Si noti che dim(Im(F

(1)

1 Determinare per quale valore di k ∈ R, l’insieme U = {(x, y, z) ∈ R³ | x − z = 0, y = k} `e un sottospazio vettoriale di R³.

Si noti che necessariamente k = 0, altrimenti il vettore nullo 0 = (0, 0, 0) /∈ U e quindi U non sarebbe un sottospazio vettoriale. Inoltre se k = 0, allora U soddisfa le propriet`a che definiscono un sottospazio vettoriale.

2 Sia F : R³ −→ R³ l’applicazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice A =





1 0 0 0 1 2 0 1 0



. Determinare la dimensione di Ker(F ).

Si noti che dim(Im(F )) = rg(A) = 3, poich`e det(A) = −2 6= 0. Quindi dim(Ker(F )) = 3 − dim(Im(F )) = 0.

3 Determinare quale pu`o essere il rango di una matrice A ∈ ASym₂(R) (antisimmetrica di ordine 2).

Se A ∈ ASym₂(R), allora A = 0 a

−a 0

, per qualche a ∈ R. Allora rg(A) = 0, se a = 0, oppure rg(A) = 2, se a 6= 0.

4 Si scriva la definizione di autovalore e di autospazio di una matrice A ∈ Mn(K). Si determini quindi se il vettore (0, 1) ∈ R² `e autovettore della matrice A = 0 1

−1 0

∈ M₂(R).

Il vettore (0, 1) non `e un autovettore di A, infatti 0 1

−1 0

0 1

=1 0

6= λ0 1

, ∀λ ∈ R.

5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si scrivano delle equazioni parametriche di una retta passante per il punto P = (0, 3, 4) e parallela ai piani σ : x−y−z−1 = 0 e σ⁰ : 3x−y+z−1 = 0.

Se (a, b, c) `e un vettore direttore della retta ` cercata, allora tale vettore `e ortogonale ai vettori normali n = (1, −1, −1), n⁰ = (3, −1, 1) di σ e σ⁰. Pertanto a − b − c = 0

3a − b + c = 0 Quindi la giacitura di ` è h(−1, −2, 1)i. Alternativamente un vettore direttore di ` è n × n⁰ = (−2, −4, 2). Pertanto la retta ` è:







x = −λ y = 3 − 2λ z = 4 + λ

, λ ∈ R.

(2)

1 In R³, determinare dim(U + W ), dove U = {(x, y, z) ∈ R³ | 2x + y + z = 0} e W = h(1, 0, −2)i.

Si noti che U = {(x, y, −2x − y) | x, y ∈ R} = h(1, 0, −2), (0, 1, −1)i. Inoltre dim(U + W ) = rg





1 0 −2 0 1 −1 1 0 −2



= 2.

2 Si consideri l’applicazione lineare F : (x, y) ∈ R² 7−→ (3x + y, 3y) ∈ R². Determinare la dimensione di Ker(F ).

Ker(F ) = {(x, y) ∈ R² | F (x, y) = (3x + y, 3y) = (0, 0)} = {(0, 0)}. Quindi dim(Ker(F )) = 0.

3 Siano x e y sono soluzioni di un sistema lineare non omogeneo. Determinare se x + y `e soluzione dello stesso sistema.

Sia AX = b il sistema lineare in considerazione. Inoltre b 6= 0, poich`e il sistema `e non omogeneo e Ax^t= b, Ay^t= b. Pertanto A(x + y)^t= A(x^t+ y^t) = Ax^t+ Ay^t= b + b = 2b 6= b.

4 Stabilire se la matrice A =





0 1 0 0 0 2 0 0 0



∈ M₃(R) `e diagonalizzabile.

Il polinomio caratteristico di A risulta det(A − λI) = det





−λ 1 0

0 −λ 2

0 0 −λ



 = −λ³. Quindi A ha un unico autovalore λ = 0 e m_a(0) = 3. D’altro canto m_g(0) = 3 − rg(A − 0I) = 3 − rg(A) = 1, in quanto rg(A) = 2. Se ne deduce che A non `e diagonalizzabile.

5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti P = (1, 3, −2) e Q = (1, −1, −2). Determinare un’equazione cartesiana del piano passante per Q ed ortogonale alla retta P Q.

Un vettore normale al piano σ cercato `e −→

P Q = (0, −4, 0). Quindi σ : −4y + d = 0. Inoltre Q ∈ σ.

Pertanto σ : y + 1 = 0.

(3)

1 In R³, determinare dim(U + W ), dove U = h(1, 2, 3)i e W = h(0, 1, 0)i.

Si ha che dim(U + W ) = rg1 2 3 0 1 0

= 2.





