N v.a. di Poisson di parametro λ:

Formulario MMMPG 2009/10

Generalit` a

T v.a. esponenziale di parametro λ: E [T ] = 1/λ.

N v.a. di Poisson di parametro λ:

P (N = k) = e ^−λ λ ^k

k! , E [N ] = λ.

Il numero di arrivi N t , entro un tempo t, se i tempi di interarrivo sono esponenziali di parametro λ indipendenti, ` e una v.a. di Poisson di parametro λt. In particolare, E (N t ) = λt.

T 1 , T 2 v.a. esponenziale di parametri λ 1 , λ 2 , indipendenti: T = min (T 1 , T 2 )

` e esponenziale di parametro λ = λ 1 + λ 2 .

N _t ⁽¹⁾ , N _t ⁽²⁾ , processi di Poisson di parametri λ 1 , λ 2 , indipendenti: N t = N _t ⁽¹⁾ + N _t ⁽²⁾ ` e un processo di Poisson di parametro λ = λ 1 + λ 2 .

∞

X

k=0

ρ ^k = 1 1 − ρ ,

∞

X

k=0 oppure k=1

kρ ^k−1 = 1

(1 − ρ) ² , per 0 < ρ < 1

N

X

k=0

ρ ^k = 1 − ρ ^{N +1} 1 − ρ ,

∞

X

k=0

ρ ^k /k! = e ^ρ . Markov

P (T AB < T AC ) = _λ ^λ

AB

+λ

e generalizzazione a pi` u transizioni.

Catene di nascita e morte, formule generali all’equilibrio (N sist indica il numero di utenti nel sistema, N att in attesa, T perm il tempo di permanenza nel sistema):

a 0 = 1, a n = λ ₀ · · · λ n−1

µ 1 · · · µ n

, a =

∞

X

k=0

a k , π n = a _n a , E [N sist ] =

∞

X

k=0

kπ k , E [T perm ] = X

k

E [T perm |N sist = k] P (N sist = k)

non esplosione (regime di equilibrio) se a < ∞; se c’` e un solo servente:

E [N att ] =

∞

X

k=1

(k − 1) π k = E [N sist ] − 1 + π 0 .

Un servente (M/M/1): ρ = λ/µ, non esplosione per ρ < 1, a n = ρ ⁿ , a = 1/ (1 − ρ),

π n = (1 − ρ) ρ ⁿ , E [N sist ] = ρ

1 − ρ , E [T perm ] = 1 µ

1 1 − ρ .

1

Infiniti serventi (M/M/∞): ρ = λ/µ, non esplode mai, π n = e ^−ρ ρ ⁿ

n! , E [N sist ] = ρ.

Coda a c serventi (M/M/c): ρ = λ/cµ, non esplosione per ρ < 1,

π n = 1 a

λ ⁿ

n!µ ⁿ per n ≤ c − 1 π n = π c+k = 1

a λ ^c

c!µ ^c ρ ^k per n ≥ c ovvero k ≥ 0 dove

a =

c−1

X

n=0

λ ⁿ n!µ ⁿ + λ ^c

c!µ ^c 1 1 − ρ .

Coda a un servente ma numero finito N di stati: ρ = λ/µ, non pu` o esserci esplosione,

π n = 1 − ρ 1 − ρ ^{N +1} ρ ⁿ . Comandi R

plot(X), plot(X,Y), plot(X,Y, type=“...”), ts.plot(X), biplot(X), lines(X,Y), hist(X,k), hist(X,k, freq=FALSE), summary(X), mean(X), sd(X), var(X), cov(X,Y), cor(X,Y), lm(Y˜X+...), lm(Y˜X)$coefficients, pnorm(x,m,s), dnorm(x,m,s), qnorm(x,m,s), rnorm(x,m,s), *weibull(x,a,s), *beta(x,a,b), *gamma(x,a,s), for (k in n:m) {...},

min(X), max(X), sign(X), sum(X), cumsum(X), c(.,....,.), abs(X), which.min(X), princomp(X), princomp(X)$loadings, acf(X,k), read.table(file=“...”, header=TRUE), matrix(nrow=n, ncol=k), X[], X[,].

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