1. Dato il numero complesso w, spiegare il procedimento per calcolare le soluzioni complesse dell’equazione z n = w, con n numero naturale.

(1)

–

Analisi Matematica I [B044] – Scritto 12 CFU del quarto appello – 1 / 9 / 2009

– Compito n. 1

Domanda 1)

1. Dato il numero complesso w, spiegare il procedimento per calcolare le soluzioni complesse dell’equazione z ⁿ = w, con n numero naturale.

2. Sia w = −3 i:

disegnare w nel piano complesso e calcolarne modulo, parte reale, coefficiente dell’immaginario, argomenti;

calcolare e disegnare le soluzioni complesse dell’equazione z ⁴ = w.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 2)

Sia f la funzione definita da f (x) = ( _x+7

x

³

x ≤ −2

arctan(x + 2) x > −2 .

1. Usare le equivalenze asintotiche con gli infiniti e gli infinitesimi di riferimento per determinare i limiti nei punti di frontiera del dominio e dedurne l’esistenza di asintoti orizzontali, verticali.

2. Usare le propriet` a delle funzioni continue ed il punto precedente per determinare il segno della funzione.

3. Disegnare il grafico della funzione.

4. Determinare numero e segno delle soluzioni dell’equazione f (x) = c, al variare di c ∈ R.

5. Calcolare l’area della parte di piano compresa dal grafico della funzione l’asse x e le rette verticali x = 1 e x = −8.

6. Rispondere ai seguenti quesiti sulla funzione F definita da F (x) = Z x

−9

f (t)dt.

(a) Determinare il dominio di F .

(b) Determinare eventuali asintoti verticali ed orizzontali di F

(c) Senza calcolare l’integrale, determinare crescenza e decrescenza e disegnare il grafico di F (d) Calcolare F (x) per ogni x nel dominio di F .

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 3)

Rispondere alle seguenti domande sulla funzione definita da

f (x) = x ³ ln ¡1 − (16x) ⁵ ¢ . 1. Determinare, se esiste, la parte principale per x → 0 della funzione f 2. La funzione ha ordine per x → 0? Se si, determinarlo.

3. Stabilire qual `e la prima derivata non nulla in x 0 = 0 di f e determinarne il valore 4. Stabilire se la funzione ha in x 0 = 0 un massimo o un minimo locale.

5. Determinare, se esiste, al variare di n ∈ N

x→0 lim x ⁿ f (x) Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 4)

1. Enunciare la formula fondamentale del calcolo sulla relazione fra integrale di Riemann e primitive

2. Dimostrare il precedente risultato.

(2)

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 5)

Sia f : R → R una funzione di classe C ^∞ la cui derivata si annulla solo in x 0 = 8. Definiamo F : R ² → R mediante F(x, y) = f (4x + 5y) − f (4x − 5y)

1. Determinare il gradiente e la matrice Hessiana di F mediante le derivate di f . 2. Discutere l’esistenza di punti di massimo e minimo locale per F .

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 6)

Data l’equazione differenziale y ^′′ + 9y = 6 cos(4x), rispondere ai seguenti quesiti, motivando le risposte.

1. L’equazione ha soluzioni limitate, illimitate, periodiche?

2. Determinare l’insieme delle soluzioni dell’equazione.

3. Determinare la soluzione dell’equazione il cui grafico che passa per il punto P ≡ (0, −1) ed `e tangente in P alla retta di equazione y = −1 + 2x

4. Studiare al variare dei parametri a, b ∈ R l’insieme delle soluzioni dell’equazione il cui grafico passa per l’origine e per il punto P ≡ (a, b)

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 7)

Si consideri il seguente problema di Cauchy contenente il parametro h > 0.



 

 

y ^′′ + 2hy ^′ + h ² y = 0 y(0) = 0

y ^′ (0) = 3

1. Determinare, al variare di h > 0, la soluzione φ h di tale problema specificando il dominio.

2. Determinare per quali valori di h > 0 esiste almeno un x 0 > 0 tale che φ h (x 0 ) = 9 3. Facoltativo Disegnare, al variare di h > 0 il grafico di φ h

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 8)

1. Determinare l’approssimazione di Taylor del secondo ordine centrata nell’origine della funzione definita da f (x, y) = p1 + 3y + 4xy + cos(3x) − 3

2 y

2. Dedurre dal precedente punto, se possibile, se l’origine `e un punto di estremo locale per f . In caso affermativo determinare se `e di massimo o di minimo.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 9)

Sia f la funzione definita da f (x, y) = e ^4y + 16e ^xy + 6x ² . Determinare l’approssimazione di Taylor del secondo ordine centrata nell’origine di f e dedurne se l’origine `e un punto di estremo locale per la funzione. Dedurre inoltre la retta tangente nell’origine alla linea di livello f (x, y) = f (0, 0).

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 10)

1. Enunciare il teorema degli zeri per le funzioni di due variabili ed applicarlo per determinare il dominio ed il segno della funzione definita da

g(x, y) = ln(|2x + 2y| − x ² − y ² ) Illustrare il risultato con un disegno

2. Determinare i punti P ≡ (x 0 , y 0 ) del dominio di g per i quali la linea di livello g(x, y) = g(x 0 , y 0 ) definisce localmente una funzione implicita del tipo y = φ(x) o x = ψ(y).

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

1. Dato il numero complesso w, spiegare il procedimento per calcolare le soluzioni complesse dell’equazione z n = w, con n numero naturale.

–

Analisi Matematica I [B044] – Scritto 12 CFU del quarto appello – 1 / 9 / 2009

– Compito n. 1

Domanda 1)

1. Dato il numero complesso w, spiegare il procedimento per calcolare le soluzioni complesse dell’equazione z n = w, con n numero naturale.

