X n=1 4n √n log(n + 1)xn ha insieme di convergenza a [−4, 4) c (−1, 1) b [−14,14] d nessuna delle precedenti (2)Soluzione (1) La risposta esatta `e b

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 gennaio 2019 – A

(1) Delle radici terze di w = (2 +√ 12i)² a nessuna appartiene al quarto quadrante c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al secondo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione a_n= 3ⁿ(e^4nα − cosh₂¹n)

√1 + 9ⁿ− 3ⁿ per n → +∞

a converge per ogni α ∈ R c diverge per qualche α > 0

b converge solo per α = 2 d nessuna delle precedenti (3) L’equazione e^x2 = αx ammette

a nessuna soluzione per α > 0 c al pi`u una soluzione per α < 1

b due soluzioni per ogni α ≥ 1 d nessuna delle precedenti (4) L’integrale

Z π 0

x²| cos x| dx vale

a 2π + ^π₂² + 4 c 2π − 4

b 2π + ^π₂² − 4

d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z 1

0

x^α

x cosh x sinh x − log(1 + x²)dx risulta convergente a per ogni α > 3

c per nessun α > 0

b solo se α < 5

d nessuna delle precedenti

(6) La serie di potenze

+∞

X

n=1

4ⁿ

√n log(n + 1)xⁿ ha insieme di convergenza

a [−4, 4) c (−1, 1)

b [−¹₄,¹₄]

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Infatti, abbiamo che 2 +√

12i = 4(¹₂ +

√3

2 i) = 4(cos^π₃ + i sin^π₃) pertanto

w = (2 +√

12i)² = 16(cos^2π₃ + i sin^2π₃ ) Le radici terze di w sono quindi date da zk = √³

16(cos θk + i sin θk) dove θk =

2π 3 +2kπ

3 = ^2π+6kπ₉ , k = 0, 1, 2, e dunque sono:

z₀ =√³

16(cos^2π₉ + i sin^2π₉ ), z₁ =√³

16(cos^8π₉ + i sin^8π₉ ), z₂ =√³

16(cos^14π₉ + i sin^14π₉ ).

Abbiamo che z0 appartiene al primo quadrante, z1 al secondo mentre z2 al quarto.

(2) La risposta esatta `e c . Osserviamo innanzitutto che dagli sviluppi notevoli per x → 0 si ha e^αx− cosh√

x = 1 + αx +^α2₂^x2 + o(x²) − (1 + ^x₂ + ^x_4!² + o(x²))

= (α −¹₂)x + (^α₂² − ₂₄¹ )x²+ o(x²) ∼

((α −¹₂)x se α 6= ¹₂

x²

12 se α = ¹₂ Posto x = ₄¹n otteniamo che n → +∞ si ha

e^4nα − cosh₂¹n ∼

((α − ¹₂)₄¹n se α 6= ¹₂

1 12

1

16ⁿ se α = ¹₂ Osservato poi che per n → +∞

√1 + 9ⁿ− 3ⁿ = 3ⁿ( q 1

9ⁿ + 1 − 1) ∼ 3ⁿ· ¹₂₉¹n = ¹₂₃¹n

otteniamo

a_n = 3ⁿ(e^4nα − cosh₂¹n)

√1 + 9ⁿ− 3ⁿ ∼

(2(α −¹₂)⁹₄ⁿn se α 6= ¹₂

1 6

9ⁿ

16ⁿ se α = ¹₂ e dunque che la successione converge per α = ¹₂, diverge per ogni α 6= ¹₂.

(3) La risposta esatta `e c . Posto f<sub>α</sub>(x) = e<sup>x2</sup> − αx, l’equazione equivale a determinarne il numero di zeri al variare di α ∈ R. Abbiamo che la funzione `e definita e continua in R, inoltre dalla gerarchia degli infiniti, si ha

x→+∞lim f_α(x) = +∞ e lim

x→−∞f_α(x) =







+∞ se α > 0 0 se α = 0

−∞ se α < 0 La funzione `e derivabile in ogni x ∈ R con

f_α⁰(x) = ¹₂e^x2 − α

Dunque, se α ≤ 0 allora f_α⁰(x) > 0 per ogni x ∈ R e la funzione `e strettamente crescente in R. Se α > 0 avremo f<sub>α</sub><sup>0</sup>(x) > 0 se e solo se x > 2 log(2α) = x<sub>α</sub> e quindi che f<sub>α</sub>(x) risulta strettamente decrescente in (−∞, x<sub>α</sub>], strettamente crescente in [x<sub>α</sub>, +∞) e che x = x<sub>α</sub> `e punto di minimo assoluto per f_α(x) con f_α(x_α) = 2α(1 − log(2α)). Osserviamo che f_α(x_α) > 0 se 0 < α < ^e₂, f_α(x_α) = 0 se α = ₂^e e f_α(α) < 0 se α > ^e₂.

Dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia della funzione otteniamo che per α < 0 e α = ₂^e la funzione ammette un solo zero, per α > ^e₂ esattamente due zeri mentre non ammette zeri se 0 ≤ α < ₂^e. Poich´e 1 < ^e₂ ne concludiamo che per ogni α < 1 la funzione ammette al pi`u uno zero e dunque che la risposta corretta `e c .

In alternativa, osservato che x = 0 non `e soluzione dell’equazione per ogni α ∈ R, per determinare le soluzioni dell’equazione data si poteva studiare la funzione f (x) = ^e

x2

x e determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = α al variare di α ∈ R. .

(4) La risposta esatta `e b . Per calcolareRπ

0 x²| cos x| dx osserviamo innanzitutto che dalla propriet`a di additivit`a dell’integrale si ha

Z π 0

x²| cos x| dx = Z ^π₂

0

x²cos x dx − Z π

π 2

x²cos x dx

Per determinareR x²cos x dx possiamo integrare per parti due volte ottenendo Z

x²cos x dx = x²sin x − 2 Z

x sin x dx = x²sin x + 2x cos x − 2 Z

cos x

= x²sin x + 2x cos x − 2 sin x + c = (x²− 2) sin x + 2x cos x + c, c ∈ R

Dalla formula fondamentale del calcolo integrale ne concludiamo che Z π

0

x²| cos x| dx = Z ^π₂

0

x²cos x dx − Z π

π 2

x²cos x dx

=(x²− 2) sin x + 2x cos x^π₂

0 −(x²− 2) sin x + 2x cos xπ

π 2

= 2π +^π₂² − 4

(5) La risposta esatta `e a . Per determinare il carattere dell’integrale improprioR1 0

x^α

x cosh x sinh x−log(1+x²)dx osserviamo che per x → 0 si ha

x cosh x sinh x − log(1 + x²) = x(1 +^x₂² + o(x³))(x + ^x_3!³ + o(x⁴)) − (x²−^x₂⁴ + o(x⁴))

= x(x + ^x_3!³ + ^x₂³ + o(x³)) − x²+^x₂⁴ + o(x⁴)

= ^x_3!⁴ +^x₂⁴ +^x₂⁴ + o(x⁴) = ⁷₆x⁴+ o(x⁴) ∼ ⁷₆x⁴ da cui

x^α

x cosh x sinh x − log(1 + x²) ∼ ⁶₇x^α

x⁴ = ⁶₇ 1 x^4−α

Dal criterio del confronto asintotico possiamo pertanto concludere che l’integrale converge per α > 3 e diverge per α ≤ 3

(6) La risposta esatta `e d . Infatti, utilizzando il metodo del rapporto, posto an = ^√_{n log(n+1)}⁴ⁿ otte- niamo

n→+∞lim    

a_n+1 an

= lim

n→+∞

4ⁿ⁺¹log(n + 1) 4ⁿlog(n + 2)

√n

√n + 1 = 4

Ne segue che il raggio di convergenza `e ρ = ¹₄ e dunque che la serie converge per |x| < ¹₄ e non converge per |x| > ¹₄. Per x = ¹₄ la serie diventa P+∞

n=1

√ 1

n log(n+1). Dal criterio del confronto tale serie diverge dato che

n→+∞lim

√ 1

n log(n+1) 1 n

= lim

n→+∞

√n

log(n + 1) = +∞

e la serieP+∞

n=1

√1

n diverge. Per x = −¹₄ abbiamo la serie P+∞

n=1

(−1)ⁿ

√n log(n+1) che converge per il criterio di Leibniz dato che ^√_{n log(n+1)}¹ `e successione infinitesima e decrescente.

Possiamo allora concludere che l’insieme di convergenza della serie data `e l’intervallo [−¹₄,¹₄).