1 0 0 0 1 2 0 1 0



. Determinare se il vettore (1, 3, 1) appartiene a Im(F ).

Si noti che det(A) = −2 6= 0, quindi dim(Im(F )) = rg(A) = 3. Pertanto Im(F ) = R³ e dunque (1, 3, 1) ∈ Im(F ).

3 Determinare l’insieme delle soluzioni del sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z, t:







y + z − t = 0 z + t = 0 y + 2z = 0

Il sistema ammette le ∞² soluzioni {(α, −2β, β, −β) | α, β ∈ R}.

4 Siano v e w autovettori distinti di un endomorfismo F relativi allo stesso autovalore λ. Determinare se v − w `e autovettore di F .

Si ha che F (v) = λv e F (w) = λw, poich`e v e w sono autovettori di F relativi a λ. Inoltre F (v − w) = F (v) − F (w) = λv − λw = λ(v − w) e quindi v − w `e anch’esso autovettore di F relativo a λ.

5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti P = (1, 2, 1), Q = (1, 0, 0) e R = (1, 1, 1). Determinare un’equazione cartesiana del piano passante per P ed ortogonale alla retta QR.

Un vettore normale al piano σ cercato `e −→

QR = (0, 1, 1). Quindi σ : y + z + d = 0. Inoltre P ∈ σ.

Pertanto σ : y + z = 3.

(4)

1 Determinare se il vettore (10, 2, 4) ∈ R³ `e combinazione lineare di v₁ = (2, 2, 2), v₂ = (2, 2, 0), v₃ = (3, 0, 0) ∈ R³.

Si noti che hv1, v2, v3i = R³, poich`e v1, v2, v3 sono linearmente indipendenti. Allora (10, 2, 4) ∈ hv₁, v₂, v₃i ed `e combinazione lineare di v₁ = (2, 2, 2), v₂ = (2, 2, 0), v₃ = (3, 0, 0).





1 0 0 0 1 2 0 1 0



. Determinare la dimensione di Im(F ).

Si ha che dim(Im(F )) = rg(A) = 3, poich`e det(A) = −2 6= 0.

3 Determinare det(A), dove A `e una matrice quadrata tale che il sistema lineare AX = b ha almeno due soluzioni distinte.

Necessariamente det(A) = 0, altrimenti il sistema sarebbe di Cramer ed avrebbe un’unica soluzione.





0 −1 0

1 0 0

0 0 1



∈ M3(R) `e diagonalizzabile in R.

La matrice A è definita sul campo dei reali, ma il suo polinomio caratteristico è (1 − λ)(λ²+ 1). Pertanto possiede solo un autovalore reale e non è diagonalizzabile.

5 Determinare se l’angolo tra i vettori v = (1, 0, 2) e w = (0, 1, −1) `e minore di π/2.

Il coseno dell’angolo θ tra i vettori v e w, risulta cos θ = ||v|| ||w||^v·w = ^√⁻²

10 < 1. Pertanto θ > π/2.

(5)

1 Siano U, W sottospazi vettoriali di R⁴, con dim U = dim W = 3. Determinare quale pu`o essere la dimensione di U + W .

Si noti che U + W ⊆ R⁴. Pertanto dim(U + W ) = 3 se U = W oppure dim(U + W ) = 4 se U 6= W . 2 Sia F : V −→ R³ un’applicazione lineare iniettiva, dove V = {A ∈ M₃(R) | A matrice diagonale}.

Determinare se F `e suriettiva.

Si noti che dim(V ) = 3 = dim(R³). Allora F `e iniettiva se e solo se F `e suriettiva.

3 Sia A ∈ M3,2(R) una matrice tale che rg(A) = 2. Determinare quante soluzioni pu`o avere il sistema lineare AX = b.

Si noti che 2 ≤ rg(A|b) ≤ 3. Pertanto il sistema sarà compatibile ed avrà un’unica soluzione se rg(A|b) = 2, mentre risulterà incompatibile se rg(A|b) = 3.

4 Siano V uno spazio vettoriale reale e F : V −→ V un endomorfismo. Si fornisca la definizione di autospazio di F relativo ad un suo autovalore λ, dove m_g(λ) = r. Si determini poi la dimensione di tale autospazio.

L’autospazio di F relativo a λ `e V_λ(F ) = {v ∈ V | F (v) = λv}. Inoltre dim(V_λ(F )) = m_g(λ) = r.

5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si determini un’equazione cartesiana del piano passante per l’origine e parallelo al piano di equazioni parametriche:







x = 3λ + µ y = 1 − µ z = 2 + 2λ

, λ, µ ∈ R.

