda riga per 2/5.

Moltiplico la nuova riga ottenuta per -1/2 e la aggiungo alla

prima riga.

Moltiplico la nuova riga ottenuta per 3/2 e la aggiungo alla

terza riga.

ï

ï

ï

þ

ï

ï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

1

0

5

1

5

12

0

0

0

5

2

5

1

5

3

1

0

0

5

1

5

2

5

1

0

1

ï

ï

ï

þ

ï

ï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

1

0

5

1

5

12

0

0

0

5

2

5

1

5

3

1

0

0

5

1

5

2

5

1

0

1

ï

ï

ï

þ

ï

ï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

12

5

12

3

12

1

1

0

0

12

3

12

3

12

3

0

1

0

12

1

12

3

12

5

0

0

1

Moltiplico la terza riga per 5/12.

Moltiplico la nuova riga ottenuta per -3/5 e la aggiungo alla

seconda riga.

Moltiplico la nuova riga ottenuta per -1/5 e la aggiungo alla

prima riga.

Quindi l’inversa in questo caso esiste

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

metodo alternativo

Il determinante di una matrice quadrata A è uno scalare che ne

sintetizza alcune proprietà algebriche.

Viene denotato con det(A) e si calcola con la seguente formula:

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

1

1

2

1

1

1

2

A

fissata una riga i

det(A) =

P

n

_j=1

( 1)

i+j

_{· a}

ij

· minor(A

ij

)

<latexit sha1_base64="cncaw4XvpPurtALTuNmeI4AFaL8=">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</latexit><latexit sha1_base64="cncaw4XvpPurtALTuNmeI4AFaL8=">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</latexit><latexit sha1_base64="cncaw4XvpPurtALTuNmeI4AFaL8=">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</latexit><latexit sha1_base64="cncaw4XvpPurtALTuNmeI4AFaL8=">AAADNHicbVJNb9NAEN2arxK+WjhyWUgrJSKN4l7gUtSKC8ciSFspSaP1eupMsx/W7mxRsfJv+A38CK5wQUJcEFd+A+s0SKRlDtbzmxmP573JSoWeer1vK8m16zdu3lq93bhz9979B2vrDw+8DU5CX1pl3VEmPCg00CckBUelA6EzBYfZ9FWdPzwD59Gad3RewkiLwuAJSkGRGq+93MiBWnvtnaEPelyd7qSzY9PaStvHFT47nQ1lbomLcYV/sUZjXWtvzrQ3xmvNXrc3D34VpAvQZIvYH6+v/BjmVgYNhqQS3g/SXkmjSjhCqWDWGAYPpZBTUcAgQiM0+FE1X3TGN4MXZHkJjqPicxL+7aiE9v5cZ7FSC5r4y7ma/F9uEOjkxahCUwYCI+tBhArmg7x0GBUEnqMDIlH/OXA0XAoniMAhF1JGMkRJG5scuYcixHfk8etyEnsiZY3lnmIFF0WBoc7myB3UjdDlb4HLaFssKp2N3mnk0dKotVD4ZGkLwumHC5VqpDBzwp1XpfVYG4qm6Ajn7HvfkULJjp+IEny3AKuBHMplfV1QkHfO6tvJO/XTm6CzuGseDVGFdUgTvb1sSpVZOyWR+WVWB0UY587iRaSX/b8KDra7acRvtpu7vcVtrLLH7ClrsZQ9Z7vsNdtnfSbZR/aZfWFfk0/J9+Rn8uuiNFlZ9DxiS5H8/gOpUg0x</latexit>

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

metodo alternativo

Il determinante di una matrice quadrata A è uno scalare che ne

sintetizza alcune proprietà algebriche.

Viene denotato con det(A) e si calcola con la seguente formula:

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

1

1

2

1

1

1

2

A

fissata una riga i

det(A) =

P

n

_j=1

( 1)

i+j

_{· a}

ij

· minor(A

ij

)

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

metodo alternativo

Il determinante di una matrice quadrata A è uno scalare che ne

sintetizza alcune proprietà algebriche.

