Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Universit`a di Bari Equazioni Diﬀerenziali

(1)

Francesca Mazzia

Dipartimento di Matematica Universit` a di Bari

Equazioni Differenziali

(2)

Consideriamo il sistema di equazioni differenziali:

y ⁰ = f (t, y) (6.1)

con condizione iniziale:

y(t ₀ ) = y ₀ ,

e supponiamo che la funzione f : [t ₀ , T ] × R ^s → R ^s sia continua nelle due variabili e Lipshitziana in y, cio` e che, presi y ₁ , y ₂ ∈ R ^s , risulti:

kf(t, y 1 ) − f(t, y 2 ) k < Lky 1 − y 2 k

con L > 0. ` E noto che sotto queste ipotesi, fissata la condizione iniziale, esiste un’unica soluzione dell’equazione (6.1). Tranne pochi casi per` o le so- luzioni non possono essere fornite analiticamente, cio` e non possono essere espresse mediante polinomi, funzioni elementari e funzioni trigonometriche.

Bisogna necessariamente approssimarle mediante un procedimento numerico oppure cercare le informazioni di interesse sul loro comportamento mediante opportune tecniche.

Per semplicit` a considereremo prima il caso unidimensionale, cio` e il caso in cui y ∈ R; quindi generalizzeremo quanto detto al caso y ∈ R ^s .

6.1 Convergenza, consistenza e stabilit` a

Consideriamo l’equazione differenziale con condizione iniziale

( y ⁰ = f (t, y)

y(t ₀ ) = y ₀ (6.2)

e supponiamo che f : [t 0 , T ] × R → R sia una funzione tale che la soluzione esista e sia unica nell’intervallo [t ₀ , T ]. Vogliamo ottenere una approssimazione della soluzione. Dividiamo l’intervallo in N sottointervalli di ampiezza h. Sar` a quindi N h = T − t ⁰ .

t

0

t

1

t

2

t

3

- h

· · · t

N−1

t

N

≡ T

Figura 6.1: Discretizzazione dell’intervallo [t ₀ , T ].

(3)

- 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.2

0.4 0.6 0.8

1.0 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

...

.. ..

.. .

r r

h

-

Figura 6.2: Metodo di Eulero esplicito.

Il metodo pi` u semplice per approssimare la soluzione ` e quello di con- siderare lo sviluppo in serie di Taylor nell’intorno del generico punto t _n , n = 0, 1, . . . , N :

y(t n+1 ) = y(t n ) + y ⁰ (t n )h + τ n

ove τ n = ^h ₂

²

y ⁰⁰ (ξ n ), essendo ξ n un punto tra t n e t n+1 . Questa quantit` a

`

e detta errore locale. Il metodo di Eulero esplicito consiste nel trascurare questo termine e scrivere:

( y _n+1 = y _n + hf (t _n , y _n )

y ₀ = y(t ₀ ) . (6.3)

In figura (6.2) ` e rappresentato un passo del metodo di Eulero esplicito.

Si noti che y ₁ ` e il valore assunto nel punto t ₁ dalla tangente alla soluzione nel punto t ₀ .

Questa formula di ricorrenza non fornir` a la soluzione esatta y(t _n ), per n = 1, . . . , N , ma una sua approssimazione, che abbiamo indicato con y _n . Sottraendo e indicando con e _n l’errore, cio` e ponendo e _n = y(t _n ) − y n , si ha:

( e n+1 = e n + h(f (t n , y(t n )) − f(t ⁿ , y n )) + τ n

e ₀ = 0 (6.4)

Vogliamo che e _n rimanga limitato al variare di n, cio` e che la soluzione

numerica rimanga vicina a quella continua e, possibilmente, tenda a questa

quando il passo h tende a zero (convergenza). Ricordiamo che quando h → 0

allora N → ∞.

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Per studiare il comportamento dell’errore basta studiare l’equazione precedente. Quando la f (t, y) ` e non lineare, l’equazione (6.4) ` e non lineare e pertanto difficile da studiare. Di solito ci si limita a studiare il comportamen- to di e _n nel caso in cui f sia lineare. Si pu` o dimostrare che, sotto opportune ipotesi, i risultati ottenuti in questo caso possono estendersi al caso di f (t, y) non lineare. Si consideri dunque la funzione test

f (y) = λy, Re(λ) < 0. (6.5)

Per semplicit` a i calcoli seguenti saranno fatti nel caso in cui λ ` e reale e negativo. Sostituendo nell’equazione dell’errore (6.4), si ottiene:

( e _n+1 = e _n + hλe _n + τ _n = (1 + hλ)e _n + τ _n

e ₀ = 0 (6.6)

la cui soluzione ` e:

e _n =

n−1

X

j=0

(1 + hλ) ^n−1−j τ _j . Ponendo M = max

ξ ∈[t

0

,T ] |y ⁰⁰ (ξ) |, si ha:

|e n | ≤ h ² 2 M

n−1

X

j=0

|1 + hλ| ^n−1−j = h ²

2 M |1 + hλ| ⁿ − 1

|1 + hλ| − 1

Si vede subito che se |1 + hλ| > 1, l’errore |e n | cresce esponenzialmente.