Un’equazione cartesiana del piano dato è 2x + 2y − 3z + 4 = 0. Allora il piano cercato ha un’equazione cartesiana del tipo 2x+2y−3z+d = 0. Poichè passa per l’origine l’equazione cercata sarà 2x+2y−3z = 0.

(6)

1 Stabilire per quali valori di k ∈ R, i vettori (1, 2, 1), (2, k, k + 1), (k, 0, 1) ∈ R³ sono linearmente indipendenti.

Si noti che det





1 2 1

2 k k + 1

k 0 1



= (k + 4)(k − 1). Quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti per k ∈ R \ {1, −4}.

2 Sia F : R³ −→ R² un’applicazione lineare. F `e iniettiva?

Si noti che Im(F ) ⊆ R², quindi dim(Im(F )) ≤ 2. Pertanto F non pu`o essere iniettiva, in quanto dim(Ker(F )) = 3 − dim(Im(F )) ≥ 1.

3 Determinare rg(A), dove A = (a_ij) `e una matrice tale che a_ij = 1, per ogni i, j.

Si noti che lo spazio vettoriale generato dalle righe (o colonne) di A `e h(1, 1, . . . , 1)i. Quindi rg(A) = 1.





2 1 1 0 2 0 0 0 2



∈ M₃(R) `e diagonalizzabile.





2 − λ 1 1

0 2 − λ 0

0 0 2 − λ



 = (2 − λ)³. Quindi A ha un unico autovalore λ = 2 e m_a(2) = 3. D’altro canto m_g(2) = 3 − rg(A − 2I) = 3 − 1 = 2, in quanto rg(A − 2I) = rg





0 1 1 0 0 0 0 0 0



= 1. Se ne deduce che A non `e diagonalizzabile.

5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si determini un vettore ortogonale al piano di equazioni parametriche:







x = 3λ − µ y = λ z = 2µ

, λ, µ ∈ R.

Un’equazione cartesiana del piano `e 2x − 6y + z = 0. Allora un vettore ortogonale al piano `e (2, −6, 1).

(7)

1 Stabilire per quali valori di k ∈ R, i vettori (1, 1, 1), (1, k, 2), (1, 1, k − 1) ∈ R³ sono linearmente indipendenti.

Si noti che det





1 1 1

1 k 2

1 1 k − 1



= (k − 1)(k − 2). Quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti per k ∈ R \ {1, 2}.

2 Si consideri l’applicazione lineare F : (x, y, z) ∈ R³ 7−→ (x + y + z, −x − y − z) ∈ R². Determinare la dimensione di Im(F ).

Si noti che la matrice associata ad F rispetto alle basi canoniche `e A = 1 1 1

−1 −1 −1

. Quindi dim(Im(F )) = rg(A) = 1.

3 Si determini il numero delle soluzioni del seguente sistema lineare a coefficienti reali dipendente dal parametro reale k:

x + y = 1 x + ky = k + 1 Sia A =1 1

1 k

la matrice incompleta associata al sistema. Pertanto det(A) = k − 1 e rg(A) =

(2 se k 6= 1

1 se k = 1 . Quindi se k 6= 1, allora rg(A) = rg(A|b) = 2 ed il sistema ammette un’unica soluzione. Se k = 1, allora rg(A) = 1, rg(A|b) = 2 ed il sistema `e incompatibile.





1 2 1 0 3 0 0 0 −1



∈ M3(R) `e diagonalizzabile.





1 − λ 2 1

0 3 − λ 0

0 0 −1 − λ



 = −(1 + λ)(1 − λ)(3 − λ). Quindi A ha tre autovalori distinti ed `e diagonalizzabile.

5 Nello spazio euclideo reale si determini la posizione reciproca di due piani distinti la cui intersezione contiene un punto.

Se due piani distinti hanno almeno un punto in comune allora si intersecano in una retta.

(8)

1 Stabilire se i vettori (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9), (10, 11, 12) ∈ R³ sono linearmente indipendenti.

I quattro vettori dati sono sicuramente linearmente dipendenti, in quanto il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in R³ `e tre.

2 Sia F : R⁴ −→ R² un’applicazione lineare tale che dim(Ker(F )) = 2. F `e suriettiva?

Si ha che dim(Im(F )) = dim(R⁴) − dim(Ker(F )) = 4 − 2 = 2 = dim(R²). Pertanto Im(F ) = R² ed F

`

e suriettiva.

3 Si determini una base per il sottospazio di R⁴ costituito dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo:

x − y + 2z − 2t = 0 3x − y + 2z = 0

Il sottospazio vettoriale delle soluzioni `e {(−β, 2α − 3β, α, β) | α, β ∈ R} = h(−1, −3, 0, 1), (0, 2, 1, 0)i.

