FISICA GENERALE

FISICA GENERALE

MODULO A

CORSO H – BARI

CINEMATICA DEL PUNTO

Dott. Giannuzzi Giuseppe

Moti nello spazio

Un punto nello spazio si muove in generale descrivendo una curva che può essere in un piano come nello spazio. Il punto materiale P può essere seguito considerando il vettore posizione o raggio vettore che congiunge l’origine O con il punto P.

Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑂𝑃 = 𝑥 𝑡 ෡𝑖 + 𝑦 𝑡 ෡𝑗 + 𝑧 𝑡 ෡𝑘 Dove:

- ෡𝑖 , ෡𝑗 , ෡𝑘 (oppure ො𝑢_𝑥, ො𝑢_𝑦, ො𝑢_𝑧) sono i versori lungo gli assi cartesiani x y z - 𝑥, 𝑦, 𝑧 sono le coordinate di P rispetto all’origine O

- 𝑥 ෡𝑖 , 𝑦 ෡𝑗 , 𝑧 ෡𝑘 sono i componenti di 𝑟 lungo gli assi cartesiani Quando un corpo si muove il suo vettore posizione si sposta.

Nella figura all’istante 𝑡₁

il vettore posizione è Ԧ𝑟₁ 𝑡 = Ԧ𝑟 𝑡₁ mentre all’istante 𝑡₂

il vettore posizione sarà Ԧ𝑟₂ 𝑡 = Ԧ𝑟 𝑡₂

Moti nello spazio

di conseguenza il vettore spostamento è

Δ𝑟 = Ԧ𝑟₂ − Ԧ𝑟₁

(regola del parallelogramma) che in termini delle componenti diventa:

Δ𝑟 = 𝑥₂ ෡𝑖 + 𝑦₂ 𝑗 + 𝑧෡ ₂ 𝑘 − 𝑥෡ ₁ ෡𝑖 + 𝑦₁ 𝑗 + 𝑧෡ ₁ 𝑘 =෡

= 𝑥₂ − 𝑥₁ ෡𝑖 + 𝑦₂ − 𝑦₁ 𝑗 + 𝑧෡ ₂ − 𝑧₁ 𝑘 =෡ che possiamo anche scrivere in modo sintetico:

Δ𝑟 = Δ𝑥 ෡𝑖 + Δ𝑦 ෡𝑗 + Δ𝑧 ෡𝑘

(Lo spostamento nello spazio si ottiene sommando vettorialmente gli spostamenti sui 3 assi come se fossero indipendenti Δ𝑟 = Δ𝑥 + Δ𝑦 + Δ𝑧 )

Velocità media e velocità istantanea

La definizione non cambia rispetto al capitolo precedente (Cinematica 1D), solo che vanno indicate le operazioni con la notazione vettoriale:

𝑣_𝑀 =< 𝑣 > = Δ𝑟 Δ𝑡 è la velocità media che possiamo scrivere nella forma

𝑣_𝑀 = Δ𝑟

Δ𝑡 = Δ𝑥 ෡𝑖 + Δ𝑦 ෡𝑗 + Δ𝑧 ෡𝑘 Δ𝑡

𝑣_𝑀 = Δ𝑥

Δ𝑡 ෡𝑖 + Δ𝑦

Δ𝑡 𝑗 +෡ Δ𝑧 Δ𝑡 𝑘෡ e la velocità istantanea è definita come:

𝑣 = lim

Δ𝑡→0

Δ𝑟

Δ𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡

Ma come definiamo la derivata di un vettore in generale?

Velocità media e velocità istantanea

Ma come definiamo la derivata di un vettore in generale?

Osserviamo tramite la figura che al tendere dell’intervallo Δ𝑡 → 0 si ha che il punto 2 si avvicina a 1 e Δ𝑟 tende a coincidere con la direzione della tangente alla traiettoria,

ne concludiamo che la velocità istantanea è un vettore che è sempre tangente alla traiettoria del punto materiale, indipendentemente dalla scelta del sistema di riferimento. Di conseguenza si può scrivere la velocità istantanea in coordinate intrinseche come 𝑣 = 𝑣 ො𝑢_𝑡

( ො𝑢_𝑡 direzione tangente alla traiettoria)

𝟐 𝟏

Velocità media e velocità istantanea

Dalla precedente equazione abbiamo anche che

𝑣 = 𝑑𝑟

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 𝑥 ෡𝑖 + 𝑦 ෡𝑗 + 𝑧 ෡𝑘 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 ෡𝑖 + 𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑗 +෡ 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘෡

Il vettore 𝑣 inoltre possiamo sempre scomporlo lungo gli assi del sistema di riferimento x y z

𝑣 = 𝑣_𝑥 ෡𝑖 + 𝑣_𝑦 𝑗 + 𝑣෡ _𝑧 𝑘෡ Per cui si deve avere che

𝑣_𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣_𝑦 = 𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑣_𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡

Le componenti cartesiane 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦, 𝑣_𝑧 del vettore velocità si ottengono derivando rispetto al tempo le coordinate del punto.