Si deve quindi fare in modo che |1 + hλ| ≤ 1. In tal caso il metodo si dice assolutamente stabile. Per vedere se vi ` e convergenza, bisogna far tendere il passo h a zero. Possiamo quindi supporre che h sia gi` a abbastanza piccolo da aversi |hλ| < 1 e quindi scrivere:

|e n | ≤ h ²

2 M 1 − |1 + hλ| ⁿ

h |λ| ≤ hM

2 |λ| . (6.7)

Dalla precedente si vede subito che

h→0 lim e _n = 0

e quindi il metodo ` e convergente per l’equazione test usata. Si pu` o dimostrare

che il metodo ` e convergente anche per una generica funzione f soddisfacen-

te alle ipotesi fatte all’inizio. La convergenza ` e solo lineare rispetto ad h.

(5)

Per questo motivo il metodo si dice di ordine uno. In genere l’ordine di convergenza di un metodo ` e di una unit` a inferiore rispetto all’esponente di h nell’espressione dell’errore locale τ _i . Notiamo che se la dipendenza dell’errore locale τ _n da h fosse stata lineare invece che quadratica, la convergenza non avrebbe potuto aver luogo. Quindi l’ordine uno ` e il pi` u piccolo ordine per cui si pu` o avere convergenza. Per questo motivo i metodi di ordine almeno uno sono detti consistenti.

Ricordiamo che convergenza significa che la soluzione numerica tende alla soluzione continua quando h tende a zero. Ma un metodo ha senso solo se h ` e diverso da zero e non troppo piccolo. Cio` e si devono poter scegliere dei valori del passo non troppo piccoli senza che l’errore cresca con n.

Generalizzando quanto detto al caso in cui λ sia un numero complesso con parte reale negativa, l’errore non cresce se |1 + hλ| < 1, cioe se hλ `e interno al cerchio di centro ( −1, 0) e raggio 1.

Tale regione del piano complesso (rappresentata in figura 6.3) ` e detta regione di Assoluta stabilit` a del metodo di Eulero esplicito.

- 6

Re(hλ) Im(hλ)

-1 -2

-3

-4 1 2 3 4

-1

-2 1 2

...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Figura 6.3: Regione di assoluta stabilit` a del metodo di Eulero esplicito.

Da quanto detto segue che in pratica, pi` u che la convergenza, ` e l’Assoluta stabilit` a che ha un ruolo centrale nel comportamento dei metodi. L’altro parametro essenziale ` e l’ordine dato, come gi` a detto, dall’esponente di h nell’errore locale diminuito di uno.

Finora ci siamo occupati del metodo di Eulero esplicito. Vi sono essen-

zialmente due motivi che lo rendono spesso non soddisfacente alle esigenze

delle applicazioni:

(6)

1. il basso ordine;

2. la regione di Assoluta stabilit` a relativamente piccola.

Vi sono naturalmente metodi con ordine pi` u elevato o con regione di Assoluta stabilit` a pi` u ampie. Soffermiamoci ancora a discutere questi due concetti basilari. L’ordine ` e importante perch` e misura la velocit` a con cui l’errore diminuisce al diminuire di h (almeno fino a quando gli errori di arrotondamento non cominciano ad emergere). Se un metodo ` e di ordine p, ci` o significa che (vedi, ad esempio, (6.7)):

max n |e n | = ch ^p .

Usando un passo pi` u piccolo, ad esempio ^h ₂ , il nuovo errore e _n soddisfa la:

max n |e ⁿ | = c h 2

! p

= max

n |e ⁿ |2 ^−p

da cui si deduce che il nuovo errore ` e 2 ^p volte pi` u piccolo dell’errore precedente. Risulta quindi evidente il vantaggio di usare un metodo di ordine elevato.

Per quel che riguarda la regione di Assoluta stabilit` a, la sua ampiezza ` e importante nel caso in cui

T − t 0 1

|λ| . (6.8)

Infatti se la regione di Assoluta stabilit` a ` e piccola, allora si ` e costretti ad usare dei passi molto piccoli (nel caso del metodo di Eulero esplicito h < _|λ| ² ). Ci` o implica che il numero di passi N diventa molto grande, essendo N = ^T ^−t _h

⁰

> (T − t 0 ) |λ| >> 1. Ci`o fa aumentare l’accumulo degli errori di arrotondamento, oltre a far aumentare i tempi di esecuzione per ottenere la soluzione.