Pertanto una sua base risulta {(−1, −3, 0, 1), (0, 2, 1, 0)}.

4 Stabilire se l’endomorfismo F : (x, y) ∈ R² 7−→ (3x + y, 3y) ∈ R² `e diagonalizzabile.

La matrice associata ad F rispetto alla base canonica `e A = 3 1 0 3

. Il polinomio caratteristico di F risulta det(A − λI) = det3 − λ 1

0 3 − λ

= (3 − λ)². Quindi A ha un unico autovalore λ = 3 e m_a(3) = 2. D’altro canto m_g(3) = 2 − rg(A − 3I) = 2 − 1 = 1, in quanto rg(A − 3I) = rg0 1

0 0

= 1.

Se ne deduce che F non `e diagonalizzabile.

5 Determinare il coseno dell’angolo tra i piani σ1 : x + y + z = 1 e σ2 : x − y − z = 2.

Siano n1 = (1, 1, 1) e n2 = (1, −1, −1) vettori ortogonali a σ1 e σ2, rispettivamente. Il coseno dell’angolo cercato θ risulta cos θ = _||nⁿ¹^·n²

1|| ||n2|| = ⁻¹₃ .

(9)

1 Determinare dim(U^⊥), dove U = {(x, y, z) ∈ R³ | x − z = 0}.

Si noti che U = h(1, 0, 1), (0, 1, 0)i, quindi dim(U ) = 2 e dim(U^⊥) = 3 − dim(U ) = 1.





3 1 0

−1 0 2 0 2 0



. Determinare la dimensione di Ker(F ).

Si noti che dim(Im(F )) = rg(A) = 3, poich`e det(A) = −12 6= 0. Quindi dim(Ker(F )) = 3 − dim(Im(F )) = 0.

3 Stabilire per quale valore del parametro k ∈ R il seguente sistema lineare ammette un’unica soluzione:

kx + 2y = k 2x + ky = 4 − k

Sia A = k 2 2 k

la matrice incompleta associata al sistema. Il sistema ammette un’unica soluzione se e solo se det(A) = k²− 4 6= 0. Pertanto k ∈ R \ {±2}.

4 Si scriva la definizione di matrici simili e si determini se due matrici simili hanno lo stesso determinante.

Due matrici A, B ∈ M_n(K) sono simili se esiste P ∈ GLn(K) tale che B = P⁻¹AP . In tal caso det(A) = det(P⁻¹BP ) = det(P⁻¹) det(B) det(P ) = det(P )⁻¹det(B) det(P ) = det(B).

5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il piano σ : 2x + 2y − z = 2 e la retta ` : x + 1 = 0

2y − z = 0 tra loro paralleli. Si calcoli la distanza tra σ ed `.

Si noti che d(`, σ) = d(P, σ), per qualsiasi punto P di `. Quindi ad esempio P = (−1, 0, 0) e d(σ, `) = ⁴₃.

(10)

1 In R³, determinare dim(W^⊥), dove W = h(1, 2, 3), (0, 1, 0)i.

Si noti che dim(W ) = 2. Quindi dim(W^⊥) = 3 − dim(W ) = 1.





3 1 0

−1 0 2 0 2 0



. Determinare la dimensione di Im(F ).

Si ha che dim(Im(F )) = rg(A) = 3, poich`e det(A) = −12 6= 0.

3 Si determini una base per il sottospazio di R⁴ costituito dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo:

x + y + z + t = 0 x + z + t = 0

Il sottospazio vettoriale delle soluzioni `e {(−α − β, 0, α, β) | α, β ∈ R} = h(−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)i.

Pertanto una sua base risulta {(−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}.

4 Stabilire il valore del parametro k ∈ R tale che la matrice Ak =1 k − 3

0 1

∈ M₂(R) risulti diagonalizzabile.

Il polinomio caratteristico di A risulta det(A − λI) = det1 − λ k − 3 0 1 − λ

= (1 − λ)². Quindi A ha un unico autovalore λ = 1 e m_a(1) = 2. Inoltre m_g(1) = 2 − rg(A − I) = 2 se e solo se rg(A − I) = 0 se e solo se A − I =0 k − 3

0 0

= 0. Pertanto k = 3.

5 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette

`₁ : x = 2y + 1

y + z = 1 , `₂ :







x = 2λ y = 1 + λ z = 3 − λ

, λ ∈ R.

Stabilire se `₁ ed `₂ sono complanari ed in tal caso si determini un’equazione cartesiana di tale piano.

Le rette `1, `2 sono contenute nel piano x − y + z − 2 = 0.