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 gennaio 2019 – B

(1) Delle radici terze di w = (√ 6 −√

2i)² a una appartiene al primo quadrante c nessuna appartiene al secondo quadrante

b una appartiene all’asse immaginario d nessuna delle precedenti

(2) La successione a_n=

√3

1 + 8ⁿ− 2ⁿ

3ⁿ(e^9nα − cos₃¹n) per n → +∞

a converge per ogni α ∈ R c diverge per qualche α > 0

b diverge solo per α = −2 d nessuna delle precedenti (3) L’equazione e^3x= αx ammette

a due soluzioni per ogni α ≥ 9 c al pi`u una soluzione per α < 6

b nessuna soluzione per 0 < α < 1 d nessuna delle precedenti

(4) L’integrale Z ^π₂

−^π₂

(x²+ 1)| sin x| dx vale

a 2π c 2π − 2

b 1 − π

d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z 1

0

x sinh x cos x − log(1 + x²)

x^α dx risulta convergente a per ogni α > 3

c per nessun α > 0

b solo se α < 5

d nessuna delle precedenti

(6) La serie di potenze

+∞

X

n=1

3ⁿlog(n + 1)

n² xⁿ ha insieme di convergenza a [−3, 3)

c [−¹₃,¹₃]

b (−¹₂,¹₂)

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta esatta `e d . Infatti, abbiamo che

√ 6 −√

2i = 2√ 2(

√ 3

2 − ¹₂i) = 2√

2(cos(−^π₆) + i sin(−^π₆)) pertanto

w = (√ 6 −√

2i)² = 8(cos(−^π₃) + i sin(−^π₃)) Le radici terze di w sono quindi date da z_k = √³

8(cos θ_k + i sin θ_k) dove θ_k = ^−π3+2kπ₃ = ^−π+6kπ₉ , k = 0, 1, 2, e dunque sono:

z₀ = √³

8(cos(−^π₉) + i sin(−^π₉)), z₁ =√³

8(cos^5π₉ + i sin^5π₉ ), z₂ =√³

8(cos^11π₉ + i sin^11π₉ ).

Abbiamo che z₀ appartiene al quarto quadrante, z₁ al secondo mentre z₂ al terzo.

(2) La risposta esatta `e d . Osserviamo innanzitutto che dagli sviluppi notevoli per x → 0 si ha e^αx− cos√

x = 1 + αx + ^α2₂^x2 + o(x²) − (1 − ^x₂ + ^x_4!² + o(x²))

= (α + ¹₂)x + (^α₂² −₂₄¹ )x²+ o(x²) ∼

((α +¹₂)x se α 6= −¹₂

x²

12 se α = −¹₂ Posto x = ₉¹n otteniamo che n → +∞ risulta

e^9nα − cos₃¹n ∼

((α + ¹₂)₉¹n se α 6= −¹₂

1 12

1

81ⁿ se α = −¹₂ Osservato poi che per n → +∞

√3

1 + 8ⁿ− 2ⁿ = 2ⁿ(³ q1

8ⁿ + 1 − 1) ∼ 2ⁿ· ¹₃₈¹n = ¹₃₄¹n

otteniamo

a_n=

√3

1 + 8ⁿ− 2ⁿ 3ⁿ(e^9nα − cos₃¹n) ∼

(1

3(α + ¹₂)³₄ⁿn se α 6= −¹₂ 4²⁷₄nⁿ se α = −¹₂ e dunque che la successione converge per ogni α 6= −¹₂, diverge α = −¹₂.

(3) La risposta esatta `e b . Posto f<sub>α</sub>(x) = e<sup>3x</sup>− αx, l’equazione equivale a determinarne il numero di zeri al variare di α ∈ R. Abbiamo che la funzione `e definita e continua in R, inoltre dalla gerarchia degli infiniti, si ha

x→+∞lim f_α(x) = +∞ e lim

x→−∞f_α(x) =







+∞ se α > 0 0 se α = 0

−∞ se α < 0 La funzione `e derivabile in ogni x ∈ R con

f_α⁰(x) = 3e^3x− α

Dunque, se α ≤ 0 allora f_α⁰(x) > 0 per ogni x ∈ R e la funzione `e strettamente crescente in R. Se α > 0 avremo f<sub>α</sub><sup>0</sup>(x) > 0 se e solo se x > <sup>1</sup><sub>3</sub>log <sup>α</sup><sub>3</sub> = x<sub>α</sub> e quindi che f<sub>α</sub>(x) risulta strettamente decrescente in (−∞, x<sub>α</sub>], strettamente crescente in [x<sub>α</sub>, +∞) e che x = x<sub>α</sub> `e punto di minimo assoluto per f_α(x) con f_α(x_α) = ^α₃(1 − log^α₃). Osserviamo f_α(α) > 0 se 0 < α < 3e, f_α(x_α) = 0 se α = 3e e f_α(α) < 0 se α > 3e.

Dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia della funzione otteniamo che per α < 0 e α = 3e la funzione ammette un solo zero, per α > 3e esattamente due zeri mentre non ammette zeri se 0 ≤ α < 3e. Dato che 1 < 3e ne concludiamo che per ogni 0 < α < 1 la funzione non ammette zeri e dunque la risposta corretta `e b .

In alternativa, osservato che x = 0 non `e soluzione dell’equazione per ogni α ∈ R, per determinare le soluzioni dell’equazione data si poteva studiare la funzione f (x) = ^e3x_x e determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = α al variare di α ∈ R.

(4) La risposta esatta `e c . Per calcolare R^π₂

−^π₂(x² + 1)| sin x| dx osserviamo innanzitutto che dalla propriet`a di additivit`a dell’integrale si ha

Z ^π₂

−^π₂

(x²+ 1)| sin x| dx = − Z 0

−^π₂

(x²+ 1) sin x dx + Z ^π₂

0

(x²+ 1) sin x dx

Per determinareR (x²+ 1) sin x dx possiamo integrare per parti due volte ottenendo Z

(x²+ 1) sin x dx = −(x²+ 1) cos x + 2 Z

x cos x dx = −(x²+ 1) cos x + 2x sin x − 2 Z

sin x

= −(x²+ 1) cos x + 2x sin x + 2 cos x + c = (1 − x²) cos x + 2x sin x + c, c ∈ R

Dalla formula fondamentale del calcolo integrale ne concludiamo che Z ^π₂

−^π₂

(x²+ 1)| sin x| dx = − Z 0

−^π₂

(x²+ 1) sin x dx + Z ^π₂

0

(x²+ 1) sin x dx

= −(1 − x²) cos x + 2x sin x0

−^π₂ +(1 − x²) cos x + 2x sin x^π₂

0

= 2π − 2

Nota: la funzione f (x) = (x²+1)| sin x| `e pari e dunqueR^π₂

−^π₂(x²+1)| sin x| dx = 2R^π₂

0 (x²+1)| sin x| dx = 2R^π₂

0 (x²+ 1) sin x dx.

(5) La risposta esatta `e b . Per determinare il carattere dell’integrale improprioR1 0

x sinh x cos x−log(1+x²)

x^α dx

osserviamo che per x → 0 si ha

x sinh x cos x − log(1 + x²) = x(x +^x_3!³ + o(x³))(1 − ^x₂² + o(x³)) − (x²− ^x₂⁴ + o(x⁴))

= x(x + ^x_3!³ − ^x₂³ + o(x³)) − x²+^x₂⁴ + o(x⁴)

= ^x_3!⁴ − ^x₂⁴ +^x₂⁴ + o(x⁴) = ¹₆x⁴+ o(x⁴) ∼ ¹₆x⁴ da cui

x sinh x cos x − log(1 + x²)

x^α ∼ ¹₆x⁴

x^α = ¹₆ 1 x^α−4

Dal criterio del confronto asintotico possiamo pertanto concludere che l’integrale converge per α < 5 e diverge per α ≥ 5.

(6) La risposta esatta `e c . Infatti, utilizzando il metodo del rapporto, posto a_n = ^3nlog(n+1)_n2 otteniamo

n→+∞lim    

a_n+1 a_n

= lim

n→+∞

3ⁿ⁺¹log(n + 2) 3ⁿlog(n + 1)

n²

(n + 1)² = 3

Ne segue che il raggio di convergenza `e ρ = ¹₃ e dunque che la serie converge per |x| < ¹₃ e non converge per |x| > ¹₃. Per x = ¹₃ la serie diventa P+∞

n=1

log(n+1)

n² . Dal criterio del confronto tale serie converge dato che

n→+∞lim

log(n+1) n²

1 n^3/2

= lim

n→+∞

log(n + 1)

√n = 0 e la serieP+∞

n=1 1

n^3/2 converge. Per x = −¹₃ abbiamo la serie P+∞

n=1

(−1)ⁿlog(n+1)

n² che, per quanto sopra, converge assolutamente e dunque converge.

Possiamo allora concludere che l’insieme di convergenza della serie data `e l’intervallo [−¹₃,¹₃].