Derivata di un vettore

Per derivare un vettore teniamo conto che valgono le usuali regole di derivazione.

Calcoliamo la derivata di un vettore 𝑤 funzione del tempo 𝑡 (ovvero una grandezza vettoriale il cui modulo e direzione cambiano al variare di 𝑡). Consideriamo il vettore al tempo 𝑡: 𝑤 𝑡 e quello al tempo 𝑡 + Δ𝑡: 𝑤 𝑡 + Δ𝑡

Nell’intervallo di tempo Δ𝑡 quindi avviene un variazione vettoriale Δ𝑤 data da Δ𝑤 = 𝑤 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑤 𝑡

e definire il rapporto incrementale Δ𝑤

Δ𝑡 = 𝑤 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑤 𝑡 Δ𝑡

Si definisce derivata del vettore 𝑤 rispetto alla variabile 𝑡, la quantità:

𝑑𝑤

𝑑𝑡 = lim

Δ𝑡→0

𝑤 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑤 𝑡

Osservando che la derivata di un vettore è ancora un vettore, in generale non paralleloΔ𝑡 a 𝑤

Δ𝑤

𝑤 𝑡 + Δ𝑡 𝑤 𝑡

Derivata di un vettore

Ora possiamo rappresentare il vettore secondo un sistema di assi cartesiani 𝑤 = 𝑤_𝑥 ෡𝑖 + 𝑤_𝑦 𝑗 + 𝑤෡ _𝑧 𝑘෡

e nell’ipotesi che gli assi sono fissi allora la derivata di partenza diventa 𝑑𝑤

𝑑𝑡 = 𝑑 𝑤_𝑥 ෡𝑖 + 𝑤_𝑦 𝑗 + 𝑤෡ _𝑧 𝑘෡

𝑑𝑡 = 𝑑𝑤_𝑥

𝑑𝑡 ෡𝑖 + 𝑑𝑤_𝑦

𝑑𝑡 𝑗 +෡ 𝑑𝑤_𝑧 𝑑𝑡 𝑘෡

Che coincide con l’espressione ricavata prima, nel caso in cui come vettore 𝑤 si utilizzi il vettore posizione 𝑟

Il versore è un vettore di modulo unitario, quindi il suo modulo non varia nel tempo.

Vediamo come si deriva un versore 𝑢 𝑡 quando la sua direzione cambia nel tempo, ovvero compie una rotazione di un certo angolo ΔΘ.

Ci aspettiamo che la derivata darà luogo sempre ad un vettore.

L’esempio di seguito ci aiuterà a capire quale direzione ha la derivata di un versore.

Δ ො𝑢 = 𝑅 ΔΘ = ො𝑢 𝑡 ΔΘ

La regola del parallelogramma ci suggerisce che la differenza Δ ො𝑢 = ො𝑢 𝑡 + Δ𝑡 − ො𝑢 𝑡

segue la congiungente tra ො𝑢 𝑡 e ො𝑢 𝑡 + Δ𝑡

Al limite per Δ𝑡 → 0, Δ ො𝑢 tende ad un vettore infinitesimo, perpendicolare a ො𝑢 𝑡

Derivata di un versore

𝑑

Per cui per quanto riguarda il modulo, da Δ ො𝑢 = ො𝑢 𝑡 ΔΘ scriviamo 𝑑 ො𝑢 =

ො

𝑢 𝑡 𝑑Θ = 𝑑Θ

e direzione perpendicolare a ො𝑢 𝑡 che possiamo anche scrivere come 𝑑 ො𝑢 = 𝑑Θ ො𝑢_𝑁

dove ො𝑢_𝑁 è un versore perpendicolare a ො𝑢 Di conseguenza la derivata sarà

𝑑 ො𝑢

𝑑𝑡 = 𝑑Θ 𝑑𝑡 𝑢ො_𝑁

La derivata di un versore è un vettore perpendicolare al versore stesso, di modulo ^𝒅𝜣

𝒅𝒕 e quindi in genere esso non è un versore.