Problemi in cui la (6.8) ` e verificata, si chiamano problemi stiff. Per questi problemi ` e quindi importante usare dei metodi per cui la regione di Assoluta stabilit` a ` e la pi` u grande possibile.

Un esempio di metodo con regione di Assoluta stabilit` a pi` u ampia, ` e il metodo di Eulero implicito definito da

( y _n+1 = y _n + hf (t _n+1 , y _n+1 )

y ₀ = y(t ₀ ) . (6.9)

(7)

- 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.2

0.4 0.6 0.8

1.0 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

...

... ...

...

... ....

.. .. ..

.. .

.. ..

.. .. ^r r

h

-

Figura 6.4: Metodo di Eulero implicito.

In figura 6.4 ` e rappresentato un passo del metodo di Eulero implicito.

Osserviamo che y 1 rappresenta il valore nel punto t 1 della retta passante per t ₀ e parallela alla tangente alla soluzione nel punto t ₁ .

Si vede facilmente che questo metodo ` e ancora di ordine 1, cio` e che si ha y(t _n+1 ) = y(t _n ) + hf (t _n+1 , y(t _n+1 )) + τ _n

con τ _n = O(h ² ). Sottraendo ed usando l’equazione test si ottiene:

( e _n+1 = e _n + hλe _n+1 + τ _n e ₀ = 0

da cui:







e _n+1 = 1

1 − hλ e _n + 1 1 − hλ τ _n e ₀ = 0

,

la cui soluzione ` e:

e _n =

n−1

X

j=0

1 1 − hλ

n −1−j

τ _j .

Anche in questo caso gli errori locali non saranno amplificati se

1 1 − hλ

≤ 1,

(8)

la quale permette una scelta di hλ ben pi` u ampia. Infatti essa ` e soddisfatta per tutti i valori di hλ esterni al cerchio di centro (1, 0) e raggio 1 (regione di Assoluta stabilit` a). Questa regione contiene il semipiano negativo del piano complesso. I metodi per cui ci` o avviene si dicono A-stabili.

- 6

Re(hλ) Im(hλ)

-1 -2

-3

-4 1 2 3 4

-1

-2 1 2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

Figura 6.5: Regione di assoluta stabilit` a del metodo di Eulero implicito.

Sembrerebbe quindi che il metodo di Eulero implicito sia migliore di quello esplicito, e che quindi debba essere sempre usato al posto di quest’ultimo. In realt` a il metodo di Eulero implicito, come del resto tutti i metodi impliciti di cui ci occuperemo anche nei prossimi paragrafi, presentano una grossa difficolt` a. Consideriamo infatti il primo passo:

y ₁ = y ₀ + hf (t ₁ , y ₁ ).

Il nuovo punto y ₁ ` e sia al primo che al secondo membro. Quando f ` e non lineare la precedente ` e una equazione non lineare nella incognita y ₁ . Questa deve essere risolta con un procedimento iterativo, ad esempio il metodo di Newton. In generale quindi il metodo di Eulero implicito necessita la soluzione, ad ogni passo, di una equazione non lineare. Ci` o aumenta di molto il costo del metodo, e lo rende giustificabile solo per problemi stiff.

Un esempio di metodo implicito con regione di A-stabile di ordine pi` u alto ` e il metodo dei Trapezi definito da

( y _n+1 = y _n + h(f (t _n , y _n ) + f (t _n+1 , y _n+1 ))/2

y ₀ = y(t ₀ ) . (6.10)

Questo metodo ` e ancora di ordine 2, cio` e che si ha

(9)

y(t _n+1 ) = y(t _n ) + h(f (t _n , y(t _n )) + f (t _n+1 , y(t _n+1 ))/2 + τ _n con τ _n = O(h ³ ). Sottraendo ed usando l’equazione test si ottiene:

( e _n+1 = e _n + hλ(e _n + e _n+1 )/2 + τ _n e ₀ = 0

da cui:



 

 

e _n+1 = 1 + hλ/2

1 − hλ/2 e _n + 1 1 − hλ/2 τ _n e ₀ = 0

, la cui soluzione ` e:

e _n =

n −1

X

j=0

1 + hλ/2 1 − hλ/2

! _n−1−j

τ _j .

Anche in questo caso gli errori locali non saranno amplificati se

1 + hλ/2 1 − hλ/2

≤ 1,

essa ` e soddisfatta per tutti i valori di hλ che hanno parte reale negativa, quindi il metodo ` e A-stabile.

Esempio 6.1.1 Risolvere l’equazione differenziale

( y ⁰ = −10 ⁶ y y ₀ = 2

con i tre metodi e mostrare le diverse limitazioni sulla scelta del passo.