2. Sia w = −3 i:

disegnare w nel piano complesso e calcolarne modulo, parte reale, coefficiente dell’immaginario, argomenti;

calcolare e disegnare le soluzioni complesse dell’equazione z 4 = w.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 2)

Sia f la funzione definita da f (x) = ( x+7

x

x ≤ −2

arctan(x + 2) x > −2 .

1. Usare le equivalenze asintotiche con gli infiniti e gli infinitesimi di riferimento per determinare i limiti nei punti di frontiera del dominio e dedurne l’esistenza di asintoti orizzontali, verticali.

2. Usare le propriet` a delle funzioni continue ed il punto precedente per determinare il segno della funzione.

3. Disegnare il grafico della funzione.

4. Determinare numero e segno delle soluzioni dell’equazione f (x) = c, al variare di c ∈ R.

5. Calcolare l’area della parte di piano compresa dal grafico della funzione l’asse x e le rette verticali x = 1 e x = −8.

6. Rispondere ai seguenti quesiti sulla funzione F definita da F (x) = Z x

−9

f (t)dt.

(a) Determinare il dominio di F .

(b) Determinare eventuali asintoti verticali ed orizzontali di F

(c) Senza calcolare l’integrale, determinare crescenza e decrescenza e disegnare il grafico di F (d) Calcolare F (x) per ogni x nel dominio di F .

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 3)

Rispondere alle seguenti domande sulla funzione definita da

f (x) = x 3 ln ¡1 − (16x) 5 ¢ . 1. Determinare, se esiste, la parte principale per x → 0 della funzione f 2. La funzione ha ordine per x → 0? Se si, determinarlo.

3. Stabilire qual `e la prima derivata non nulla in x 0 = 0 di f e determinarne il valore 4. Stabilire se la funzione ha in x 0 = 0 un massimo o un minimo locale.

5. Determinare, se esiste, al variare di n ∈ N

x→0 lim x n f (x) Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 4)

1. Enunciare la formula fondamentale del calcolo sulla relazione fra integrale di Riemann e primitive

2. Dimostrare il precedente risultato.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 5)

Sia f : R → R una funzione di classe C ∞ la cui derivata si annulla solo in x 0 = 8. Definiamo F : R 2 → R mediante F(x, y) = f (4x + 5y) − f (4x − 5y)

1. Determinare il gradiente e la matrice Hessiana di F mediante le derivate di f . 2. Discutere l’esistenza di punti di massimo e minimo locale per F .

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 6)

Data l’equazione differenziale y ′′ + 9y = 6 cos(4x), rispondere ai seguenti quesiti, motivando le risposte.

1. L’equazione ha soluzioni limitate, illimitate, periodiche?

2. Determinare l’insieme delle soluzioni dell’equazione.

3. Determinare la soluzione dell’equazione il cui grafico che passa per il punto P ≡ (0, −1) ed `e tangente in P alla retta di equazione y = −1 + 2x

4. Studiare al variare dei parametri a, b ∈ R l’insieme delle soluzioni dell’equazione il cui grafico passa per l’origine e per il punto P ≡ (a, b)

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 7)

Si consideri il seguente problema di Cauchy contenente il parametro h > 0.



 

 

y ′′ + 2hy ′ + h 2 y = 0 y(0) = 0

y ′ (0) = 3

1. Determinare, al variare di h > 0, la soluzione φ h di tale problema specificando il dominio.

2. Determinare per quali valori di h > 0 esiste almeno un x 0 > 0 tale che φ h (x 0 ) = 9 3. Facoltativo Disegnare, al variare di h > 0 il grafico di φ h

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 8)

1. Determinare l’approssimazione di Taylor del secondo ordine centrata nell’origine della funzione definita da f (x, y) = p1 + 3y + 4xy + cos(3x) − 3

2 y

2. Dedurre dal precedente punto, se possibile, se l’origine `e un punto di estremo locale per f . In caso affermativo determinare se `e di massimo o di minimo.

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 9)

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Domanda 10)

1. Enunciare il teorema degli zeri per le funzioni di due variabili ed applicarlo per determinare il dominio ed il segno della funzione definita da

g(x, y) = ln(|2x + 2y| − x 2 − y 2 ) Illustrare il risultato con un disegno

2. Determinare i punti P ≡ (x 0 , y 0 ) del dominio di g per i quali la linea di livello g(x, y) = g(x 0 , y 0 ) definisce localmente una funzione implicita del tipo y = φ(x) o x = ψ(y).

Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

1. Dato il numero complesso w, spiegare il procedimento per calcolare le soluzioni complesse dell’equazione z ⁿ = w, con n numero naturale.

calcolare e disegnare le soluzioni complesse dell’equazione z ⁴ = w.

Sia f la funzione definita da f (x) = ( _x+7

f (x) = x ³ ln ¡1 − (16x) ⁵ ¢ . 1. Determinare, se esiste, la parte principale per x → 0 della funzione f 2. La funzione ha ordine per x → 0? Se si, determinarlo.

x→0 lim x ⁿ f (x) Risposta aperta: motivare tutti i passaggi.

Sia f : R → R una funzione di classe C ^∞ la cui derivata si annulla solo in x 0 = 8. Definiamo F : R ² → R mediante F(x, y) = f (4x + 5y) − f (4x − 5y)

Data l’equazione differenziale y ^′′ + 9y = 6 cos(4x), rispondere ai seguenti quesiti, motivando le risposte.

y ^′′ + 2hy ^′ + h ² y = 0 y(0) = 0

y ^′ (0) = 3

g(x, y) = ln(|2x + 2y| − x ² − y ² ) Illustrare il risultato con un disegno