Inoltre se definiamo la quantità ω = ^𝑑Θ

𝑑𝑡 con direzione perpendicolare al piano in cui sta ruotando il versore ො𝑢 e verso secondo la rotazione come indicata dalla mano destra, abbiamo che si può scrivere ^{𝑑 ෝ𝑢}

𝑑𝑡 = 𝜔 ٿ ො𝑢 che troveremo utile da utilizzarsi nei moti circolari.

Derivata di un versore

𝑑

Scrittura intrinseca della derivata

Se rappresentiamo un vettore nella sua forma indipendente dai sistemi di riferimento cioè Ԧ𝑣 = 𝑣 ො𝑢 possiamo ricavare la derivata del vettore utilizzando la regola di derivazione di un prodotto e quanto abbiamo appena ricavato:

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 ො𝑢

𝑑𝑡 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 𝑢 + 𝑣ො 𝑑 ො𝑢 quindi 𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 𝑢 + 𝑣ො 𝑑Θ 𝑑𝑡 𝑢ො_𝑁 la derivata restituisce due termini: il primo termine ^𝑑𝑣

𝑑𝑡 𝑢 è parallelo a 𝑣 ed è dovutoො alla variazione del modulo del vettore, il secondo termine 𝑣 ^{𝑑 ෝ𝑢}

𝑑𝑡 = 𝑣 ^𝑑Θ

𝑑𝑡 𝑢ො_𝑁 è perpendicolare a 𝑣 ed è dovuto alla variazione della sua direzione.

Derivata di un vettore

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 𝑢 + 𝑣ො 𝑑Θ 𝑑𝑡 𝑢ො_𝑁

Infine, il modulo del vettore derivata è dato da:

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡

2

+ 𝑣𝑑Θ 𝑑𝑡

2

Derivata di un vettore

Introducendo dei versori ො𝑢_𝑟 e ො𝑢_𝛩, il primo con direzione di 𝑟 , radiale (verso il centro di curvatura) e l’altro perpendicolare al primo. Raggio vettore: 𝑟 = 𝑟 ො𝑢_𝑟

La velocità può scomporsi così:

Ԧ

𝑣 = 𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡 = 𝑑 𝑟 ො𝑢_𝑟

𝑑𝑡 = 𝑑𝑟

𝑑𝑡 𝑢ො_𝑟+ 𝑟𝑑 ො𝑢_𝑟

𝑑𝑡 = 𝑑𝑟

𝑑𝑡 𝑢ො_𝑟+ 𝑟 𝑑Θ

𝑑𝑡 𝑢ො_Θ = Ԧ𝑣_𝑟 + Ԧ𝑣_Θ La componente radiale Ԧ𝑣_𝑟 dipende

dalla variazione del modulo della velocità mentre la componente Ԧ𝑣_Θ tangenziale dipende dalla variazio- ne della direzione del vettore

velocità.

La velocità (tangente alla traiettoria) è stata scomposta nelle sue componenti:

v. radiale Ԧ𝑣_𝑟 diretta lungo Ԧ𝑟 e di modulo

𝑑𝑟

𝑑𝑡 , e trasversale Ԧ𝑣_Θ ortogonale ad Ԧ𝑟 di modulo 𝑟 ^𝑑Θ

𝑑𝑡. Il modulo della velocità è: 𝑣 = ^𝑑𝑟

𝑑𝑡

2 + 𝑟 ^𝑑Θ

𝑑𝑡 2

Componenti polari della velocità

Accelerazione

Quando la velocità del punto varia nel tempo, il moto si dice accelerato.

Analogamente a quanto fatto nel caso unidimensionale, l’accelerazione media è definita come rapporto tra variazione di velocità Δ𝑣 nell’intervallo di tempo Δ𝑡 in cui avviene la variazione:

𝑎_𝑚 =< 𝑎 > = Δ𝑣

La v. media fornisce una indicazione globale. Viceversa la velocità istantaneaΔ𝑡 permette di conoscere la variazione temporale della velocità nel limite di Δ𝑡 → 0, di conseguenza:

𝑎 = lim

Δ𝑡→0

Δ𝑣

Δ𝑡 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑²𝑟 𝑑𝑡²

L’acc. è dunque la derivata del vettore velocità rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda del vettore posizione rispetto al tempo.

Se 𝑎 = 0, allora ^𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 0 quindi la velocità è costante in modulo direzione e verso:

moto rettilineo uniforme (il punto si muove lungo una retta).

