Esercitazione in aula n. 4
1. Nel passato la deviazione standard di un certo fenomeno è risultata pari aσ =0.25. L’esame di un campione casuale di numerositàn=20, raccolto recentemente, ha mostrato una deviazione standard stimata, s, pari a 0.33.
C’è motivo di ritenere, con un rischio di erroreα =0.05, che la deviazione standard del fenomeno sia aumentata nel tempo?
[Soluzione: SI (s=0.33>0.315)]
2. La resa (in %) di un processo chimico viene sottoposta a verifica. In base all’esperienza precedente su tale processo è noto che la deviazione standard σ è uguale a 3. Negli ultimi 5 giorni di produzione sono stati rilevati i seguenti valori
91.60, 88.75, 90.80, 89.95, 91.30
Al livello di rischio di I specie α=0.05 ed assumendo la Normalità dei dati a) vi è qualche indicazione che la resa sia diversa dal 90.00%?
b) qual è l’errore di II specie in corrispondenza di una “resa vera” pari all’88%?
c) determinare il numero di prove N tale che l’errore di II specie in caso di una “resa vera” dell’88% sia pari al 10%.
[Soluzioni: a) NO (87.37<X =90.48<92.63) b) 0.68 c) N =24]
3. Una compagnia petrolifera deve modificare la sua produzione di benzina contenente piombo, passando ad una composizione priva di piombo. Il “numero di ottano” della benzina senza piombo deve comunque rimanere uguale a quello della benzina con piombo per non pregiudicare la funzionalità dei veicoli. Viene predisposto un esperimento per la misura del numero di ottano su
campioni di benzina per ciascuna delle due composizioni, ottenendo i seguenti risultati: 9
n=
Benzina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Con piombo 89.5 90.0 91.0 91.5 92.5 91.0 89.0 89.5 91.0 Senza piombo 89.5 91.5 91.0 89.0 91.5 92.0 92.0 90.5 90.0
a) Definire ed applicare un test d’ipotesi per risolvere il problema decisionale proposto con un rischio di errore di prima specie del 10%;
b) Verificare l’ipotesi di Normalità dei dati osservati. [Soluzione: −0.915< = −D 0.22<0.915 NON si respingeH0]
4. Nella tabella seguente sono riportate le “portate massime annuali” (in m3/s), rilevate nel bacino idrografico del Pond Creek nella zona orientale degli Stati Uniti in due periodi consecutivi di 12 anni ciascuno dal 1945 al 1968. Si sospetta che, a partire dalla metà di tale intervallo di osservazione, il regime di flusso del corso d’acqua si sia modificato, causando un aumento del livello delle portate massime annuali. Questo equivale a dire che, nel secondo periodo, il livello “medio” di tali portate si è incrementato rispetto a quello del primo periodo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Primo Periodo 2000 1740 1460 2060 1530 1590 1690 1420 1330 607 1380 1660 Secondo Periodo 2290 2590 3260 2490 3080 2520 3360 8020 4310 4380 3220 4320
Impostare un test statistico, con un livello di rischio di I specie α =0.05, per verificare l’ipotesi formulata, assumendo che le portate massime annuali, in ciascuno dei due periodi, si distribuiscano secondo un modello Normale, con medie potenzialmente diverse tra loro ma con una varianza comune.
[Soluzione: D=2114.4>796.1 Si respingeH0]
5. Una Carta di Controllo è un grafico sul quale vengono rappresentati i punti stima ˆθi, calcolati sulla base di campioni di osservazioni della caratteristica sottoposta a controllo, estratti a fissati intervalli temporali nel corso del processo produttivo. Come mostrato in maniera esemplificativa nella figura seguente, ciascun valore ˆθi viene confrontato di volta in volta con dei
limiti di controllo. Finché il punto stima cade all’interno della banda delimitata da tali limiti, si
assume che il processo si trova in condizioni di variabilità naturale. Quando, invece, il punto stima cade al di fuori della banda di controllo, allora si assume che è intervenuta una alterazione nello stato del processo, a cui potenzialmente corrisponde un incremento nel numero di unità prodotte non conformi alle specifiche progettuali. In tal caso, il processo produttivo viene fermato fino a che non viene identificata ed eliminata la causa di disturbo, in modo da limitare il numero di unità non conformi prodotte.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
θ^n
LIMITE DI CONTROLLO SUPERIORE
LIMITE DI CONTROLLO INFERIORE
Fig. 1 – Esempio di carta di controllo con limiti bilaterali
Si consideri il caso di un processo produttivo in cui la varabile da controllare è di tipo Normale, con valore nominale μ0 =10.11 e variabilità naturaleσ0 =0.1. La verifica della stabilità del processo nel corso del tempo consiste nell’effettuare il controllo congiunto della costanza nel tempo dei parametri μ0 eσ0. In termini statistici tale controllo si fonda su due distinti “test di
ipotesi” (e quindi su due distinte carte di controllo) basati sull’osservazione del valore assunto dalla media campionaria x e dalla deviazione standard campionaria s in corrispondenza di campioni tratti in tempi successivi di funzionamento del processo produttivo. Ciò premesso
a) supponendo di aver fissato un rischio di falso allarme (rischio di I specie) α=0.001per ciascuno di tali test, determinare i limiti di controllo inferiore e superiore per il test sulla media μ0 ed il solo limite di controllo superiore per il test sulla deviazione standardσ0, nel
caso in cui le statistiche x ed s sono calcolate su campioni di numerositàn=5;
b) una volta definite le due carte di controllo, verificare se il processo produttivo da cui sono stati tratti i campioni di osservazioni caratterizzati dai valori di media campionaria e
varianza campionaria riportati nella tabella seguente, si può ritenere in condizioni di variabilità naturale. x s x s 10.170 0.085 10.146 0.103 10.140 0.062 10.144 0.046 10.108 0.049 10.094 0.097 10.136 0.132 10.098 0.135 10.080 0.078 10.104 0.092 10.066 0.126 10.116 0.141 10.096 0.167 10.104 0.095 10.126 0.098 10.100 0.085 10.080 0.106 10.036 0.100 10.082 0.080 10.194 0.111 9.976 0.080 10.138 0.192 10.202 0.106 10.110 0.097 10.132 0.098
[Soluzione: a) carta della media LCI = 9.963, LCS = 10.257; carta della deviazione standard LCI = 0, LCS = 0.2148. b) Il processo è in condizioni di variabilità naturale]
