Matematica e Statistica I Anno Accademico 2009-2010 Foglio di esercizi – settimana 4
Limiti e asintoti. Derivate elementari
Introduciamo innanzitutto il concetto di asintoto.
Sia y = f (x) una funzione reale di variabile reale. Supponiamo che
x→±∞lim f (x) = l l ∈ R
Allora la retta y = l `e un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) . Supponiamo ora che
x→clim+f (x) = ±∞ e lim
x→c−f (x) = ±∞
In tal caso di dice anche che la retta verticale x = c `e un asintoto verticale per y = f (x).
ESERCIZIO 4.1 Calcolare il limite per x → +∞ e per x → −∞ delle seguenti funzioni:
f1(x) = 2x3− 3x2 f2(x) = x2logx2− x4 f3(x) = 2x− x f4(x) = log2x4 f5(x) = x23x− x3x2 f6(x) = 2−x2+x− 23x ESERCIZIO 4.2 Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali delle funzioni:
f (x) = x
2x − 3 g(x) = x2 x2− 1 h(x) = log2(x − 1) k(x) = x2+ x + 1
x + 1
ESERCIZIO 4.3 Determinare il limite per x → 0+ della seguente funzione
f (x) = x − 2√ x 3x +√x ESERCIZIO 4.4 Calcolare i seguenti limiti
x→−2lim− 2x
x2− 4 lim
x→−2+
2x x2− 4
x→+2lim−
2x
x2− 4 lim
x→+2+
2x x2− 4
Cosa rappresentano le rette x = −2 e x = 2 per la funzione y = f(x) = 2x x2− 4?
ESERCIZIO 4.5 Date un esempio di funzione y = f (x) definita e continua su tutto l’asse reale, che soddisfi ad entrambe le condizioni seguenti:
x→−∞lim f (x) = 1 lim
x→+∞f (x) = 5 ESERCIZIO 4.6 Considerate le funzioni f (x) = 3−x2 e g(x) =√
23−2x2. Le due funzioni hanno un asintoto per x → ∞? Quale delle due vi converge pi`u velocemente?
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ESERCIZIO 4.7 Per ogni coppia delle seguenti funzioni:
(a) f (x) = x, g(x) = 2x;
(b) f (x) = x, g(x) = x2;
(c) f (x) = log2(x), g(x) = log2(2x);
(d) f (x) = 3x, g(x) = 32x;
dire quale delle due diverge pi`u rapidamente per x → +∞, ovvero se divergono allo stesso ordine.
ESERCIZIO 4.8 Le funzioni f1(x) = x, f2(x) =√
x + 3, f3(x) = x2− x, f4(x) = 22x, f5(x) = x2+ 2x4 sono tutte divergenti per x → +∞.
Classificarle in base alla velocit`a con cui divergono, dalla meno veloce alla pi`u veloce.
ESERCIZIO 4.9 Per x → +∞, determinare l’ordine di convergenza a 0 delle seguenti funzioni:
f (x) = 1 x2 − 1
x3 g(x) = e−x−1
x h(x) = e−2x− e−x2
ESERCIZIO 4.10 Trascurando l’attrito dell’aria, la distanza d percorsa da un corpo lasciato cadere al tempo t = 0 `e legata al tempo t di caduta dalla formula d(t) = 1
2gt2, dove g ≃ 9.812m/s2
`e l’accelerazione di grvit`a . Calcola:
(a) la velocit`a media di caduta fra t0= 2 e t1 = 10 s;
(b) la velocit`a media di caduta fra t0= 2 e t1 = 8 s;
(c) la velocit`a media di caduta fra t0= 2 e t1 = 6 s;
(d) la velocit`a media di caduta fra t0= 2 e t1 = 4 s;
(e) la velocit`a media di caduta fra t0= 2 e t1 = 3 s;
(f) la velocit`a media di caduta fra t0= 2 e t1 = 1 s;
(g) la velocit`a istantanea di caduta in t0= 2 s, trovata come limite del rapporto incrementale.
ESERCIZIO 4.11 Usando la definizione come limite del rapporto incrementale, calcola la deri- vata delle funzioni seguenti:
(a) f (x) = x − 12;
(b) f (x) = 2x + 3;
(c) f (x) = x2− 1;
(d) f (x) = (x − 1)2.
ESERCIZIO 4.12 Si considerino le seguenti funzioni:
(a) f (x) = x2+ 2 (x0= 0) (b) f (x) = −x2+ 2 (x0 = −1)
(c) f (x) = x3+ 2 (x0= 1) (d) f (x) = −(x − 2)3 (x0= 0)
(e) f (x) = 2x − 1 (x0= −1)
Utilizzando la definizione di derivata, calcolare il valore approssimato della derivata nei rispettivi punti x0 prendendo i seguenti incrementi h = 0.1, h = −0.01 e h = 0.001
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ESERCIZIO 4.13 Mostra che la derivata di una funzione (derivabile) pari `e dispari. Cosa puoi dire della derivata di una funzione dispari?
ESERCIZIO 4.14 I dati sul Walleye (un pesce della specie perca) raccolti in Ontario ci dicono che questi pesci, nel corso della loro vita, crescono sempre pi`u lentamente ma senza mai fermarsi.
La dimensione dei pesci nel tempo L(t) `e descritta dalla funzione
L(t) = 72.0(1 − e−0.09t) (1)
dove e ≈ 2.71 (tale numero verr`a definito in maniera pi`u rigorosa pi`u avanti).
(a) Calcolare L(0) ed interpretare il dato iniziale (cosa indica t = 0 in questo caso?).
(b) Calcolare il limite a cui tende L(t) per t → +∞ e convincersi che il grafico di L(t) riportato in Figura 1 `e corretto.
(c) Supponendo che il Walleye cominci a riprodursi quando ha raggiunto una lunghezza di circa 45cm, calcolare l’et`a alla quale questa specie diventa adulta in media.
t
0 10 20 30
Lenght
0 20 40 60 80 100
Figura 1: Grafico di L(t) per il Walleye in Ontario
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