In generale l’acc. non è tangente al moto (come nel caso della velocità).

Accelerazione

Componenti cartesiane dell’accelerazione Dalle seguenti equazioni

𝑎 = 𝑎_𝑥 ෡𝑖 + 𝑎_𝑦 ෡𝑗 + 𝑎_𝑧 𝑘෡ 𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 𝑣_𝑥 ෡𝑖 + 𝑣_𝑦 𝑗 + 𝑣෡ _𝑧 𝑘 =෡ 𝑑𝑣_𝑥

𝑑𝑡 ෡𝑖 + 𝑑𝑣_𝑦

𝑑𝑡 𝑗 +෡ 𝑑𝑣_𝑧 𝑑𝑡 𝑘෡ 𝑎 = 𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡 ෡𝑖 + 𝑑 𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑗 +෡ 𝑑 𝑑𝑡

𝑑𝑧

𝑑𝑡 𝑘 =෡ 𝑑²𝑥

𝑑𝑡² ෡𝑖 + 𝑑²𝑦

𝑑𝑡² ෡𝑗 + 𝑑²𝑧 𝑑𝑡² 𝑘෡ si ottengono le relazioni

𝑎_𝑥 = 𝑑𝑣_𝑥

𝑑𝑡 = 𝑑²𝑥 𝑑𝑡² 𝑎_𝑦 = 𝑑𝑣_𝑦

𝑑𝑡 = 𝑑²𝑦 𝑑𝑡² 𝑎_𝑧 = 𝑑𝑣_𝑧

𝑑𝑡 = 𝑑²𝑧 𝑑𝑡²

È possibile scomporre l’accelerazione 𝑎 nelle sue componenti cartesiane. Queste ultime sono le accelerazioni dei moti rettilinei, la proiezione sugli assi del moto del punto materiale che si muove lungo una traiettoria curva nello spazio xyz.

Accelerazione

Abbiamo dimostrato come nota la velocità in funzione del tempo, è possibile calcolare l’accelerazione del punto materiale in funzione del tempo (derivazione).

Il viceversa è altrettanto possibile, integrando (tra 𝑡₀ e 𝑡) l’accelerazione si ottiene la velocità in funzione del tempo.

Valide qualunque sia il moto e valgono le stesse considerazioni fatte nel caso del moto unidimensionale.

Accelerazione

Quindi il vantaggio nell’uso delle componenti è quello che per stabilire il moto considerato basta considerare il “moto delle singole componenti”(moto proiettato) trattate indipendentemente l’una dall’altra, di conseguenza ogni componente si tratta come nella cinematica 1D ed il moto risultante (quello reale) è dato dalla composizione dei moti delle varie componenti.

Esempio

1) 𝑎 = 2 ෡𝑖 ⇒ il moto è accelerato sull’asse x e il moto è rettilineo uniforme sugli altri assi

2) 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑎 = 𝑎_𝑥 ෡𝑖 + 𝑎_𝑦 ෡𝑗 + 𝑎_𝑧 𝑘 e affinché un vettore sia costante lo෡ devono essere tutte le sue componenti quindi 𝑎_𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑎_𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑎_𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ovvero su ogni asse c’è un moto uniformemente accelerato.

Problema 1

𝑗෡

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

È il moto (nel vuoto) di un punto materiale lanciato con una velocità iniziale 𝑣₀ qualunque al tempo 𝑡₀ = 0, formante un angolo 𝜃 con l’asse delle ascisse x, soggetto all’attrazione gravitazionale 𝑔 .

Il punto materiale in queste condizioni è detto proiettile. L’accelerazione è quella di gravità diretta verso il basso.

A differenza del moto 1D della caduta libera, velocità iniziale ed accelerazione non sono tra loro paralleli ed il moto di conseguenza avviene nel piano definito da questi due vettori (moto 2D, piano xy).

