Distribuzione di Poisson

sia molto piccolo, al limite tendente a zero

 

( , )

P k p

N

= Prob k successi in N prove

la distribuzione binomiale (o Bernulliana) fornisce la probabilita’ di successo in ripetuti esperimenti indipendenti in ciascuno dei quali di base vi siano solo due possibili risultati ( esperimenti binari ), quale ad es. il lancio ripetuto di una moneta

Distribuzione di Poisson

ma, contemporaneamente, operiamo al limite di un grande numero N di prove di modo che il valor medio Np rimanga finito



=

=



→

→ 0 N con Np costante p

)

,

( ^{k N k}

N p q

k p N

k

P  ⁻



 



= 

)!

(

!

! k N

k

N k

N

= −



 



1



dove q ( = − p)

( e p ^→0 implica che si e’ in presenza di eventi rari )

k Np

 = Var k ( ) = Npq r m s . . . = Npq

cio’ significa valutare l’andamento della distribuzione binomiale nelle condizioni limiti di consideriamo l’andamento della distribuzione binomiale nel caso la probabilita’ di successo

N N

e N

N

N !  2 

⁻ approssimazione

di Sterling

si parla di eventi rari, ma dato che N diventa molto grande usare una approssimazione nel calcolo del fattoriale

( , ) ! (1 )

! ( )!

k N k

N

P k p N p p

k N k

= −

−

utilizzando questa approssimazione

−

( )

( ) ( )

1 2

( ) (1 )

! 2 ( ) ( )

N N

k N k

N k N k

N N e

k N k N k e N N

  



− −

− − −

−

− −

( )

( )

1 ( ) (1 )

! ( ) ( )

N

k N k

N k k

N N

k N k N k e N N

 

₋

=

−

−

− −

2

ma e^{−(N k− )} = e^{(− +N k)} = e^−N e^k

quindi si puo’ eliminare il fattore e^−N

inoltre anche

( N →  ) e’ conveniente

si semplifica

( )^{k k}N ^k N

 =  ⁻

ma

1 (1 )

! (1 )

k

N N k

k k e N

N

 

 −

−

eliminando il fattore N ^N−k

( )

( )

1 (1 )

! ( ) ( )

N

k k N k

N k k

N N N

k N k N k e N

 ⁻  ⁻

= − −

− −

( )

( )

( ) (1 )

! ( ) ( )

k N k

N k N k k

N N

k N k N k e N

 ⁻  ₋

= − −

− −

( )

( )

( )

(1 )

! ( ) [ 1 )]

k N k

N k N k k

N N

k N k N( k e N

N

 ⁻  ₋

= − −

− −

( )

N k N k

N N⁻ = N ⁻

( ) ( )

( ) ^{N k} [ 1 k )] ^{N k}

N k N(

N

− −

− = −

ma

( ) ( ) ( )

[ (1 k )] ^{N k N k} [(1 k )] ^{N k}

N N

N N

− − −

− = −

( )

( )

(1 )

! ( ) [(1 )]

k

N k N k k

N

k N k k e N

N

  ₋

= − −

− −

trascurare k

N → 

dato che e’possibile

N − k N ^per N k ^{a kfisso}

rispetto ad N, a kfissato vale a dire che :

1 1

( , )

! !

k k

N k k

P k p e e

k e e k









^{− −}

− →



quindi in presenza di esperimenti binomiali, se la probabilita’ di successo diviene molto piccola, ossia se siamo in presenza di eventi rari, la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione poissoniana

( )

!

k

P k, e

k





 =

⁻ distribuzione di Poisson .

1 (1 )

! (1 )

k

N N k

k k N

N e

 

 −

−

(1 k )^{N k} N e

− → −

(1 )^N e N

 ₋

− →

per N → 

per N → 

( , ) ( ) P k p

N

 P k, 

per N → 

1 (1 )

! (1 )

k

N N k

k k e N

N

 ₋ 

−

• Verifica che la distribuzione sia correttamente normalizzata :

la condizione di normalizzazione ( secondo assioma di Kolmogorov) impone che

k 0

P( ) 1

0

1

!

k

k,

k

e

k









 −

=

=

=

=



^ovvero



e’ facile verificare che questa condizione e’ rispettata.

1

!

!

⁰

0

=

^{− }₌

=

⁻

=



=

−



 ^ _k ^e

^

^e

^ k

^ _k ^e

^

^e

^ k

k

k

infatti :

0

!

k

e

k

k

k

 ^



−

= 

=





k e

k

k

!