Viene denotato con det(A) e si calcola con la seguente formula:

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

1

1

2

1

1

1

2

A

fissata una riga i

det(A) =

P

n

_j=1

( 1)

i+j

_{· a}

ij

· minor(A

ij

)

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

metodo alternativo

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

1

1

2

1

1

1

2

A

Matrice trasposta dei cofattori

cof (A

_ij

) = ( 1)

i+j

_{· minor(A}

_ij

)

Calcolo dell

’

inversa di una matrice

metodo alternativo

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

1

1

2

1

1

1

2

A

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

A

cof (A

_ij

) = ( 1)

i+j

_{· minor(A}

_ij

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21

) = ( 1)

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Calcolo dell

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inversa di una matrice

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A

cof (A

<latexit sha1_base64="4suZleJ6i5ioi5ODenpRuqNoEoc=">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</latexit><latexit sha1_base64="4suZleJ6i5ioi5ODenpRuqNoEoc=">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</latexit><latexit sha1_base64="4suZleJ6i5ioi5ODenpRuqNoEoc=">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</latexit><latexit sha1_base64="4suZleJ6i5ioi5ODenpRuqNoEoc=">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</latexit>

21

) = ( 1)

2+1

· minor(A

21

) =

cof (A

_ij

) = ( 1)

i+j

_{· minor(A}

_ij

)

Rango di una matrice

Rango di riga: numero massimo di righe lin. indipendenti

Teorema: Rango di riga = Rango di colonna

Rango di colonna: numero massimo di colonne lin. indipendenti

Rango (A) £ min (m,n)

Rango di una matrice e sistema di equazioni

lineari (1/2)

Cercare una soluzione ad un sistema di equazioni lineari

b

x

A

mxn

=

Significa cercare quei valori x

₁

, x

₂

, …, x

_n

tali che il vettore

b

può

essere espresso come combinazione lineare delle colonne della

matrice.

Per la soluzione di un sistema di equazioni lineari valgono le seguenti:

1. Rango(A,b) > Rango(A) Þ il sistema non ha soluzione

2. Rango(A,b) = Rango(A)

Þ

_{il sistema ha soluzione}

In generale il numero di soluzioni di un sistema di equazioni è pari a

∞

!"#$!%&(()

Risolvere un sistema di equaz. Lineari

attraverso operazioni elementari

Dato un sistema di m equazioni lineari ed n incognite

b

x

A

=

matrice dei coefficienti di

dimensione (mxn)

Vettore delle incognite

di dimensione (nx1)

vettore dei termini noti

di dimensione (mx1)

è equivalente al sistema:

A

'

x

=

b

'

dove la matrice

(

A

,'

b

'

)

è ottenuta da

( b

A

,

)

attraverso un numero finito di operazioni elementari

Risolvere un sistema di equazioni lineari

2

6

2

10

2

-2

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

=

+

=

+

-+

-=

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

La matrice dei coefficienti

ha rango =3 < 4

il sistema ha infinite

soluzioni

Metodo di Gauss-Jordan:

ridurre la matrice dei coefficienti ad una matrice

triangolare superiore attraverso un numero finito

di operazioni elementari

Risolvere un sistema di equazioni lineari

2

6

2

10

2

-2

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

=

+

=

+

-+

-=

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Metodo di Gauss-Jordan

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

2

0

1

1

0

6

1

1

2

1

10

2

1

2

1

Aggiungi la prima riga alla

seconda riga.

Dividi la seconda riga per 4.

Sottrai la nuova riga ottenuta

alla terza riga.

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

2

0

1

1

0

16

1

0

4

0

10

2

1

2

1

ï

ï

ï

þ

ïï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ïï

ï

í

ì

2

4

1

1

0

0

4

4

1

0

1

0

10

2

1

2

1

Risolvere un sistema di equazioni lineari

2

6

2

10

2

-2

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

=

+

=

+

-+

-=

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Metodo di Gauss-Jordan

ï

ï

ï

þ

ïï

ï

ý

ü

ï

ï

ï

î

ïï

ï

í

ì

2

4

1

1

0

0

4

4

1

0

1

0

10

2

1

2

1

4

7

4

2

2

10

4

1

4

4

1

2

3

2

1

2

3

4

l

+

=

-l

+

=

l

+

=

l

-=

l

=

x

x

x

x

x

x

ESERCIZI

1. Dati i seguenti vettori A=(4,1,2), B=(7, -8, 0), C=(4, 1, 3) determinare

un nuovo vettore D che risulti combinazione lineare dei tre vettori dati.

2. Dare la definizione di lineare indipendenza e lineare dipendenza tra

vettori in R

n

_{. Fornire un esempio di vettori in R}

3

_linearmente

indipendenti e vettori in R

3

_{linearmente dipendenti.}

3. Dati i seguenti vettori in R

3

_{: A = (1, 3, - 4), B = (0, 3, 2), C = (1 0 1):}

- Si verifichi se i vettori dati costituiscono una base per lo spazio;

- Si determini un nuovo vettore ottenuto come combinazione