Usiamo il sistema di rif. xy in figura:

𝑎 = 𝑔 = −𝑔 ෡𝑗 𝑣₀ = 𝑣_0𝑥෡𝑖 + 𝑣_0𝑦 𝑗෡

𝑣_𝑥 𝑣_𝑦

Obiettivi: determinare la

• Traiettoria xy

• Massima altezza

• Gittata

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

Come si procede? ⇒ Si analizzano separatamente i moti sugli assi cartesiani su ognuno dei quali si considera la cinematica (1D) indipendentemente dallo stato di moto sugli altri assi:

𝑣_𝑥

x ቐ

𝑣_0𝑥 = 𝑣₀ cos Θ 𝑎_𝑥 = 0

y ൞

𝑣_0𝑦 = 𝑣₀ sin Θ

𝑎_𝑦 = −𝑔 𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚. 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑡. 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒

Obiettivi: determinare la

• Traiettoria xy

• Massima altezza

• Gittata

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

x ቐ

𝑣_0𝑥 = 𝑣₀ cos Θ

𝑎_𝑥 = 0 𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑡. 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒

Pertanto il moto è rettilineo uniforme sull’asse x (𝑎_𝑥 = 0 e 𝑣_𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) ed uniformemente acc. sull’asse y, di conseguenza valgono le seguenti leggi orarie:

𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑡. 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒:

𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑡. 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒mente accelerato y ൞

𝑣_0𝑦 = 𝑣₀ sin Θ

𝑎_𝑦 = −𝑔 𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚. 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜

x ቐ

𝑎_𝑥 = 0 𝑣_𝑥 = 𝑣_0𝑥

𝑥 = 𝑥₀ + 𝑣_0𝑥 𝑡

y ൞

𝑎_𝑦 = −𝑔

𝑣_𝑦 = 𝑣_0𝑦 − 𝑔 𝑡

𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣_0𝑦 𝑡 − ¹₂^{𝑔 𝑡2}

Obiettivi: determinare la

• Traiettoria xy

• Massima altezza

• Gittata

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

Da questo sistema si può ricavare tutto l’occorrente per determinare i parametri del moto e la traiettoria seguita. Per la traiettoria ad esempio bisogna eliminare la variabile “t” tra le eq.: 𝑥 = ⋯ 𝑦 = ⋯

Sostituendo 𝑣_0𝑥 = 𝑣₀ cos Θ nell’eq. della 𝑥 = ⋯

𝑥 = 𝑥₀ + 𝑣₀ cos Θ ⋅ 𝑡 ⟹ 𝑡 = 𝑥 − 𝑥₀ 𝑣₀cos Θ che possiamo adesso sostituire nella 𝑦 = ⋯

𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣₀ sin Θ 𝑥 − 𝑥₀

𝑣₀ cos Θ − 1

2 g 𝑥 − 𝑥₀ 𝑣₀ cos Θ

2

x ቐ

𝑎_𝑥 = 0 𝑣_𝑥 = 𝑣_0𝑥

𝑥 = 𝑥₀ + 𝑣_0𝑥 𝑡

𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑡. 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒

y ቐ

𝑎_𝑦 = −𝑔

𝑣_𝑦 = 𝑣_0𝑦 − 𝑔 𝑡

𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣_0𝑦 𝑡 − ¹₂𝑔 𝑡²

𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚. 𝑎𝑐𝑐.

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣₀ sin Θ 𝑥 − 𝑥₀

𝑣₀ cos Θ − 1

2 g 𝑥 − 𝑥₀ 𝑣₀cos Θ

2

𝑦 = 𝑦₀ + sin Θ

cos Θ 𝑥 − 𝑥₀ − 1

2 g 𝑥 − 𝑥₀ ² 𝑣₀ cos Θ ² che infine riscriviamo nel caso 𝑥₀ = 0 come:

𝑦 = 𝑦₀ + tan Θ ⋅ 𝑥 − 𝑔 𝑥² 2 𝑣₀ cos Θ ² che è l’equazione di una parabola = Traiettoria xy

Pertanto la traiettoria nel moto del proiettile è una parabola (moto parabolico)

Obiettivi: determinare la

• Traiettoria xy

• Massima altezza

• Gittata

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

Calcolo della velocità nel moto del proiettile

Se invece occorre conoscere le due componenti della velocità in funzione delle posizioni dobbiamo usare i due sistemi separatamente ed eliminando ancora il tempo 𝑡.