0 =



^=

ricordiamo che :

per ottenere il valor medio <

k

> di una variabile aleatoria

k

che abbia una

distribuzione di probabilita’

P(k)

propriamente normalizzata occorre calcolare :

k 0

( ) k = 

^₌

kP k

• Verifica che  sia effettivamente il valor medio della variabile

k

^:

1

!

k

k e

k

k

k

 ^



−

= 

=

raccogliendo e^− a fattor comune

0

!

k

k

k e

k





 −

= 

=

se la distribuzione di probabilita’

( ( )

!

k

P k)= P k, = e k

 

 ⁻

e’ la distribuzione di Poisson

0 0 1

! !

k k

k k k k

k k

 

 

= = + =

 

ma

quindi _{0 1}

! !

k k

k k k k

k k

 

 

=  =

 

1

1

!

k

k

k e

k









=

=



0 0

( ) ( )

! !

k k

k k

d d

d k d k

 

 

 

=  = =

 

→ derivando membro a membro rispetto a  la





^=



= 

1

0 !

1

! 1

k

k k

k

k k

k k













 ^{e e}

d

d ( ) =

derivata del secondo membro

 

k e

k

k

!

0 =



^=

otterremo:

derivata del primo membro

1

0 !

k

k k

k

 ⁻



=



= ₀ ¹

!

k

k k

k

 



 −

=



= =

0

1

!

k

k

k

k







= 

=

ma

eseguendo la stessa operazione ad ambo i membri di una identita’ riotterremo un identita’

1

!

k

k

k e

k

 





=

=



quindi :

in conclusione:





_



_



= =

=



 ^{k e}

⁻



^k₌

^k _k ^e

⁻

^e

k

!

1



k =



^=

=

1

!

1

k

k

k k

e 



partendo da 

e derivando membro a membro , con un calcolo simile al precedente si ottiene :

! ) ( !

1

1 1

2

2



^=

⁻ 

^=

=

k

k k

k

k k k k

e  





2 2 2 2

k 0

( )

0

!

k

k k P k, k

k

k e

k









 −

= =

= 

^ovvero

= 

per calcolare il valor medio dei quadrati della v.a.

k

^{di Poisson}

• Calcolo della varianza della poissoniana:

per definizione la varianza di una variabile aleatoria che distribuzione di probabilita’

P

(k,) distribuzione e’ data dalla relazione:

2 2

)

2

( )

( k k k k k

Var = − = −

ne consegue :

 





 = = 1

ricordando che

 = Np

N  1

 =



caratteristica peculiare della distribuzione di Poisson e’

che ha varianza uguale al valor medio

quindi :

k

²

= 

²

+ 

e dato che :

Var ( k ) = k

²

− k

²



 =

=

²

)

(k

Var

• Comportamento asintotico della variabile aleatoria poissoniana:

la distribuzione poissoniana e’ fortemente asimmetrica attorno al suo valor medio .

tuttavia al crescere di  la distribuzione diviene via via piu’ simmetrica attorno al valor medio.

al limite per grandi valori di  l’andamento e’ ben riprodotto da una gaussiana.

Attenzione: la gaussiana e’ una variabile aleatoria continua, mentre la poissoniana e’ una variabile aleatoria discreta !

percio’ si dice che la poisssoniana tende asintoticamente ad una gaussiana.

i postulati sono che:

• la probabilita’ che avvenga un evento in un intervallo piccolo temporale Dt ( o spaziale Ds ^),

sia proporzionale all’intervallo stesso, ossia:

Prob{ 1 evento nell’intervallo Dt ( o Ds ) } = l Dt ( o l Ds ) con l costante

• la probabilita’ di due o piu’ eventi nell’intervallo sia molto piccola ( sia un infinitesimo di ordine superiore) rispetto alla probabilita’ che ne avvenga uno solo

• eventi che avvengono in intervalli disgiunti siano indipendenti.

• la struttura del fenomeno sia invariante nel tempo ( o nello spazio )

la distribuzione di Poisson ha in realta’ una origine piu’ profonda :

si presenta ogni volta che ci si trova a dover descrivere situazioni in cui occorre prevedere quanti “accadimenti rari” avvengono in intervalli di tempo o di spazio Si dimostra che se sono validi i cosiddetti ”postulati di Poisson”, il processo in corso e’ descrivibile in termini di variabile di Poisson.

tipici esempi di eventi di questo tipo sono :

- il numero di disintegrazioni di una sostanza radioattiva in un determinato

intervallo di tempo ( l’intervallo di tempo deve essere molto minore della vita media di modo che la quantita’ di preparato radioattivo non vari

apprezzabilmente durante le misure ( postulato di stazionarieta’ )

- il numero di guasti che avvengono in un dispositivo composito, a patto che ogni volta che avviene un guasto il sistema venga riparato e ripristinato nella condizione iniziale ( postulato di stazionarieta’ )

- il numero di nascite ( o morti ) in un dato intervallo di tempo in una

popolazione stazionaria nel tempo ( es. statistica dei morti da calcio di cavallo nell’esercito Prussiano, situazione da cui e’ partito Poisson per determinare la distribuzione probabilistica