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Calcolare l’area della parte di piano compresa dal grafico della funzione l’asse x e le rette verticali x = 3 e x = 5

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Academic year: 2021

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(1)

– Prova scritta di Analisi I del 18/06/09 – 18 / 6 / 2009

Compito n. 2

Domanda 1)

Sia f la funzione definita da f (x) = x216 (x + 1)3.

1. Usare le equivalenze asintotiche con gli infiniti e gli infinitesimi di riferimento per determinare i limiti nei punti di frontiera del dominio e dedurne l’esistenza di asintoti orizzontali, verticali.

2. Usare le propriet`a delle funzioni continue ed il punto precedente per determinare il segno della funzione.

3. Disegnare il grafico della funzione.

4. Determinare numero e segno delle soluzioni dell’equazione f (x) = c, al variare di c ∈ R.

5. Calcolare l’area della parte di piano compresa dal grafico della funzione l’asse x e le rette verticali x = 3 e x = 5. Per determinare la primitiva di f usare la sostituzione t = x + 1.

6. Rispondere ai seguenti quesiti sulla funzione F definita da F (x) = Z x

2

f(t)dt.

(a) Determinare il dominio di F .

(b) Determinare eventuali asintoti verticali ed orizzontali di F

(c) Senza calcolare l’integrale, determinare crescenza e decrescenza e disegnare il grafico di F

(d) Calcolare F (x) per ogni x nel dominio di F . Per determinare la primitiva di f usare la sostituzione t = x + 1.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 2)

1. Enunciare la formula fondamentale del calcolo sulla relazione fra integrale di Riemann e primitive 2. Dimostrare il precedente risultato.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 3)

1. Dare la definizione di massimo e punto di massimo (minimo e punto di minimo) per una funzione f : A ⊂ R → R 2. Dare la definizione di massimo relativo (minimo relativo) per una funzione f : A ⊂ R → R

3. Enunciare il teorema di Weierstrass 4. Enunciare il teorema di Fermat.

5. Dimostrare il teorema di Fermat.

6. Determinare massimo, minimo, punti di massimo e di minimo della funzione f : [−6, 1] → R definita da f(x) = x327x + 2

spiegando la teoria applicata. In particolare si giustifichi l’esistenza del massimo e del minimo e si illustri l’uso del teorema di Fermat.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 4)

1. Scrivere l’approssimazione di McLaurin di ordine 3 delle funzioni:

(1 + x)1/3 , 1 (1 + x)1/3

2. Scrivere l’approssimazione di McLaurin di ordine n delle funzioni:

sin(x) , cos(x) , sinh(x)

cosh(x) , 1

(1 + x) , 1

(1 − x)

(2)

3. Usando le propriet`a dei polinomi di McLaurin, calcolare la parte principale per x → 0 della funzione

x 7→ f(x) = x8 µ

cos( 1

1 − x4 1) − 1

.

4. Usando il precedente punto calcolare, al variare di n nell’insieme dei numeri naturali,

x→0lim f(x)

xn Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

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