Il moto lungo x orizzontale continua ad essere rettilineo uniforme e quindi la componente x è a velocità costante 𝑣_𝑥 = 𝑣₀ cos Θ (nessuna dipendenza da t e x)

Il moto y verticale è invece uniformemente accelerato. Ricavando il tempo da 𝑣_𝑦 = 𝑣₀ sin Θ − 𝑔 𝑡

𝑣_𝑦 − 𝑣₀ sin Θ = −𝑔 𝑡 ⇒ 𝑡 = −𝑣_𝑦 − 𝑣₀ sin Θ 𝑔

e inserendola nella 𝑦 = ⋯ si ottiene 𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣₀ sin Θ −^{𝑣𝑦−𝑣0sin Θ}

𝑔 − ¹

2 g −^{𝑣𝑦−𝑣0sin Θ}

𝑔

2

⇒(si elimina il denom.) 2 𝑔 𝑦 − 𝑦₀ = −2 𝑣₀ sin Θ 𝑣_𝑦 − 𝑣₀ sin Θ − 𝑣_𝑦 − 𝑣₀ sin Θ ² ⇒

−2 𝑔 𝑦 − 𝑦₀ = 𝑣_𝑦 − 𝑣₀ sin Θ 2 𝑣₀ sin Θ + 𝑣_𝑦 − 𝑣₀ sin Θ ⇒

−2 𝑔 𝑦 − 𝑦₀ = 𝑣_𝑦 − 𝑣₀ sin Θ 𝑣_𝑦 + 𝑣₀ sin Θ ⇒

−2 𝑔 𝑦 − 𝑦₀ = 𝑣_𝑦² − 𝑣₀ sin Θ ² ⇒

⇒ 𝑣_𝑦² = 𝑣₀ sin Θ ² − 2 𝑔 𝑦 − 𝑦₀

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

Calcolo velocità nel moto del proiettile

⇒ 𝑣_𝑦² = 𝑣₀ sin Θ ² − 2 𝑔 𝑦 − 𝑦₀

che si può usare per trovare la velocità comp. y in funzione dell’altezza.

Dopo di che ci calcoliamo

𝑣 = 𝑣_𝑥² + 𝑣_𝑦² Calcolo della altezza massima del proiettile

In particolare la relazione appena trovata la usiamo per trovare la massima altezza raggiunta: il proiettile sale fintanto che la sua componente y della velocità è positiva, quando cambia segno il moto sull’asse y si inverte ed il proiettile ricomincia a cadere. La massima altezza si trova allora richiedendo che 𝑣_𝑦=0 ovvero

0 = 𝑣₀sin Θ ² − 2 𝑔 𝑦_𝑀𝑎𝑥 − 𝑦₀ 2 𝑔 𝑦_𝑀𝑎𝑥 − 𝑦₀ = 𝑣₀ sin Θ ²

𝑦_𝑀𝑎𝑥 − 𝑦₀ = 𝑣₀ sin Θ ² 2 𝑔 𝑦_𝑀𝑎𝑥 = 𝑦₀ + 𝑣₀ sin Θ ²

2 𝑔

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

Gittata

Si definisce gittata orizzontale 𝑅 il percorso in orizzontale necessario affinché il proiettile ripassi per la stessa quota iniziale ovvero 𝑦 = 𝑦₀. Quindi poniamo le condizioni 𝑥 − 𝑥₀ = 𝑅 e 𝑦 − 𝑦₀ = 0 nelle equazioni 𝑥 = ⋯ e 𝑦 = ⋯ ottenendo:

𝑅 = 𝑣₀ cos Θ 𝑡

0 = 𝑣₀ sin Θ 𝑡 − 1

2𝑔𝑡² → 1

2𝑔 𝑡 = 𝑣₀ sin Θ ed eliminando il tempo t tra queste due equazioni otteniamo (t dalla 2°equazione):

𝑅 = 𝑣₀ cos Θ 2 𝑣₀ sin Θ

𝑔 = 2𝑣₀²

𝑔 sin Θ cos Θ = 𝑣₀²

𝑔 sin 2Θ

Da questa notiamo che la gittata è massima quando l’angolo di lancio (alzo) è pari a 45° (ovvero sin 2Θ = 1) oppure da dR/dΘ = 0

Attenzione non si deve usare questo risultato quando 𝑦 ≠ 𝑦₀ x ቐ

𝑎_𝑥 = 0 𝑣_𝑥 = 𝑣_0𝑥

𝑥 = 𝑥₀ + 𝑣_0𝑥 𝑡 →

y ൞

𝑎_𝑦 = −𝑔

𝑣_𝑦 = 𝑣_0𝑦 − 𝑔 𝑡

𝑦 = 𝑦₀ + 𝑣_0𝑦 𝑡 − ¹₂𝑔 𝑡² →

Moto parabolico dei corpi (moto del proiettile)

Si trova che in corrispondenza degli angoli 𝜃₁ = 45° + α e 𝜃₂ = 45° – α, la gittata è la stessa.

Ricevimento ogni mercoledì h15.00 →17.00 (modalità remota). É necessario prenotare il ricevimento inviando una mail.