6.2 Metodi multistep

Abbiamo presentato, in maniera piuttosto dettagliata, i due semplici metodi di Eulero e il metodo dei trapezi. Ci` o perch` e gi` a in questi metodi vi ` e, nella forma pi` u semplice, tutta la problematica da affrontare quando si studia- no metodi pi` u sofisticati. Essi appartengono alla classe dei metodi lineari multistep.

La classe dei metodi lineari multistep ` e definita dalla

(10)



 



 



k

X

i=0

α _i y _n+i − h

k

X

i=0

β _i f _n+i = 0 y ₀ , y ₁ , . . . , y _k−1 fissati

, (6.11)

ove si ` e posto f _n+i = f (t _n+i , y _n+i ). I parametri α _i e β _i sono da determinare imponendo alcune condizioni alla (6.11). I metodi per i quali β k = 0 sono detti metodi espliciti, mentre quelli per i quali β _k 6= 0 sono detti metodi impliciti.

Esempio 6.2.1 I metodi di Eulero appartengono alla classe dei metodi lineari multistep. Si ottengono prendendo k = 1, α ₁ = 1 e α ₀ = −1. Per Eulero esplicito si pone poi β ₁ = 0 e β ₀ = 1, mentre per Eulero implicito si pone β ₁ = 1 e β ₀ = 0.

L’errore locale si ottiene sostituendo nella (6.11) i valori y(t _n+i ) della soluzione teorica nei punti di discretizzazione. Si ha:

k

X

i=0

α _i y(t _n+i ) − h

k

X

i=0

β _i y ⁰ (t _n+i ) = τ _n , (6.12) in cui si ` e tenuto conto che y ⁰ (t _n+i ) = f (t _n+i , y(t _n+i )).

Ricordiamo che un metodo ` e di ordine p se τ _n = O(h ^p+1 ) e che un metodo dicesi consistente se p ≥ 1. Ricaviamo le condizioni sui coefficienti α i e β _i affinch` e si abbia la consistenza. Essendo

y(t _n+i ) = y(t _n ) + ihy ⁰ (t _n ) + O(h ² ) y ⁰ (t _n+i ) = y ⁰ (t _n ) + ihy ⁰⁰ (t _n ) + O(h ² ) si ha:

k

X

i=0

α _i [y(t _n ) + ihy ⁰ (t _n )] − h

k

X

i=0

β _i y ⁰ (t _n ) + O(h ² )

=

k

X

i=0

α _i y(t _n ) + h

k

X

i=0

(iα _i − β i )y ⁰ (t _n ) + O(h ² ) e quindi deve essere:

k

X

i=0

α _i = 0,

k

X

i=0

(iα _i − β i ) = 0.

(11)

In generale si puo dimostrare che un metodo ` e di ordine p se sono soddi- sfatte le seguenti relazioni:

k

X

i=0

i ^s α _i − si ^s−1 β _i = 0 s = 0, 1, 2, . . . , p. (6.13)

6.3 Metodi Runge-Kutta

Un’altra importante classe di metodi ` e quella dei metodi Runge-Kutta. Que- sta ` e caratterizzata dal fatto che, nella definizione dei metodi, tra due punti successivi t _n−1 e t _n vengono usati dei punti ausiliari (stages) nei quali viene calcolata la funzione f (t, y). Ad esempio nel caso di un solo punto ausiliario (metodo di Heun), si pone

y _n+1 = y _n + hf t _n + h

2 , y _n + h 2 f _n

!

.

Si ` e quindi introdotto il punto ausiliario t ^∗ = t _n + ^h ₂ . Si calcola y ^∗ = y _n + ^h ₂ f _n e si considera questo valore come approssimazione di y(t ^∗ ). Si calcola poi f (t ^∗ , y ^∗ ) e lo si usa per ottenere y _n+1 . Si pu` o dimostrare che il metodo precedente ` e di ordine due.

In generale, un metodo ad r stages esplicito ` e definito da:



 

 

 

 

y _n+1 = y _n + h

r

X

i=1

a _i k _i k i = f



 t n + hb i , y n + h

i −1

X

j=0

c ij k j



 i = 1, 2, . . . , r

Nei metodi Runge-Kutta impliciti le sommatorie all’interno del calcolo dei k _i arrivano fino ad i invece che ad i − 1. I coefficienti si calcolano imponendo che l’ordine sia massimo. L’ordine naturalmente si definisce in maniera analoga a quanto fatto nei paragrafi precedenti, e cos`ı pure la stabilit` a. Non ci dilungheremo ulteriormente su questa classe di metodi. Riportiamo solo i principali risultati per i metodi Runge-Kutta espliciti:

• l’ordine massimo p(r) ottenibile `e

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p(r) =



 

 

r per r = 1, 2, 3, 4 r − 1 per r = 5, 6, 7 r − 2 per r = 8, 9

;

• non esistono metodi Runge-Kutta A-stabili espliciti.

Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Universit`a di Bari Equazioni Diﬀerenziali